关注核心素养培养的课堂教学——以“递推数列求通项公式”复习课教学为例
关注核心素养培养的课堂教学
——以“递推数列求通项公式”复习课教学为例
袁雯青
（江苏省昆山中学 江苏苏州 215300）
摘要：以“递推数列求通项公式”教学为例，阐述如何在复习课中引导学生深入探究，促进知识生长，方法体系不断完善，抓住本质，学会思考，培养数学核心素养。
关键词：求通项公式，数学教学，培养核心素养
陶行知先生曾言：“教育应当培植生活力，使学生向上生长”，体现了“让数学教学为学生成长助力”的理念。尊重学生的认知规律，遵循学生的发展特点，确立其主体地位，使他们的核心素养得到充分发展，在课堂中体验学习的乐趣。
如何在复习课的教学课堂中，让学生在已有的知识方法储备中进行更深刻的思考，产生更严谨的思维，获得更多的学习数学的能力？本文结合“数列的递推关系”复习课教学案例进行分析探索，教会学生思考，培养学生的核心素养。
1 课堂呈现
问题： 已知数列{}满足，则 .
给学生一点时间思考后，学生积极提出自己的想法，并给出主要解题过程。
学生1：条件可以变形为，
当时，用累乘法可得： ，
又符合上式，所以。
教师：很好！学生1将条件变形成前后两项的比值，利用累乘法求得了数列的通项，并且注意了2这个条件，很细致！那么，我们还有其他解决方式吗？
学生2：可以将条件变形为，可知数列为常数列，所以，得。
教师：学生2通过条件的另一种变形，构建了一个新的数列，得到了前后两项的相等关系，由常数列求得了通项公式，有不错的转化意识。
探究1：记为数列{} 的前项和，已知，是公差为的等差数列，求数列{}的通项公式。
学生3：因为是公差为的等差数列，所以，可得，则有
，整理得到：，还是用累乘法，
，又符合上式，可得。
教师：好的，学生3依然通过累乘来处理此题，需要注意的是累乘的时候为隔项相消。
学生4：参考学生2的做法，将式子变形为，但是这个形式显然不能构成常数列，在这个地方卡住了！
教师：有没有同学可以给学生4帮帮忙？
学生5：顺着学生4的想法，目标构成常数列，这样的话需要式子两边结构相同，所以在式子的两边分母上都乘以，原式变为，如此得到数列为常数列，可知，进而得到数列的通项公式。
教师：非常好！这个构造比较巧妙，体现了较高的数学素养！我们来看一下哪里考了这样一个问题。这是2022新高考1卷第17题的第一问，看大家刚才的发言，就只知道这个题难不倒大家的！
探究2：已知数列{}满足，求数列{}的通项公式。
学生6：这个简单，构造等比数列，就可以求出通项。过程如下：，首项0，所以数列是等比数列，得。
教师：很好！学生6直接看出式子两边同时减2就可以构造等比数列了，如果有同学看不出来，可以怎么办？
学生6：待定系数法！既然不知道常数是多少，就设为，用待定系数法可以求出来。
教师：没错！这是这类问题的通法，大家都应掌握。如果把条件中的“4”变成“4”呢？
学生7：是不是可以用学生6的做法，试着构造等比数列？两边加了常数，不行！
教师：既然这里不能像前面的问题一样利用加常数构造，从形式上考虑，可以如何处理呢？有没有同学有想法？
学生8：不能加常数，后面是4，猜想应该加关于的一次式，可以用待定系数法，设是公比为3的等比数列，则有，
结合条件可知，所以是公比为3的等比数列。
学生9：学生8的做法里有个问题，构造出的数列首项是0，不是等比数列，应该是个常数列，所以
。
教师：好的，学生8的做法体现了构造发的灵活运用，不局限于两边加常数的想法，学生9注意到了更细节的地方，首项为0，根据递推就可以得到所有项为0，得到了常数列，两位同学结合以后，解法就完美了！
学生10：我还有其他想法。根据递推关系和，算了我猜通项公式就是，
接下来证明：直接构造就可以了。
教师：学生10的想法体现了数列的本质“列”，并且在列的过程中归纳总结，猜想出了通项公式，通过猜想并证明的过程求出了通项公式，数学直觉非常棒！如果把“4”变成“”呢?
在教师的指导下，学生从累加法，构造法两个角度进行深度探究，在探究过程中掌握求通项的基本方法，培养一题多解的发散型思维，以及数学运算等核心素养。
学生11：两边同时除以，式子变形为，然后用累加法就可以得到通项公式了；也可以两边同时除以，式子变形为，然后用构造法求得通项公式。
教师：太棒了！学生11提供了两个解题思路，将复杂的形式转化为我们求通项的基本方法，做到了化繁为简，利用已掌握的知识解决相对困难的问题，非常好！
学生12：我也有一个思路，顺着学生8的构造想法，构造，
，由待定系数法得，又，
可知是首项为7，公比为3的等比数列，可得。
教师：依然采用了构造的想法，与前面不同的是式子两边加的是指数型，抓住式子的形式仍是构造法求通项的关键。
探究3：已知各项都为正数的数列{}满足，若，求数列{}的通项公式。
学生思考之后，提出自己的见解和看法。
学生13：根据条件，算了，猜想这个数列是一个首项为，公比为3的等比数列，得出，但是怎么证明没有思路。
学生14：观察发现，两边同时加一个，可得，又，求得，这个形式和探究2中的第三个问题是一样的，求通项的方法很多！
学生15：参考了学生14的做法，发现两边同时减效果一样，可得，又，求得，竟然是个等比数列，这下就很简单了。
教师：这个题是2021新高考八省联考第17题的第二问，学生14的解法实际就是原题的第一问，证明是等比数列，同学们和出题专家想到一起去了。第一位同学依然采取了多列几项找规律的形式，在证明这一块遇到了难题，没了思路。实际上要证明是可行的，需要用数学归纳法，这个证明在江苏高考中超纲了！从这个角度我们也可以看出，找规律更适合用于选择和填空，当然大题中可以借助规律所得解决后续问题，考试中后段依然可以得分，对于不会求通项的同学来说也是不错的选择。另外两位同学数学直观想象水平很高，数学感觉很好，通过观察，发现了解法，很厉害！将三项关系转变成了两项关系，化归到了上面两项关系的探究，从这两位同学的解法中可以看出化归思想的重要性，将未知转化为已知，就可以很快解决问题！不过观察带有很大的不确定性，对于很多同学来说难度也比较大，肯定有同学观察不出来，所以我们来探讨一下解决这个问题的通用方法。要实现三项关系向两项关系的转化，考虑将两项作为整体，左右形式统一，由此进行构造。
设，结合条件，由待定系数法可得，，就是学生14和15两位观察出来的两组数据。
学生16：我将学生14和15的两个结果放到了一起，得到：，两式相减求出，相当于解方程。
教师：根据学生16的解法，总结一下，对于这题显然第二组数据解题更为简单，如果出现两组数据运算过程和难度差不多，可以两组同时进行，借助方程求通项。这也说明，在解题过程中择优也是必要的，可以优化计算，减少计算量，增加正确率。
2 教学感悟
2.1 构建方法体系
学生在学习的过程中遇到各种困难和障碍，往往是解题的基本方法体系存在漏洞，不够完善。构建基本方法体系的课堂，需要老师在平时的课堂教学中，从整个单元的视角出发，根据教学内容，精准选择课堂例题，精心设计问题的探究，引导学生通过归纳、猜想、证明、转化、化归等途径建立方法之间的内在逻辑联系，帮助学生多方面、多角度整合解决问题的方法，促进求数列的通项公式的方法体系不断生长，进而使的数列整个章节的基本方法体系得到不断完善。
2.2 探究题型变化
在新课标的导向，以及数学核心素养培养的需求下的数学课堂，教师处在引导地位，学生作为主体积极参与课堂教学，并在这个过程中不断积累各种基本方法。此时要求教师要能够基于学生学情，设计例题的各种变化形式，引导学生深入研究问题，从简到繁，从已知到未知，学习新的知识、新的方法，再实现化繁为简、将未知变成已知的目标，促进知识的不断生长。
深度研究题型变化，是教会学生运用基本方法的、培养学生数学思维的重要途径。在探究的过程中，基本方法体系是基础，逻辑思维是引领。在解决“递推数列求通项公式”时，学生在找规律、累加法、累乘法、简单构造、待定系数法等基本方法的基础之上，深入研究之后又了解并掌握了构造常数列、复杂两项关系构造、三项关系转化为两项关系的处理方式，使学生在问题探究的过程中，不断熟悉方法，并做到灵活运用，锻炼了思维，培养了数学核心素养。
2.3 抓牢数学本质
著名数学教育学家波利亚说过：“在你找到第一个蘑菇（或做出第一个发现后），要环顾四周，因为它们总是成堆生长的。”《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中也指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”在新高考的背景下，不断启发学生思考研究数学问题，探究数学的本质，培养数学核心素养，让学生在学习中获得知识、获得解决问题的能力，实现培养人才的目标。
2.4 教会学生思考
思考是学习的关键，学会思考是学生学习的重要环节。要能够让学生抓牢掌握数学本质，首先要引导学生学会分析思考问题，更要能深度思考问题。在数学教学过程中，教师不是简单的告诉学生这个题怎么做，用什么方法，而是要呈现思维过程，教会学生如何通过分析题目条件，抓住题目本质，找到解题方向，用对解题方法，提升学习数学的能力，增强数学的核心素养。
2.5 促进思维进阶
这节课的教学课堂中，教师通过3个探究及几个变式的设置，引导学生对递推数列求通项的基本方法进行深入探索，增加了学生的思考，渗透了数学思想。很多学生积极提出自己的见解，并给出了解题过程，另外在不同的观点和解法中，提出补充与修正，使得解题方法得到完善，促进了学生数学思维的进阶。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在教学建议中也强调：“‘四基四能’是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生学科核心素养的有效载体。”因此，在数学学习的过程中，应当抓牢“四基四能”，促进学生思维发展，提升学生的数学核心素养。
3 结束语
数学核心素养的培养是一个长期的过程，教师在平时的数学教学课堂中，要明确学生学情，抓牢教学内容主体，选好例题，引导学生层层深入，不断探索，进行知识的积累和生长，方法结构体系的形成和完善，有意识、有计划、有目的的将数学核心素养的培养渗透到课堂教学中，让学生在潜移默化中，学会思考，增强数学思维，提升运算能力，理解数学本质，实现数学能力的全面提升！
参考文献：中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）【M】.北京：人民教育出版社，2020.
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