基于根轨迹法的液位自动控制系统设计
基于根轨迹法的液位自动控制系统设计
刘鹏
泰山科技学院 山东泰安 271000
摘要：多容液位控制在工业生产过程中非常常见，其前端大部分为水泵组，被控过程往往由多个容积和阻力构成，这种过程被称为多容过程。多容液位控制要求被控液位更快更稳定地保持在期望值。PID控制是传统工业控制的主要技术之一，在实际工程中应用最为广泛，其参数地优略决定着系统性能地动态调整过程和稳态精度以及抗扰能力。当多容液位控制系统对液位调整的动态过程和稳态精度都有明确要求时，就需要精准的确定PID控制参数。对于偏复杂系统，根轨迹在设计和分析系统时有明显优势。
关键词：多容水箱；PID；液位控制；根轨迹
引言
液位控制与调整广泛存在于日常生活和工业生产中，例如生活供水，化学化工、废水处理等，对液位控制的精准程度和动态过程的平稳性与快速性严重影响最终的产品质量。工业生产过程在关注稳态精度的同时，也要时刻关注调整过程中的平稳性与快速性。工业生产线大多数为高阶复杂系统，并且普遍采用经典PID控制，这种条件下，对PID参数有了更高的要求。在对高阶复杂系统有明确动态性能指标要求时，根轨迹法在确定PID参数时有明显优势。本论文针对，水泵机组控制下的双容液位系统，采用根轨迹法确定PID参数，使系统满足动态和稳态性能要求。
双容液位水箱建模
数学模型的建立方法通常有机理建模方法和系统辨识方法[1]。根据过程内在机理，应用物料和能就平衡及有关的化学、物理规律建立过程模型的方法 是机理建模方法，又称为过程动态学方法。建立的模型称为白箱模型。其特点是建立的模型物理概念清晰、准确，可给出系统输入变量、输岀变量、状态变量之间的关系。系统辨识方法是根据过程输入输出数据确定过程模型的结构和参数，建立的模型称为黑箱模型。辨识是在输入输出数据基础上，从一组给定模型类中确定一个与所测系统等价的模型[2]。本设计中双容液位水箱建模采用了机理建模的方法。所研究的双容液位系统如下图图1。
图1 双容水箱系统组成图
在该被控对象图中，Q1是流入1号水箱的流量，Q12是流入2号水箱的流量，Q2是流出2号水箱的流量，H1是1号水箱的液位高度，H2是2号水箱的液位高度，R1、R2是对应管道上的流阻，根据流体力学理论，流阻跟水箱流量和出口静压力差有关，同时还要考虑相应的阀门处阻力，按工业中常规近似处理后，采用以下流阻与流量的公式。
（1）
（2）
水泵是由电动机将电能转换成机械能，驱动水泵本体工作的。水泵一般是由泵壳、叶轮、轴、轴承和电机组成的。启动后，叶轮由轴带动迅速转动，当叶轮飞快旋转时，液体在叶轮内叶片的推动下也跟随旋转，获得离心力，流入压力管道。水泵排出的液体流量与电动机转速接近正比，当以电动机转速υ为输入，流量q1为输出时，数学模型如下：
（3）
在水箱模型中，流入和流出的流量变化量对应该水箱内液体体积的变化量。
（4）
（5）
由（1）、（2）、（5）得到 (6)
以2号水箱的液位高度H2为系统输出，以电动机转速V为该模块系统的输入，消去中间变量Q1,Q12,Q2,h1,并进行拉氏变换，最终得到该模块系统，传递函数为：
该模块前端为电动机调速系统，轻载情况下近似成一阶系统，与水箱模块连接后，串联组成3阶系统，考虑控制目标稳态无差要求，在跟踪定值给定信号时，控制器中需要加入一个积分环节，所以该系统至少是4阶系统，假设开环传递函数为：
根轨迹分析
利用根轨迹图可以清楚地看到开环系统的根轨迹增益或其他参数变化时，闭环极点位置及其动态性能的改变情况。
在matlab中绘制根轨迹的程序如下:
num=[1]; %传递函数分子多项式系数
den=conv(conv([1 0],[1 0.32]),conv([1 0.77],[1 0.985])); %传递函数分母多项式系数
sys=tf(num,den); %建立传递函数模型
rlocus(sys) %绘制根轨迹
title('根轨迹图') % 添加图标题
该程序运行所得根轨迹图如下图图2所示。
图2 系统根轨迹图
为保证系统动态性能指标要求，现要求动态过程中超调量小于20%。
高阶系统中，对于其时间响应起到主导作用的闭环极点称为闭环主导极点。相对应地，其它的极点称为普通极点。闭环主导极点要满足以下两个条件：在s平面上，距离虚轴比较近，且附近没有其它的零点与极点；其实部的长度与其它的极点实部长度相差五倍以上[3]。
对于高阶系统研究时，如果具备主导极点，通常可以考虑降阶处理，从已画根轨迹图中可以看出存在共轭复数主导极点，因此该系统可以考虑近似为二阶系统研究。
对于二阶系统，根据超调量指标要求，经计算阻尼比要大于0.456，方可满足超调量小于20%的动态性能指标要求。
sgrid指令在根轨迹图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数与自然振荡角频率构成。
绘制完根轨迹后，执行rlocfind命令时，会出现一个十字线用于选择希望的闭环极点。当用鼠标左键选定根轨迹上的一点时，就可得到该点对应的增益k和闭环特征根poles，所选的极点在图中以“+”表示。
num=[1]; %传递函数分子多项式系数
den=conv(conv([1 0],[1 0.32]),conv([1 0.77],[1 0.985])); %传递函数分母多项式系数
sys=tf(num,den); %建立传递函数模型
rlocus(sys) %绘制根轨迹
title('根轨迹图') % 添加图标题
sgrid(0.456,0.196) %绘h制等值栅格线
[k,poles]= rlocfind(sys) %计算期望闭环极点即该点的增益
该程序运行所得根轨迹图如下图图3所示。
图3 添加阻尼比后的系统根轨迹图
selected_point =
-0.0893 + 0.1747i
k = 0.0364
poles =
-0.9474 + 0.2058i
-0.9474 - 0.2058i
-0.0901 + 0.1750i
-0.0901 - 0.1750i
本系统在动态过程稳定性的要求下，借助根轨迹的方法，计算出了Kg的值。双容水箱液位调整过程存在滞后性，本设计中系统阶次偏高，暂未对调节时间有明确要求，根据所选主导极点，调节时间大概为33S。在实际系统数学模型中，常数项参数已知的情况下，可以计算出控制器的增益值；若无动态性能要求，也可以从根轨迹图中，确定出系统稳定时，Kg的范围，根据Kg的值，计算出控制器中比例环节的增益值。
结论
本文提出了根轨迹法确定双容液位系统中控制器的设定方法，跟踪定值液位系统时，若需要达到稳态无差要求，控制系统至少为Ι型系统，控制器中加入积分环节；根据根轨迹图，可以直接读出系统稳定时，增益的取值范围；当对动态性能有明确要求时，可以根据主导极点存在的条件判定是否存在主导极点。本设计中存在主导极点，因此可以将构建的4阶系统数学模型近似为2阶系统研究，降低了系统分析和设计的难度。
此论文受到2023年泰山科技学院校级一流课程《自动控制原理》课程建设经费支持！
参考文献：
【1】 黄爱元， 邵根富， 黄国辉.三容水箱液位控制系统建模与仿真，《实验室研究与探索》，2016.1：76-77
【2】 罗健旭.过程控制工程（第3版）.化学工业出版社.2015.9：9-10.
【3】 于建均.自动控制原理（第4版）.高等教育出版社.2022.12：102.
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