关于函数连续性的讨论
关于函数连续性的讨论
兰州城市建设学校 满会文
[摘要]函数的连续性对微积分学习非常重要，要掌握好函数的连续就要掌握函数连续的定义、连续与间断的关系、以及连续函数的一些结论等，只要掌握了这些，对函数连续性问题的研究就基本能够解决。
[关键词]函数连续的定义 连续与间断的关系 连续与极限的关系
在生产实践中，我们经常会遇到连续变化的问题，如河水的连续流动、气压的连续变化等，这些连续变量都各自对应着一个连续函数，在微积分中，函数的连续性也是学习中的一个重点和难点，现从下面几个方面予以讨论。
连续性的几何直观性
观察一下函数和，当自变量发生微小变化时，能且仅能引起函数的微小变化，不会出现值跳跃和断裂的情况，如下图（1）、（2）所示，所以这些函数的图形是一条连续不断的曲线，这些函数也是连续函数。而函数如图（3）所示的情况就不同了，在其定义域内是连续的但在处没有定义，故在图（3）上处出现无穷大性间断，函数的图形在处发生断裂，就整个图形来看不是一条连续曲线，函数在处是不连续的。
二、连续的定义及等价说法
我们先看连续的定义：
定义：若函数在点及其某邻域内有定义，存在，并且，则称函数在处连续。
否则称函数在处不连续或间断。
分析一下“定义”，因为在点及其某邻域内有定义，极限存在并且极限值就等于这点的函数值，即，也就是说当时，若令，
，则有时，，即当充分接近时与相差任意小，这就表明函数在处连续，这样我们便得到了关于连续的等价定义。
定义：若函数在点及其某邻域内有定义，在此点当自变量的改变量时，函数的改变量成立，则称函数在处连续。
连续的对立面—间断
函数在一点不连续或间断有两种情况，一种是在此点极
限不存在，另一种是在此点极限虽然存在，但极限值不等于在此点的函数值或函数在此点无定义。
第一种情况又分两类，一是极限虽不存在，但左右极限存在，只是两值不相等，则称此点为第一类跳跃间断点。二是左右极限中至少有一个不存在，则称此点为第二类间断点，如函数，在处即为第二类间断点。
对于那种极限存在但不连续点，此时只需修改或补充函数在这点的值就变为连续的了，称此类间断点为第一类可去间断点，如函数，即在处无定义，只需补充时，则函数在处就连续了。
四、连续与极限的关系
我们知道连续与极限有着极为密切的关系。
1.连续的概念是以极限概念为基础的，离开极限就无法论述连续的定义。
2.若函数在处连续，则在此点处必存在极限且。但它的逆命题不一定成立，及函数在一点存在极限，但函数在此点不一定连续。例如：，但函数在点时无定义，也不存在，所有不连续。因此函数在点连续和函数在点存在极限是两个完全不同的概念。
五、怎样讨论函数的连续性
1.按定义证明函数在某点连续
例1.试证函数在处连续。
证：显然在处及其邻域内有定义
而
故在处连续
由例1可以看出按定义证明函数在某点连续的步骤是：
（1）考察在及其邻域内是否有定义
（2）求
（3）计算
（4）比较和是否相等，若相等则在点处连续
例2.试证在任意点连续。
证：的定义域为
若在任意点给予改变量，则函数的改变量为
由点的任意性，根据连续的等价定义得证在任意点连续。
由例2可看出按等价定义证明的步骤是：
（1）考察在指定点（或闭区间）函数是否有定义
（2）给以改变量
（3）求出
（4）求的值
（5）若，则函数在指定点（或闭区间）连续。
类似上述证明，我们可以证得各类初等函数在其定义域内都是连续的，初等函数的这一重要性质，对于简化其极限运算及为方便。
例3.计算。
解：是初等函数和的复合函数
是初等函数
又在其定义域内
故
由于初等函数在其定义域内都是连续的，所以画初等函数在其定义域内的图像时可以用描点法。
2.怎样找函数的间断点
例4.试指出函数的间断点。
解：时，无定义
是间断点
在处，当时无限增大，这时在-1与1之间无限次振动，所以在处的右极限不存在。同理可证在处的左极限也不存在。
是函数的第二类间断点
例5.试指出函数的间断点。
解：时，无定义
是间断点
在处极限存在但不连续，故是函数的第一类可续间断点。
由例4、例5可以看出找函数间断点的步骤是：
（1）首先找出使函数无定义的点（可能是一个，也可能是多个）
（2）然后求出此点是否存在极限，若存在则此点为第一类的可去间断点，若左右极限存在，但不相等，则此点为第一类的跳跃间断点，若不存在（至少左，右极限中有一个不存在）则此点为第二类间断点
3.两个连续函数的和、差、积、商其结果仍是连续函数，
因为经常出现连续函数（有限个）的四则运算，了解这个结果，对进行连续函数的和、差、积、商的微分和积分就十分顺利了。
六、函数的连续与可微、可积的关系
因为微积分研究的最重要的课题就是连续函数，由此可见其关系密切之程度。
1.连续与可微：若函数在点处有导数，则在处必定连续。但它的逆命题不一定成立，即函数虽在某点连续，但不一定有导数。
例如：函数在点处连续，但不可导
，当，，即在点处连续
但，
即函数在点的左右导数存在，但不相等，故在处不可导。
2.连续与可积：在闭区间上的连续函数必定可积。
以上六点是对函数连续性的讨论，若能融会贯通，那么关于函数连续性问题的研究就基本能够解决。
参考文献
[1]马建国主编.数学分析（上）.北京科学出版社，2011.5
[2]华东师范大学数学系主编.数学分析（上）（3版）.高等教育出版社，2001（2010重印）
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