不确定广义Delta算子系统的鲁棒性能分析及控制器的设计
不确定广义Delta算子系统的鲁棒性能分析及控制器的设计
王文
（泰山科技学院 智能工程学院，山东泰安，271000）
作者简介：王文（1989—），男，山东省泰安市，助教，硕士，泰山科技学院，研究方向：自动化控制。
摘要-本文主要基于不确定性的广义Delta算子系统，针对鲁棒控制的问题以及鲁棒性能分析等相关问题进行了研究。在研究的过程中，首先为了保证系统具备鲁棒容许性能引入了广义二次容许的的相关定义。紧接着通过线性矩阵不等式，在充分必要条件的支持下，将所研究的系统推广为具有规定性能的二次可容许系统。然后，基于这些结论，考虑了系统鲁棒控制器的设计等问题。根据线性矩阵不等式，得到存在一个合适的鲁棒控制器所需的条件，并通过求解LMI给出了相应的设计方法。同时，通过Matlab软件，利用一个数值实例对本文结论的有效性进行了说明。
关键词-Delta算子；不确定系统；性能分析；控制；线性矩阵不等式
引言
广义系统是在上个世纪70年代提出的[1-2]。由于相对于一般系统而言广义系统能对系统进行更加普遍的描述，因而在不同领域得到了十分广泛的应用，在很多实际领域也得到了推广。Delta算子的方法是上个世纪80年代被提出的[3]。相对于传统的移位算子而言，Delta算子模型具有很大的优势，比如其在高采样频率条件下相对于传统的移位算子模型其敏感程度要低得多。我们在对实际系统处理过程中，往往会无法避免地遇到一些不确定因素。因此基于普遍性而言，针对各种系统研究需要考虑了鲁棒控制和鲁棒性能分析[4]中的问题。鲁棒性能问题分析主要是研究存在所有的在给定范围内变化的不确定因素扰动下，系统性能仍能得到保持的条件。鲁棒控制问题主要讨论针对所研究的控制系统如何设计合适的控制器，以使得闭环系统能达到所要求的的鲁棒性能。近年来，针对广义系统采用Delta算子研究方法取得了很多宝贵的结果[5-8]。然而，我们发现关于不确定广义Delta算子系统的鲁棒性能研究，比如分析以及控制的结果较少。因此在本文中，我们针鲁棒控制及鲁棒性能分析等系列问题对不确定的广义Delta算子系统的进行了研究，并得到了系统的广义二次可容许的充分必要的条件。然后，进一步的利用线性矩阵不等式等分析方法，对鲁棒控制器存在的条件进行了探讨，并给出了设计方法。本文还给出了数值例子来具象地描述理论结果。
从本文的开头到结尾，我们都使用了这些符号：矩阵(或 等) 分别表示矩阵为对称的正定矩阵（以及矩阵为负定矩阵，或者半正定矩阵）。表示多项式的阶数。向量或矩阵的转置用矩阵的上标来表示。而矩阵的逆则表示为矩阵的上标。表示矩阵的行列式值。。矩阵的秩由表示。是在复平面中以为中心，半径为的圆的内域。将主对角块分别为的对角矩阵记为。表示为维实向量空间， 表示维实矩阵空间。具有阶维度的单位矩阵由表示，其中适维实数单位矩阵由表示。Delta算子即算子，其定义如下
上式中， 为采样周期，显然，满足。
预备知识
考虑以下的广义Delta算子系统
(1)
其中，表示时间处于时刻，并且采样周期是满足的。矩阵 用来描述系统状态向量， 表示为常实数矩阵，并且其实数为已知的。
定义1: [9]若,则称系统(1)是稳定的。如果, 则称系统(1)是因果的。如果系统(1)是一个稳定的系统，并且具备正则、因果两个条件，则该系统是容许的。
对于存在以下形式的广义离散系统
(2)
其中， 是系统的状态向量。对应着系统控制的输出,而对应着系统外部的干扰，, ,都是已知矩阵并且维数合适，并且满足 。
因为,所以必然存在两个可逆矩阵 ，它们可以写成如下形式
(3)
应该指出，上面提到的矩阵不是唯一的。
令
(4)
引理 1: [8]系统(2)容许，并且具备性能的充要条件为存在矩阵着，并且还存在矩阵，满足下述的条件
(5)
其中，, 是满足的任意满秩矩阵，由式(4)给出，且
引理 2: [10] (舒尔补引理) 对于矩阵 , ，以及矩阵 ，以下不等式
(6)
等价于 以及 。
对于下述的广义 Delta 算子系统
(7)
其中，是外部干扰, 是状态向量, 是控制输出，, 且都为维数适当的已知矩阵，并且满足 。
引理 3 系统(7)容许，并且具备鲁棒性能的充要条件为存在矩阵，并且存在一个矩阵，满足以下条件
(8)
其中，是满足0的任意满秩矩阵, 由式(4)给出，由引理1给出。
证明 按照前文给出的Delta算子的定义，可以将系统(7)表示成系统(2)的形式，其中, 。由文献[5]可知, 系统(7)容许等价于系统(2)容许。因此，系统(7)的性能与系统(2)完全相同。因而按照前文所给出的引理引理1及, ，系统(2)容许，且备有鲁棒性能的充分必要条件是存在矩阵以及矩阵满足
(9)
我们很容易得出式(9)等价于式(8)。证明完毕。
注释 1 需要指出的是在上述引理3之中，所给定的矩阵必定是可逆矩阵，也就是存在。说明如下
由式 (8) 可得
(10)
这意味着矩阵必然可逆。若不然假定矩阵为不可逆的矩阵，则必然存在着向量，可以满足。因此必有，二此时和等式(10)相互矛盾。因此，矩阵必然是可逆的，即存在。
引理 4: [10]矩阵, 和矩阵为给出的具有适当维数的对称矩阵，对于下述不等式
(11)
对任意满足的矩阵都能成立的充要条件为，存在着任意一个标量, 使得以下不等式成立
(12)
鲁棒性能分析
考虑具有以下的形式的不确定广义Delta算子系统
(13)
其中， 分别表示矩阵的不确定性，它们可以写成如下的形式
(14)
而矩阵则都是已知矩阵，并且维数合适。不确定矩阵满足
(15)
系统（13）中的其他符号与系统（7）中的符号具有相同的含义。
我们主要研究本节中系统（13）的鲁棒性能分析的问题。我们希望得到对于满足在（14）和（15）的不确定性和存在的前提下，系统（13）仍然可以具有容许性能，并且具备鲁棒性能的充要条件。
定义 2: [11]对于任意的满足式(14)、(15)的不确定性矩阵，存在着矩阵以及矩阵满足以
下条件 (16)
则系统(13)被称为广义二次容许，并具有鲁棒性能，其中, 是满足的任意满秩矩阵，由式(4)给出，的含义已由引理1给出，且
引理 5如果系统(13)满足广义二且具备鲁棒性能, 则对于任意的符合要求的不确定矩阵(14)存在的前提条件下，系统(13)是鲁棒容许的，并且具备鲁棒性能。
定理 1 系统(13)满足广义二次容许，并且具备鲁棒性能的充要条件是存在任意矩阵,矩阵且存在着标量，使得下列不等式成立
(17)
其中, 是任意满秩矩阵且满足。由式(4)给出，所表达的含义与引理1, 相同，且有
证明 根据定义2，系统?(13)是广义二次容许的，并且具备棒性能的充要条件是对于任意存在不确定性的矩阵满足式(14)、式(15)，此时，存在矩阵以及矩阵使得不等式(17)成立。根据式(14)以及(15)，不等式 (17)也可以写成以下形式
(18)
其中
(19)
取
这样，不等式 (18) 就可以写成以下的形式
(20)
根据引理4，对所有的满足，当且仅当存在着一个标量使得如下不等式
(21)
成立时，不等式(20)成立。
根据引理2，不等式(21)也可以写成以下形式 (22)
再将矩阵分别代入到式(22)后，我们就可以得到不等式(17)。证明完毕。
鲁棒 控制
对于如下式所述具有不确定性的广义Delta算子系统
(23)
上式所述矩阵表示已知的适维实常数矩阵，为有界的不确定矩阵矩阵，表示的不确定性。则上述系统可以写为以下形式:
(24)
不确定矩阵满足式(15)，式(23)中的其它符号的定义与式(13)相同。
鲁棒控制即对系统(23)设计状态反馈控制器，使得闭环系统对任意满足式(15)、(24)的都满足广义二次容许，且具备鲁棒性能。对于满足上述要求的控制器，我们称为系统(23)的鲁棒控制器。
如果满足要求的控制器具有下述形式
(25)
其中为未知矩阵，也就是待设计的控制器矩阵。
定理 2系统(23)存在着鲁棒控制器(25)的充要条件为存在着矩阵,矩阵, 以及存在一个标量，满足
(26)
其中, 是任意满秩矩阵，且满足，在式(4)中给出，的定义与定理1中的完全相同，并有
在如上所述的条件下，系统(23)的鲁棒控制器(25)可以设计成如下所述的形式
(27)
证明 取, ,
根据式(23)，(24)以及(25)，可以将系统（23）写成闭环系统的表达形式，如下式所述
(28)
根据定理1可知，闭环系统(28)具备广义二次容许的条件，并具有鲁棒性能的充要条件是对于矩阵, 以及任意的矩阵和任意标量满足 (29)
其中, 是满足0的任意满秩矩阵, 矩阵已由式(4)给定，且有
令，则上述不等式(29)等价于式(26)。由注释1可以得到矩阵为可逆矩阵，因此，矩阵可以根据得到，。证明完毕。
数值算例
例 1对于上述的系统(23)，具有如下所示的参数形式
, ,
, ,
所给出的不确定性矩阵具有如下参数
, , ,
, , ,
取可逆矩阵以及的参数如下
上述参数值满足
令
,
取。首先，我们可以分析系统(23)的鲁棒性能。通过求解线性矩阵不等式，我们会发现式(17)的可行性解是不存在的。也就是根据定理1,系统(23)是不满足广义二次容许条件的，自然也就不满足鲁棒性能。
因此，我们考虑给系统(23)设计鲁棒状态反馈控制器(25)。通过求解矩阵不等式(26)，我们可以求得可行性解如下所示
,
这样，就可以得到可逆矩阵的值如下
根据定理2，我们就可以得到系统(23)得鲁棒控制器(25)。加入控制器以后，系统(28)就具有广义二次容许的性质，且具有鲁棒性能。此时，我们设计的状态反馈控制器(25)的表达式如下
总结
本文讨论了不确定广义Delta算子系统鲁棒 控制的问题。在系统存在着不确定性的条件下，我们利用线性矩阵不等式对广义 Delta 算子系统进行了探讨，进而找到了系统满足广义二次容许，并且具备鲁棒性能的充要条件。
之后，在上述条件下进一步得到了状态反馈的鲁棒控制器的表达式以及存在的充分必要条件。最终的理论结果也通过数值实例和Matlab LMI工具箱仿真进行了验证。
参考文献
G. Duan, H. Yu, and A. Wi, Analysis and Design of Descriptor Linear Systems,1rd ed., Beijing: Science Press, 2012.
L. Dai, Singular Control Systems, 1rd ed., Berlin: Springer-Verlag, 1989.
G. C. Goodwin, R. Lozano, D. Q. Mayne, and R. H. Middleton, “Rapproachement between continuous and discrete model reference adaptive control,” Automatica, vol. 22, no. 2, pp.199-207, Novermber 1986.
M. Wu, Y. He, and T. She, Robust Control Theory, 1rd ed., Beijing: Higher Education Press, 2010.
X. Dong, “Admissibility analysis of linear singular systems via a delta operator method,” International Journal of Systems Science, vol. 45, no. 11, pp.2366-2375, February 2013.
X. Dong, W. Tian, and Q. Mao, “Robust admissibility analysis and synthesis of uncertain singular systems via delta operator approach,” 10th IEEE International Conference on Control and Automation, pp.1059-1064, June 2013.
X. Dong, Q. Mao, and W. Tian, “Observability analysis of linear singular delta operator systems,” 10th IEEE International Conference on Control and Automation, pp.10-15, June 2013.
X. Dong,“LMI-based control for linear singular discrete systems: a novel method,” IET Control Theory and Application, vol. 7, pp.2028-2036, August 2013.
Q. Mao, X. Dong, and W. Tian, “State feedback admissible control for linear singular delta operator systems,” Journal of Qingdao University (Engineering & Technology Edition), vo1.28, no.1, pp. 14-18, March 2013.
R. Lu, H. Su, A. Xue, and J. Chu, Robust Control Theory of Singular Systems, 1rd ed., Beijing: Science Press, 2008.
S. Xu, and J. Lam, Robust Control and Filtering of Singular Systems , 1rd ed., Berlin: Springer, 2006
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