柔性多体机械系统动力学特性的ADAMS仿真研究
摘要:为研究构件柔性和运动副间隙对机构动力学特性的影响，应用ADAMS软件仿真研究含柔性构件和运动副间隙的机构的动力学特性。引入固定界面动态子结构方法和非线性碰撞模型，建立了含间隙和柔性构件的曲柄滑块机构的动力学模型，研究了该机构在摩擦、材料阻尼、重力及外载荷力等多种工况下的动力学特性。ADAMS仿真计算表明，在含柔性构件和运动副间隙的曲柄滑块机构中，间隙和构件柔性相互作用，激起系统大范围的振动，加剧了能量损耗，降低了系统的使用性能，并呈现出特殊的非线性动力学特性。
关键词：间隙；碰撞；柔性多体；机构动力学
1. 引言
高速和高精度是现代工业对机械系统的要求，构件的弹性和运动副的间隙可能会导致系统的整体性能急剧下降，使机构的实际运动和理想运动之间产生了偏差，增加了构件的动应力，从而引起构件的振动，产生噪音，加速磨损，降低效率和工作精度，所以设计中必须考虑这些因素的影响。含运动副间隙和柔性构件的动力学成为了机构动力学的前沿课题。
从70年代起， Earles和Wu[1]、Mansour和Townsend[2]、Furuhashi、Morita和Matsuura[3]、Soong和Thompson[4]、Kakizaki[5]、Deck和Dubowsky [5][6]、Seneviratne L D[7]及Zakhariev[8]等对含间隙机构动力学进行了系统地研究。根据运动副元素的相对运动关系的不同假设，主要有三类运动副间隙模型：认为运动副元素在运动过程中始终保持接触，忽略间隙中冲击特性的连续接触模型[1][3][7]；认为运动副元素存在接触、自由和碰撞三种状态，但忽略碰撞时间，使用动量定理和恢复系数建立的间隙模型[2][4]；另一类模型则考虑接触和自由状态以及碰撞过程，这类模型应用较广[5][6][8]。
柔性多体系统建模和计算的研究成果很丰富。对于某些特殊结构，柔性多体系统存在有刚体大位移运动与弹性小变形的耦合，因此，系统方程高度非线性而且是刚性的，这给计算带来了不利因素，计算效率和精度成为主要矛盾，很多研究者致力于提高计算精度和计算效率。Shabana[10]等使用绝对坐标系来表达柔性多体系统，使得质量阵和结构力学中的质量阵相同，实现了刚弹解耦，但是即使在小位移情况下，刚度阵也是非线性矩阵。Dubowsky[5][6]等使用有限元的模态综合法减缩系统自由度，在一定程度上提高了计算效率。Bajkowski[9]和刘才山[11]等用有限元方法和模态叠加法研究了含间隙运动副和弹性构件的机构。
本文使用ADAMS软件，应用固定界面动态子结构法，计入构件柔性和运动副冲击的影响，研究在运动副间隙和构件柔性耦合的情况下，曲柄滑块机构的动力学特性。包括摩擦，材料阻尼，重力，外载荷力等情况下的动力特性。
2. 系统模型
2.1 动态子结构
在机械系统中，有的构件必须考虑其柔性特征，而不能仅作为刚体。但是，用有限元法来离散构件，将引入过多的自由度。为此，将结构动力学中的Craig固定界面法[12]引入，并且作适当修正以适用于机械动力学。先解除柔性构件 的约束，则有
（1）
其中， 和 分别为质量阵和刚度阵， 为广义力向量（包括关节约束力、惯性力、科氏力及外载荷等）， 为弹性变形向量。将子结构的自由度分成内部自由度和界面自由度两个集合，首先固定界面自由度进行模态分析得到正则主模态，然后逐个对界面自由度施加单位位移，而其他界面自由度固定，这样可得到和界面自由度数目相等的静模态，称之为约束模态。
在Craig子结构法中，用减缩的主模态和约束模态组成新的模态来替代原完备模态，即
（2）
其中， 为保留的低阶主模态， 为约束模态， 为对应于主模态的广义坐标， 为对应于广义坐标 的变换矩阵。将（2）代入（1）式，得
（3）
至此，原系统已经被减缩成式（3）， 的自由度远小于 ，以上就是Craig固定界面子结构法。以上可以看到，Craig法操作简单，精度较高，在结构动力分析中得到了广泛的应用。
式（3）中的 是块对角阵， 一般是满阵。解如下广义特征值问题：
（4）
得特征值 和特征向量 ，并且满足下列正交归一化条件，其中 为单位阵， 为对角阵
（5）
令 （6）
上式代入式（3）即可以将式（3）解耦。将上式代入式（2），得
（7）
经过式（7）的坐标变换，原子结构的物理坐标 用广义坐标 来表示。变换阵 有如下特点：（1） 是原子结构主模态和约束模态综合的结果，并且能够反映边界作用效应及高阶模态的拟静力作用，其中约束模态的动力学意义是体现了高阶主模态的拟静力影响，所以可以对模态截断产生的误差起到一定的补偿作用，加快收敛；（2）经过式（7）的正交化后，原约束模态中的刚体模态被显式分离出来，这样如果需要就便于对其处理；（3） 中低阶模态是经过原主模态和约束模态综合而成的无约束体低阶模态，其中起主要作用的是固定界面低阶主模态。 中高阶模态体现的是无约束的边界自由度的振动模态，起主要作用的是固定界面约束模态。在高阶和低阶模态中间有一段较窄的过渡区。这样，可以在 中明确地选择低阶模态和边界振动模态，以进一步减缩自由度。
在进行自由度减缩时，要尽量选择在特定的情况下影响大的模态才能反映实际变形，仅仅使用通常的频率判断准则是不够的，还要加上能量判断准则。同样的模态集减缩，但在不同的外载作用时，计算精度是不同的[9]。在机构动力学中，一般的构件是在运动副处进行运动和力的传递，因此反映运动副处的边界效应就非常重要，特别是在作用力很大时更重要，如高速重载及含间隙的机构。
2.2 碰撞模型
目前使用的碰撞模型有很多种，Doubowsky[5][6]使用并联弹簧阻尼线性碰撞模型，但这种模型主要有以下缺陷：（1）碰撞开始时，由于阻尼力不为零造成碰撞合力不为零；（2）碰撞结束时，阻尼力表现为拉力从而合力为拉力；（3）在小间隙时，运动副元素为共形接触，线性模型的误差较大。为此，本文采用非线性弹簧和阻尼来模拟碰撞力，并计入摩擦影响。
碰撞模型如图1所示，其中系数k和c是相对位移的非线性函数，则法向碰撞力为
（8）
图1 碰撞模型
其中Fs是等效弹簧力，Fd为等效阻尼力， 分别为运动副元素接触后的相对位移和相对速度。Fs是相对位移的函数，Fd是相对位移和相对速度的函数。
其中
（9）
和 由实验或数值计算确定，一般是硬化弹簧特性。 是多项式，可以为二次多项式，其系数可由实验得到的能量损耗值确定。这样，法向碰撞力 满足了在碰撞开始和结束时为零的条件而且表达了能量损耗情况。
运动副在碰撞和相对运动中存在摩擦力，摩擦力用库仑摩擦力表示。摩擦系数分为静摩擦系数和动摩擦系数，在无相对运动时摩擦力表现为静摩擦力，在一定的相对运动速度下为动摩擦力，一般静摩擦系数大于动摩擦系数。摩擦力为
（10）
其中， 是摩擦系系数，是相对切向运动速度的函数。
法向碰撞力 和摩擦力 构成了运动副中的总的相互作用力。
在柔性体模型和间隙模型建立之后，使用拉氏乘子引入约束，利用拉格朗日方程即可建立起系统方程，这是一组代数-微分方程组，具体推导参见文献[5]。
3. 曲柄滑块机构的动力特性
图2为一个曲柄滑块机构，尺寸如图所示。其中，曲柄1和滑块3为刚体，连杆2为弹性体，杨氏模量E = 200 GPa，泊松比 。曲柄转速为 rad/s 。将连杆2离散进行模态分析，并取连杆两端的两个节点作为对接界面点。取前40阶固定界面主模态和6个约束模态，再进行式（7）的正交化分析得模态矩阵 。矩阵 中，有6个刚体模态，其中低阶模态和自由梁的模态基本相同，高阶模态是两端界面模态占主要成分的模态，这样可以从中选取影响大的模态。假设机构作平面运动，在矩阵 中取前6阶横向弯曲模态和前2阶纵向变形模态以及6个边界振动模态，这样，除6个刚体模态外共有14个弹性模态参加综合。经过计算表明，其它高阶的弯曲和纵向变形模态对系统的影响极小，在此可以忽略。
在含间隙运动副中，往往存在较大的碰撞力，而固定界面动态子结构法中的界面模态能较好地描述这种边界状态。当滑块质量很小时，运动副中的力较小，对系统的影响较小，所以计算时有无边界模态相应相差很小。当滑块质量较大时，运动副反力较大，计算时必须加入边界振动模态。图3是滑块相对理想运动的位移，在不计运动副间隙的情况下，滑块质量为400 Kg时，运动副界面模态对系统影响的计算结果。可以看出，计算时有无边界模态二者差别很大。
图4是滑块在运动过程中受到的碰撞力（幅值）的变化。这是在计入重力和摩擦力情况下的碰撞情况。从图上可以看出碰撞力在总的趋势上是和机构运动周期一致的，但在大的周期之间，可以看到有许多小的密集的碰撞，类似“爬行”现象，在不计摩擦力的情况下，则没有这个现象，摩擦力是产生这个现象的原因。当有重力作用或滑块上有工作载荷时，则有可能加剧“爬行”现象。
图5是连杆中点的弹性变形。碰撞力接近脉冲力，由于碰撞的作用，激起了连杆中较宽频带的振动，图中可以看出振动峰比图4中的要多，其中有机构运动周期，还有弹性体自身的振动。图6是连杆中点弹性振动的频谱，在200 Hz 以下的频率中，都激起了较大振动，1 Hz 附近是机构的运动频率，120 Hz 处又有一个较大的振动峰值，这个频率要远小于连杆两端自由或两端铰支的的固有频率，是机构刚体运动和弹性振动耦合产生的振动。在200 Hz 带宽中集中了较多的能量，这是在机构运动过程中，通过碰撞将一部分能量转移到了弹性体振动上，此时如果计入弹性体材料的阻尼，将逐渐消耗这部分能量。所以在含运动副间隙的机构中，运动副中的碰撞将能量逐渐传递给机构中的弹性体，同时激起了弹性体的振动从而加剧了能量的损耗，降低了机构的使用性能。
4. 结论
使用固定界面动态子结构法，结合非线性碰撞模型，研究了含柔性构件和运动副间隙的曲柄滑块机构，分析和数值模拟表明经过坐标变换的固定界面动态子结构法，可以有效地减缩系统自由度和反应运动副间的相互作用，特别是能反应运动副中存在的较大作用力。ADAMS仿真计算表明，在含柔性构件和运动副间隙的曲柄滑块机构中，间隙和构件柔性相互作用，激起系统大范围的振动，加剧了能量损耗，并产生“爬行”现象，降低了系统的使用性能。
参考文献:
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Abstract: ADAMS was used to study dynamic behaviors of mechanism with flexible parts and clearances at the joints. The fixed-boundary component mode synthesis(CMS) method and nonlinear impact model were applied in the test model of slider-crank mechanism. The numerical simulations of the model were done under several cases. The simulations show that in the slider-crank mechanism, the coupling effects of flexible parts and clearances at the joints excite wide-band vibration, consume more energy, and result in unexpectedly nonlinear and detrimental dynamic behaviors.
Key words: Clearance; Impact; Flexible multi-body dynamics; Dynamics of mechanical
