让开放性问题进入数学课堂
论文题目：
数学教学模式的选择，是决定学生在课堂教学中能否很好地获取知识、形成能力的关键因素。代写称论文《数学课程标准》提出数学教育要以有利于学生全面发展为中心，以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。在此理念下，数学教学应是数学活动的过程。教师要充分发挥学生的主体作用，引导学生积极参与课堂教学，使课堂教学由封闭型向开放型转化．本文谈谈数学教学的一种新模式——开放题教学. 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于有明确条件和结论的封闭题而言的，是指条件不完备、结论不确定、解题策略多样化的题目。目前中学教材中开放性的问题较少，课本例题、习题基本是为了使学生理解和掌握数学结论而设计的封闭题。学海网(www.xuehai.net)这种情况使学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械模仿代替智力活动等问题。为了改变这种窘况，教师除在教学过程中要注意增加变式题、综合题外，还要适当设计一些开放性的问题，为学生提供更多主动探究与合作交流的机会，促进学生创新、研究能力的发展。
数学开放题可以来源于课本的封闭题：有时可把条件、结论完整的题目改成给出条件，先猜结论，再给予证明的形式；有时可改成要求运用多种解法或得出多个结论的题目；有时把题目的条件、结论拓广，使其演变成一个发展性问题，或先给出结论，再让学生探求其成立的条件是什么.开放性问题常见题型结构及解题思路如下:
1、试验、猜想与归纳型
2、存在型
3、对条件的探索型，此外还有最优化设计问题、图形位置关系确定问题等等。
开放性问题是从高层次上考查学生创造性思维能力的新型题，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常要综合运用归纳与猜想、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法才能解决问题。
一、归纳型
1、题型结构 一般对于未给出结论的探索性问题，通常称为归纳型问题。
2、解法导析：归纳 ?C猜想—证明
例1、已知数列 ,其前n 项和Sn满足 + +2(n 2),
计算S1 、S2 、S3 、S4 ，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明。
解： … 由此猜测得
现用数学归纳法证明：
（1）当n = 2 时,显然结论成立；
（2）假设当n = k( ) 时等式成立, 即
那么n = k + 1 时，
所以
由此可知，当n = k + 1 时等式也成立。
综合（1）、（2）可得，对一切n∈N，故等式 成立。
本题主要考查了代数恒等式变形、数学归纳、分析与归纳的能力，是一道典型的开放性问题。上述解答中，“观察——猜想——归纳——证明 ”是一个完整的思维过程，它既需要探求和发现结论，又需要证明所得的结论的正确性，体现出一种重要的数学思想方法。
二、存在型问题
1、题型结构：
结论不确定的开放性问题，称为存在型问题。一般有肯定型、否定型和讨论型三种。即在数学命题中，常以适合某种性质的对象“存在”、“ 不存在 ” 、“ 是否存在 ” 等形式出现。
2、解法导析：
“ 存在 ” 就是有适合某种条件或符合某种性质的对象 ；对于这类问题无论用什么方法只要找到一个，就说明存在 。
“ 不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种条件或性质的对象 ；这类问题一般要推理论证 。
“是否存在”型问题的结论有两种可能 ：若存在，需要找出来 ；若不存在，则需要说明理由。这类题目用反证法来解，先假设结论是肯定存在的 ,若推理无矛盾，即成立；若推理出矛盾，即可肯定结论。
存在型问题解题过程的基本模式是“假设——推证——定论 ”.
例2.设 是由正数组成的等比数列，Sn是其前 n 项和。
（1）证明：
（2）是否存在常数 c ,使得 成立？并证明你的结论。
分析：(1)
故可考虑利用求和公式来进行证明。
(1) 证明：设 {an}的公比为q，由题设 a1 > 0 , q > 0,
(i) 当q = 1 时, Sn = na1 , 从而 = na1•( n+2 )a1 - (n+1)2 a12 = - a12 < 0
(ii) 当 q≠1 时， 从而
= - a12 q n < 0
由 (i) 和 (ii) 得 ：
根据对数函数的单调性，知lg 即
分析：(2)假设存在常数 c ,使得 成立。
∵
Sn• - 2 = c (Sn+ Sn+2-2Sn+1)
由(1)知 而 c > 0 ,
故应考虑Sn+ Sn+2-2Sn+1是否小于零。
Sn+ Sn+2-2Sn+1= (Sn-c)+ (Sn+2-c)-2(Sn+1-c)
即Sn+ Sn+2-2Sn+1≥0 ，而Sn+ Sn+2-2Sn+1＜0，矛盾.
故不存在常数 c > 0 ,使
三、条件探索型
例3、已知二次函数f(x)的首项系数为负，对任意实数 x 都有f(2?Cx) = f(2+ x), 试问, 在 f (1?C2x2)与f (1+ 2x?Cx2) 满足什么关系时，方有?C2
∵ ( 1+2x－x2)－(1－2x2)=x(x+2) ∴ 当 x(x+2)<0 ,即－2
抛物线的开口向下且关于直线 x = 2 对称,于是f(x)在(?C∞,2]上单调递增, 在( 2,+∞)上单调递减.
又1－2x2≤1 ,1+2x－x2 = 2－(x?C1)2≤2 ,故需要讨论 1?C2x2与1+2x－x2 的大小 。
∵ ( 1+ 2x－x2)－(1－2x2)= x(x+2) ∴ 当 x(x+2)<0 ,即－2
例4、已知函数 f (x) = x 2+ c , f [ f (x)] = f ( x2 + 1 ) ，
(1) 设g(x) = f [ f (x)] , 求g(x) 的解析式
(2) 设j(x) = g(x)－l f (x) ,试问:是否存在实数l ,使j (x)在(－∞,－1)内是减函数, 且在(－1，0 ) 内是增函数。
解：(1)由已知得: f [ f (x)]= f ( x2+ c) =( x2+ c ) 2+ c , f ( x2+ 1) = ( x 2 + 1 ) 2 + c
∴(x2+ c) 2+ c =(x2+ 1) 2+ c ,由此解得：c = 1 ,
故 g(x) = (x2+ 1) 2+ 1 = x4 + 2x2 + 2
(2) j(x) = g(x)－l f (x) = x4+(2－ l )x2+(2－l)
∴j(x2) - j(x1) =(x1+x2)(x2－x1)[ x12+ x22+(2－l)]
设－∞< x1< x2 <－1 , 则(x1+x2)(x2－x1) < 0, x12+ x22+(2－l) > 1+1+ 2 -l = 4 - l
由(1) , (2) 知,当4 - l≥0，即l≤ 4时, j (x)在(－∞,－1)内是减函数，同理可证在(－1，0 )
内是增函数。
本例解法富有新意，既源于定义，又构思巧妙，其待定参数 l 值的确定利用了关系
数学教学是数学思维过程的教学，引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生形成良好认知结构，培养能力，全面提高素质的关键．为了充分体现教师的主导作用和学生的主体地位，在教学过程中，就要由教师到学生的单向交流，变成师生之间、学生之间的多向交流，使教学成为一个开放的系统．一方面要从整体效益和结构考虑优化教学过程，另一方面还要加强反馈和矫正环节在教学中的作用，并立足于教学系统的开放与发展，把系统科学的基本原理具体运用到教学模式的学习与发展上来．
在教学过程中，学生的学习目的、兴趣、意志、态度、习惯等非智力因素是教学的动力系统，对学生的学习过程起着发动、维持、调节的作用．吸收教育心理学的研究成果，在教学模式中进一步发挥非智力因素的作用，使学生生动、活泼、主动的学习，由“爱学”到“学会”，再到“会学”，注重学法指导，突出从“学”的视角进行教学模式改革，无疑是一个需要加强的问题．投影仪、计算机等现代化教学辅助手段的开发，对优化教学过程，提高课堂效益，使教学过程现代化创造了条件．怎样有效地发挥它们在教学中的作用，并指导学生运用计算机，进行探索式学习，构建新的教学模式是当前一个值得研究的课题．
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