中职数学三角函数诱导公式的教学探析
(江苏省常熟中等专业学校 江苏常熟 215500)
摘要：在中等职业学校的数学中，诱导公式是三角函数中一种重要的运算公式。三角函数的诱导公式很多，运用诱导公式求解三角函数的问题，步骤比较多，而且很难理解。如今中等职业学校的学生水平有限，尤其是数学基础较弱的学生，很难理解诱导公式，学习效果不佳。就此问题，本文旨在解决过去传统的教学难题，进行深入的研究并扩展三角函数归纳公式，使其变得简单易懂，改善中等职业学生的学习环境，以提高教学效果。
关键词：中职；三角函数；教学
前言：诱导公式被广泛用于计算任意角三角函数，其功能是使用该公式将三角函数转换为锐角的三角函数，以实现求解任意角的三角函数值的目标。学习诱导公式需要解决角度转化的问题，在中职数学中，应在不更改函数名的情况下以x轴为基准，通过角度的对称等价转换，变到锐角范围内，结合符号看象限的特点来求三角函数值，本文从诱导公式的认知和初步推导、诱导公式的拓展和计算推广等方面对此做出分析。
1.诱导公式的认知和初步推导
开展实际学习前，教师应引领学生了解诱导公式的具体作用，能够对诱导公式的个数及组数清晰的描述出来，同时还要掌握每组公式的作用。对于诱导公式而言，其总体作用在于：能够对任意角诱导至0°至90°之间的三角函数进行求解，为将其作用良好发挥，中等职业数学教科书中三角函数诱导公式的教学内容主要是诱导公式α+2kπ（k∈Z）、-α诱导公式和π±α（k∈Z）四组诱导公式及其应用。由于三角函数诱导公式的数量众多，学生很难理解和应用，因此主要是基于x轴，在合理使用诱导公式进行计算的过程中，始终保持函数名不变，公式的转换过程取决于对角度的整体把握和符号看象限的选择。中等职业学校的学生对诱导公式的认识要从对角度的理解入手，先逐步从小角度理解和应用诱导公式，再假设α是锐角，然后可以将直角坐标环境中的其他象限视为锐角α的表达式，并且四个象限中每一个都有一个相对固定的表达式，从而可以对任意角三角函数的求解运用诱导公式。例如，将第二象限的角取为平面角减去锐角成为（π-α），然后根据图像确定其形式，这个角的终边落在第二象限是十分明显的。类似的，从锐角α出发，我们就可以知道每个象限角的一般形式，三角函数的符号要看象限，如第三象限的角为π+α，因为第三个象限的正弦值为负。由此可以得出sin（π+α）=-sinα，而因为第三象限的正切值为正，所以tan（π+α）=tanα，这个过程大大降低了运用诱导公式寻找三角函数值问题的难度。当然，沿着这种思路，学生只需要对不同象限三角函数的值的正负情况进行记忆，这样就可以轻松根据其诱导公式进行求解。立足在较小的范围内的三角函数诱导公式，可以将第一象限的角视为锐角α本身，则α为第一象限角，－α为第四象限角，π+α为第三象限角，π－α为第二象限角。根据中职数学教科书中的四组诱导公式，我们发现转换前后函数名称没有变化，只是增加了正负号而已。由此，可以为学生编写关于三角函数诱导公式的记忆应用技巧：函数名称未更改，符号取决于象限。
2.诱导公式的拓展和计算推广
2.1公式的推导和归纳
根据多年的学习经验，学生不断进行探索和总结，已经对诱导公式有了初步的理解。在此基础上，扩大角的范围，相当于对诱导公式进行了进一步的拓展，具体做法是将上述所说的三角函数诱导公式中的-α的诱导公式和π±α的诱导公式拓展为2kπ-α（k∈Z）的诱导公式和（2k+1）π±α（k∈Z）的诱导公式。根据终边相同的角的三角函数值相同这一理论，对终边相同角的定义进行认知意义上的进一步阐述，推导的过程如下：sin(π+α)=sin(2kπ+π+α)=sin［(2k+1)π+α］=－sinα，cos(π+α)=cos(2kπ+π+α)=cos［(2k+1)π+α］=－cosα，tan(π+α)=tan(kπ+π+α)=tan［(2k+1)π+α］=tanα，sin(π－α)=sin(2kπ+π－α)=sin［(2k+1)π－α］=sinα，sin(－α)=sin(2kπ－α)=－sinα，cos(π－α)=cos(2kπ+π－α)=cos［(2k+1)π－α］=－cosα，cos(－α)=cos(2kπ－α)=cosα，tan(π－α)=tan(2kπ+π－α)=tan［(2k+1)π－α］=－tanα，tan(－α)=tan(2kπ－α)=－tanα，根据对角诱导公式进行的拓展总结，很容易将角的转换概括为四类：α+2kπ、α+（2k+1）π，-α+2kπ、-α+（2k+1）π。通过仔细观察和辩论，以上四种情况可以转换为语言表达：α+偶数π、α+奇数π、-α+偶数π，-α+奇数π。
2.2公式的理解和记忆
为了容易地总结新的诱导公式的特征，需要仔细辨认上述四个类别分别属于四个象限中的哪个，通过观察和分析，我们发现：α被认为是锐角，则α是第一象限角。根据角度概念中的旋转特征，如果终边旋转的π的倍数是偶数，则终边将落在其原始位置；如果旋转π的奇数倍，则终边将落到相反的位置，而且终边和之前的终边关于原点对称；由此可以推论得出，因为α+偶数π是第一象限角，而α+奇数π是第三个象限角，因为-α是第四象限角，-α+偶数π是第四象限角，而-α+奇数π是第二象限角。这样，上面的四个新的拓展出的诱导公式就可以用来解决三角函数的任意角求解问题，解决这个问题时，只需将角度转换为上述四个状态之一，然后在不改变函数名称的情况下根据象限确定符号，来达到三角函数值求解的目的。对新的扩展诱导公式的推导过程进行反思，上面的四个推论都来自于实践学习过程的不断总结和经验积累，同时也优化了教学内容，掌握了公式的来源和特征。基于角度的基本定义、角度的周期性和对称性、任意角的三角函数的定义思考其推导和证明过程，扩展的三角函数诱导公式便于记忆和掌握，改变了传统教学的模式，显著降低了学生学习三角函数诱导公式的难度，减轻了学习负担，并帮助学生提高了解决问题的能力。
2.3用好诱导公式的弧度制表示
诱导公式实际应用过程中，学生往往会出现这样一种情况：将弧度化为角度，从而使计算量得以大幅度增加，在此过程中，很容易造成计算错误问题的出现。例如，求解cos〖19/6 π〗，这一题时，存在一部分学生将19/6 π转化成了角度，增加计算时间的同时，也大大提升了计算错误率。笔者认为，讲解这类问题时，应从以下几个方面对学生做出正确引导：首先，引导学生不进行转化，而是直接通过诱导公式的弧度制解决问题。其次，若这个角超过2π，则引导学生利用第一组公式将其诱导至0至2π之间。再次，注重对学生准确应用K2π，例如，较为常见的错误为：cos〖（19/6 π）=〗 cos〖（18/6 π+1/6 π）=〗 cos〖（1/6 π）=√3/2〗，而正确的应该是：cos〖（19/6 π）=〗 cos〖（12/6 π+7/6 π）=〗 cos（7/6 π）。最后，引导学生快速判断出式子中的角位于第几象限内，将0、 π/2 、π、 3π/2 、2π几个角在坐标轴中的位置牢牢记住，即：cos〖（19/6 π）=〗 cos〖（12/6 π+7/6 π）=〗 cos（7/6 π）=cos（π+1/6 π）=-cos〖（1/6 π）=-√3/2〗。
对于中职生而言，在数学公式的记忆以及使用上，不应该将重点放在题海训练以及严密的逻辑推理上，而是通过通俗易懂的思路口诀以及简单清晰的记忆框架，例如“函数名不变，符号看象限”等等，有效引导中职学生学会应用诱导公式并善于应用诱导公式解决三角函数的相关问题，有效提升实际教学效果。
3.结语
简而言之，教师上课不是简单的传授知识，而是要着重于指导学生发现规律并总结规律。在教学中，教师应鼓励学生自主学习、敢于创新，寻找新方法和思思路来解决问题。拓展后的三角函数诱导公式易于理解和使用，不容易将概念混淆，有效地减少了解题的步骤，大大降低了问题的难度，可以帮助他们建立学习信心。这样也可以更好地发挥数学学科的作用，更好地开展职业课程教育，提高学生的文化水平和专业技术素养，此外，在实际教学过程中，中职教师还应不断探索，实现教学模式的不断创新，最终进一步提升教学质量。
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