几何问题中函数式求法分析
几何问题中函数式求法分析
李巧喜
（泰州技师学院，江苏 泰州225300）
关键词：几何量 函数 分析
内容摘要：运用几何量之间的关系，寻求两个变量之间的联系，解决几何中常见的函数式的求法。
正文：
函数关系的建立是数学的重要内容之一，也是人们探索事物内在联系的重要手段，如何揭示两个变量之间的函数关系是数学研究的重要方面，对于学生而言，它是一个难点，但如果在平常的数学学习中潜心细致分析量与量之间的关系，不断总结经验，还是有规律可循的。下面就几何量之间的函数式求法结合具体实例谈几点肤浅的看法。
首先根据已知图形的有关度量性质(勾股定理，圆幂定理，三角形和四边形面积公式，平行线分线段成比例定理等)确定量与量之间的相等关系式，然后再经过适当的恒等变形即可求得所求的函数关系式，其一般步骤是:
1.在充分分析图形中有关几何量之间关系的基础上，用己知量，自变量或表示函数的几何量来表示有关的几何量。
2.找出己知图形的度量关系，并利用它确定自变量与表示函数的几何量之间的相等关系，再经过适当的恒等变形，即可求得所要求的函数关系式。
3.根据自变量的约束条件，确定自变量的取值范围。
例1己知如图在Rt△ABC中，C=900 BC=4 AC=8点D在斜边AB上，作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F得四边形DECF,设DE=x,DF=y
(1)用关于y的代数式表示AE
(2)求y与X之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形的面积为S，求s与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值。
分析：(1)显然AE=8-y
(2)要求出y于x之间的函数关系式，只要应用已知图形的有关度量性质确定y于x之间的相等关系式即可
DE
= 代入得 =
(0
（3）由矩形面积公式得
S=xy=(8-2x)x=-2(x-2)2+8由二次函数的性质 当x=2时，S最大=8
在此我们应用平行线分成比例定理确定y与x之间的函数关系式；应用矩形面积公式确定S与x之间的函数关系式。
例2 已知如图E,F,G,H按照AE=CG,BF=DH BF=nAE(n为正整数)的关系，分别在两邻边的长为a、na的矩形ABCD的各边上运动。设AE=x,四边形EFGH的面积为S.
当n=1、2时如图1图2，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S=？
当n=3时，如图3，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），探索S随x的增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S=？
分析 （1）当n=1时，四边形EFGH各顶点运动到矩形ABCD各对应边的中点（如图1），使S=；当n=2时，四边形EFGH各顶点运动到矩形ABCD各对应边的中点（如图2），使S=。
（2）当n=3时，如图3，要确定S与x之间的函数关系式，必须认真观察图形，仔细分析图形面积之间的关系。
AE=CG=x,BF=DH=3x,
BE=DG=a-x,AH=CF=3a-3x
S=----
=-2-2
=AB×AD-2×-2×
S=3a2-x(3a-3x)-3x(a-x)
=6x2-6ax+3a2=6+
即S=6+ (0).
由二次函数的性质可知，S随x的增大而变化的规律是：在对称轴x=的左侧,即当0时,S随x的增大而减小；在对称轴x=的右侧,当时,S随x的增大而增大.
猜想：四边形EFGH各顶点运动到矩形各对应边的中点（如图4）使S=
例3已知：如图，在直角梯形COAB中，CBOA,以O为原点建立平面直角坐标系，A,B,C的坐标分别为A（10,0），B(4，8),C(0，8)D为OA的中点，动点P自A点出发沿ABCO的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒。动点P在从A到B的移动过程中，设的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值。
分析 作PF轴于F.因为S= ,AD=5,所以要求S与t的函数关系式，只要求出用t表示PF的代数式即可。为此，作BE轴于E,则BE=8，AE=10-4=6，由平行线截得线段成比例定理，得
AB=10.
PFBE , 即
PF=
S==×5×=2t (0)
由正比例函数的性质可知，S随着t的增大而增大，所以当t=10时，
=2×10=20.
此例是利用三角形的面积公式确定S与t之间的相等关系式。
例4如图，隧道的横截面下部是矩形，上部是半圆。已知周长为40米，求截面面积S关于底部宽x的函数解析式，并写出函数定义域。
分析 ： 半圆的直径为x, 其长度为
矩形长==20-x
× ＋x(20-x)
=-x2+20x
X的取值范围x>0且20-x＞0 0
函数定义域为（0 ，
此例用x表示矩形面积和半圆的面积，面积表示为两部分的和，使难点分散。
总结 求几何量之间的函数关系式，关键是要抓住三点。
要善于根据已知图形找出用来确定函数量与量之间的相等关系式和度量性质。
要善于用已知几何量、自变量和表示函数的几何量来表示有关的几何量。
要善于根据自变量的约束条件来确定自变量的取值范围。
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