三角函数值符号的选择问题
三 角 函 数 值 符 号 的 选 择 问 题
兰州城市建设学校 满会文
[摘要]三角函数求值运算中，角所在象限决定了三角函数的符号，也就是说要确定三角函数值的符号，首先要确定角所在的象限及角所在象限的扩大，只要掌握了这一点，就能在运算中灵活运用有关公式，得到正确结论。
[关键词]三角函数值的符号 角所在象限（扩大） 求三角函数值
在学习三角函数时，对于符号的选择一些学生有时往往感到困难，产生这些困难的原因是：（1）角所在的象限决定了三角函数值的符号，对于这一点认识不明确（2）算术根的概念不清楚（3）角所在象限扩大，而不能随着这种变化来确定符号。下面分四个方面来分析如何正确地选择三角函数值的符号问题。
一、运用同角三角函数基本关系求其他三角函数值
这主要是平方根前面符号的选择问题，它取决于角所在象限的函数符号，这类问题有三种情况。
1.若已知角所在的象限，则只有一组解。
例1.已知，而角在第Ⅱ象限内，求角的其他三角函数值。
解：
由于在第Ⅱ象限，所以在求时平方根前取“-”号。
2.若已知三角函数值，但没有给出角所在的象限，则有两组解。
例2.已知（，，），求角的其他三角函数值。
解：，，则
角必在第Ⅱ、第Ⅲ象限内
于是
对于第象限内的角，可以得到
对于第象限内的角，同样可以得到
此题由于可能取“+”或“-”号，而得两组解答。
3.若三角函数值的符号与角所在的象限都没有给定，就应该有四组解。但由于所在象限虽不同，它的其他三角函数值只有符号差异而绝对值相同，因此四组解可归并为两类进行计算。
例3.已知，，求的其他三角函数值。
解：在求时遇到平方根符号的选择，所以可分在第Ⅰ、Ⅱ象限和第Ⅲ、Ⅳ象限来解。
（1）对于第Ⅰ、Ⅱ象限的角有
（2）对于第Ⅲ、Ⅳ象限的角，同样可以得到
二、在运用两角和或差的公式时，如果已知角、所在的象限，那么选择正负符号时，应该由两角和或差所在的象限来决定。如果两角和或差可能在两个象限内，则就因对这两个象限分别进行研究。
例4.已知，，求的值。（）
解：，
，
而
两式相加得
于是可能在第Ⅳ、第Ⅰ象限，但，则只能在第Ⅰ象限，在第Ⅰ象限为正。
这道题若去掉、的限制条件，则由，那么可能在第Ⅰ、Ⅲ象限，于是对就应分别进行研究，而得两解。
三、在使用诱导公式时，也遇到三角函数符号的选择问题，这取决于任意角中的整数是奇数还是偶数。
（1）当整数是偶数或是奇数时，分别进行计算所得结果不同。
例5.化简，（）
解：当为偶数，即时
原式=
=
当为奇数，即时
原式=
=
=
=
（2）当整数是偶数或是奇数时，分别计算所得结果仍然相同。
例6. 化简，（）
解：当为偶数，即时
原式=
=0
当为奇数，即时
原式=
=
=
=0
四、在遇到算术根时，也有三角函数值符号的选择问题，应使所求的值恒为正值。
例7.求证，（）
证明：左边=
=
，，为算数根，应该为正
左边=
=
=
=
=右边
故原式成立
例8化简
解：（1）当在第Ⅰ象限时
（2）当在第Ⅱ象限时
（3）当在第Ⅲ象限时
（4）当在第Ⅳ象限时
此题主要是算术根的概念，由此而引出四组解答。
参考文献
[1]唐敏主编.初等数学.电子科技大学出版社，2004.9
[2]杜吉佩主编.初等数学.高等教育出版社，2009.8
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