基于GeoGebra平台的统计数学可视化教学案例研究——以《总体分布估计》为例
基于GeoGebra平台的统计数学可视化教学案例研究
——以《总体分布估计》为例
张弛1 孙潇潇2
（1泰州机电高等职业技术学校；2泰州技师学院 江苏泰州225300）
摘要：以“总体分布估计”一课为教学案例，关注学生生活实际问题，基于GeoGebra平台，创设统计数学实验任务——绘制月度零花钱数目的频率分布直方图；依托GeoGebra平台，通过构建动态统计模型，直观地理解合理分组的统计意义；通过主动操作实验，将探究问题可视化呈现，促进学生合作学习及动手能力的提升，发展了学生数据分析、数学建模及逻辑推理等数学核心素养.
关键词：教学案例；GeoGebra；可视化；频率分布直方图；
1.前言
制作频率分布表及绘制频率分布直方图是用样本频率分布估计总体频率分布的重要统计方法。频率分布表与频率分布直方图都能反映出总体分布的状况，其中前者较为精确而后者则比较直观，两者能较好的相互补充。[1] 本次教学案例借助GeoGebra软件搭建数学统计实验平台，为学生创设自主实验的空间，学生在自主探究学习过程中，掌握用样本估计总体的数学方法，通过GeoGebra软件可视化的统计实验操作，感受统计思维与确定性思维的差异，进一步形成对数据合理分析的方法意识，培养和发展学生的数据分析、数学建模等数学核心素养。
2.教材解读
2.1教材地位与作用
本次教学内容选用教材为江苏教育出版社出版，职业学校文化课教材《数学》第二册第十章《概率统计》第6节《总体分布估计》。根据2020年教育部最新颁布的《中职数学课程标准》，本节内容是中职数学基础模块中“概率统计”部分的重要内容，本节内容在本章中具有承上启下的重要作用。
2.2教学目标
首先，学生通过独立完成频率分布表及频率分布直方图的绘制，能正确描述样本数据的分布特点；其次，学生经历整理数据、分析数据，制作频率分布直方图以及利用样本分布估计总体分布的过程，理解数据处理、逻辑推断、应用统计知识解决实际问题的基本方法；第三，学生通过对抽样数据的整理和分析、合理估计，感知数学统计思想方法为决策提供依据的重要作用，体会统计思维解决现实问题的现实意义。
2.3教学重难点分析
本节内容设置为一课时，其教学重点为绘制频率分布表与频率分布直方图，体会用样本的频率分布估计总体分布的统计思想。难点是体会合理分组在用样本频率分布估计总体分布过程中的重要性，理解制作频率分布直方图中以“”为纵轴的意义和作用。
3.传统教学设计分析
3.1传统教学设计程序
教材选用例题为：一位植物学家想要研究某植物生长一年之后的高度，他随机抽取了60棵此种植物，测得它们生长一年后的高度如下：（单位：cm）
表1 60棵此种植物高度数据（单位：cm）
教材中规范了制作频率分布直方图的实施程序，具体分为六步：
步骤一：确认最大值与最小值，并计算极差；
步骤二：根据问题情境，确定合理的组距和组数；
步骤三：计算各分组频数，以“分组”、“频数”列出“频数分布表”；
步骤四：计算各分组频率，并以“频率”增列入“频数分布表”，形成“频率分布表”；
步骤五：计算各分组相应的“，并以“增列入“频率分布表”；
步骤六：以为纵轴、分组区间为横轴，绘制“频率分布直方图”。
基于教材中对绘制频率分布直方图程序性较强的特点，在传统教学过程中教师会严格按照上述的六个主要步骤实施教学，并且对绘制过程做出强调：以横轴表示“植物生长一年之后的高度”，纵轴表示“，所以频率直方图中每个小矩形面积。因此，各个小矩形的面积大小直观地反映了各分组的样本频率的高低，且所有小矩形的面积之和比为1。
学生在教师的指导下，利用教材的例题，遵循频率直方图的六步绘制过程，能够在一个课时内完成频数分布表与频率分布直方图的制作。
3.2教学问题诊断分析
聚焦统计知识的讲授、统计方法的示范是传统教学设计流程的主线，但忽视了对学生主动探索意识的挖掘和培育，其后果将是造成课堂教学环节中主动探究让位于被动接受，学生学习热情不高，教师疲于应付教学流程的落实。具体原因有以下三个方面：
其一，统计模型的素材选用针对性不强。笔者结合实际教学和问卷调查发现，学生对所选情境的兴趣不高，主要由于生活经验的不足或是与所学专业关联度不高，同时学生对例题所研究问题缺少基本的认知，造成学生主动学习的兴趣不浓。[2
其二，直方图的绘制原理缺乏必要解析。尽管传统教学设计明确了绘制频率直方图的具体步骤及相关公式，也阐述了合理分组的重要性，但是对选择频率直方图作为总体分布估计的合理性与必要性，特别是将“作为纵轴，传统教学设计中并未给出必要的解释。[3]。
其三，直方图绘制的教学生成应对不足。传统教学设计中，教者囿于信息化手段运用的不足，教师既无法将根据多种分组方式制作的直方图一一呈现，让学生在直观比较中感受合理分组的必要性，也不能借助实际情境引导学生理解将“作为纵轴的统计意义。故而课堂氛围枯燥，学生疲于应付，探索的趣味消失殆尽。
因此，笔者发现依托GeoGebra平台优化教学实施程序，可以聚焦教学目标，将频率直方图中蕴含的统计意义动态直观地呈现给学生。这样做突破了传统教学手段的设计桎梏，学生的学习兴趣也在自主的操作中得到激发，静态的图表变成了动态的演示，课堂教学实效也得到切实提升。[4]
4.基于GeoGebra平台的教学实施过程
GeoGebra平台具有数据输入、统计分析与运算以及制表绘图等多重强大的数学统计运算功能，故本次教学案例将依托GeoGebra平台，开展频率直方图的教学活动。
4.1挖掘生活素材，引入统计实验项目
项目简介：为了研究我校新生群体的个人财务观念，现收集我校新生某月的零花钱数据，依此分析中职新生月度花费的数量分布特点，并对新生的个人消费行为提出合理化建议，促进中职学生健康合理消费观念的形成。
学生活动：从我校2022级新生全体中收集9月份月度零花钱数目作为总体，并按照系统抽象的方法，从总体中抽取一个容量为60的9月份零花钱数据样本（数据见表2），思考如何根据表2中的样本数据，了解我校新生群体月度零花钱数据的分布状况。
表2 60名学生月度零花钱数据（单位：元）
学生实验：将表2中的数据录入GeoGebra平台。
打开GeoGebra平台，在主界面的指令输入栏中，使用“列填充”指令将表2中的数据分作10列，依次录入GeoGebra平台表格区。
操作指令：
,代数区返回“”.
此条指令为表2中的第一列，其他各列以此类推.学生分别在指令输入栏输入指令，在代数区返回，同时在表格区返回表2。
设计意图：用“学生零花钱数目统计问题”取代“植物生长高度问题”，一方面更贴近中职学生的生活实际，更能激发学生的探究意愿；另一方面，数据收集与整理的过程成为了学生实际参与的学习活动，更好地促进学生数学能力素养的发展。
4.2迁移知识方法，创建动态分组模型
探究问题1：根据表2数据，如何了解这60名学生月度零花钱数目的分布状况？
教师组织学生对探究问题1进行讨论。在小组学习中，学生回顾已掌握统计方法，发现可以通过列频数分布表及绘制频数分布图的方式，分析零花钱数目的分布状况。
学生实验：列出样本数据的频数分布表。
学生操作步骤及指令：
（1）创建分组变量
首先，点击工具栏滑动条按钮，在绘图区创建滑动条。接着，将参数变量命名为，调整变量的最小值为5，最大值为12，增量为1。
（2）确定分组界限点
操作指令：.
当前，代数区返回“”.
学生拖动滑动按钮，可以观察到的取值在5到12之间，以1为增量的双向增减变化。如：当时，代数区返回“”.
（3）确定各分组频数
操作指令：.代数区返回“”.
（4）确定各分组区间
操作指令：.
代数区返回“}”.
（5）列频数分布表
操作指令：.
代数区返回“}”.
.代数区返回“}”.
.代数区返回
“}”.
.代数区返回“}”.
.代数区返回频数分布表.
（6）绘制频数分布图
操作指令：.绘图区返回频数分布图.
学生通过拖动滑动按钮，改变的取值，观察频数分布表及频数分布图中不同分组数情况下频数的分布状态，能直观地了解新生月度零花钱的分布情况。
设计意图：教师指导学生利用指令功能，列出频数分布表，绘制频数分布图。学生拖动滑动按钮，实现分组数的变化，同时观察各分组频数的变化。经实验操作，学生发现分组数n在5到12之间，都能较好地反映样本数据的分布状态。
探究问题2：你能估计样本中零花钱数目不少于85元的学生所占比例吗？
教师组织学生小组学习，讨论探究问题2。学生发现利用频数分布表无法直接快速的解决问题，如果将频数分布图的纵轴由“频数”转化为各分组的“频率”，则问题可以快速解决。
学生实验：列出样本数据的频率分布表。
学生操作步骤及指令：
（1）确定各分组频率
操作指令：.
当时，代数区返回“”.
（2）列出频率分布表
操作指令：.
代数区返回“”.
.
代数区返回“”.
.代数区返回频率分布表.
（3）绘制频率分布图
操作指令：.绘图区返回频率分布图.
学生拖动滑动按钮，改变的取值，观察频数分布表及频数分布图，在不同分组数情况下的频数及频率的分布状况。当n=10时，代数区列出的频率分布表，绘图区显示的频率分布图。考察频率分布图后，学生不难回答探究问题2，月度零花钱数目不少于85元的学生所占比例为8%+5%=13%。
设计意图：针对探究问题，教师首先引导学生回顾频率的概念，学生自然联想到将频数分布表转化为频率分布表，进而以“频率”为纵轴，绘制频率分布图。接着，学生进一步自主操控滑动按钮，寻找满足探究问题的最佳分组，考察频率分布图后完成对探究问题的回答，进一步体会合理分组的统计意义，理解频率分布图的实践价值。
4.3反思实验成果，优化数据分组方式
探究问题3：同学们在实验中发现随分组数的变化，某些数据会处于分组点上，不便于数据的统计分析。如：当时，“71”处于第3与第4分组的分组点。如何优化分组方式，确保每一个样本数据都落在某一个分组区间之中。
教师指导学生观察分组点随分组数的变化情况。小组活动中发现平均分组时会出现少数分组点具有一位或者两位小数的现象。教师顺势引导学生讨论，能否“人为”设定分组点具有一位小数，依此解决探究问题3。
学生实验：合理调整分组方式，确定分组点。
学生操作步骤及指令：
（1）计算极差
操作指令：.代数区返回“”.
.代数区返回“”.
.代数区返回“”.
（2）决定组距
操作指令：. 当时，代数区返回“”.
（3）确定各分组点
操作指令：.
代数区返回“”.
设计意图：学生经历查阅资料、讨论交流以及实践操作，发现将分组点设置为比数据多一位小数时，所有数据都会处于某一分组内，避免了因为分组数的不同，导致某一数据处于分组点上的问题。自主学习与生生互动相结合，充分激发了学生的学习热情，培养了学生严谨的科学精神和态度，同时也进一步深入理解了合理分组的统计意义。
（4）确定各组频数及频率
操作指令：. 当时，代数区返回“”.
.代数区返回“”.
（5）确定分组区间
操作指令：.
代数区返回“”.
（6）列频率分布表
操作指令：
. 代数区返回“
”.
.代数区返回“”.
.代数区返回“
”.
.代数区返回“
”.
.代数区返回“”.
.代数区返回“
”.
.代数区返回频率分布表.
（7）制作频率分布图
操作指令：.绘图区返回频率分布图.
学生通过拖动滑动按钮，改变的取值，发现调整分组点的取值后能够确保每一数据都落在唯一分组之中。学生进一步观察发现当n=11时，频率分布呈现中间高两边低的分布特点，分布形态最佳。而当n取其他值时，总体上也能呈现出上述分布特点，但会出现某一组无数据或数据在某几组过于集中等影响统计分析的现象。所以，经过各组讨论后，师生一致决定采用n=11作为最终分组数进行绘制。
设计意图：学生借助GeoGebra平台的动态展示，优化了数据整理分析的程序，充实了课堂教学资源，同时也开拓了师生学习、生生互动的思维空间。学生更易理解对 “分组点”、“分组数”的设置力求合理的统计要求，在细节之中让学生深入认识确定性思维与统计性思维的区别，突破了本节教学内容的第一个难点。
4.4关注实际问题，促进核心素养生成
探究问题4：若要了解零花钱数目不少于80元且不多于90元的学生所占比例，我们该如何调整频率直方图的纵轴？
首先，教师引导学生认识到探究问题4的本质在于估计任意区间的频率，且任意区间可能在横向上分布于几个分组区间内。其次，经过分析讨论学生发现无法从频率分布图中直接估计任意区间的频率，但通过间接计算仍可以得到。具体来说，任意区间的频率可以表示为各分组内的区间长度（横向间距）与相应单位距离的频率（频率/组距）之积。最后，经过师生共同讨论，决定将频率分布图的纵坐标修改为“频率/组距”，即单位距离的频率，那么任意区间的频率就可以通过相应小矩形的面积之和直接表示。
学生实验：修改频率分布图的纵轴坐标为“频率/组距”。
学生操作步骤及指令：
（1）确定各组相应的
操作指令：.代数区返回“”.
（2）列出频率分布表
操作指令：.代数区返回“”.
.代数区返回频率分布表.
（3）绘制频率分布直方图
操作指令：.绘图区返回频率分布图.（如图1）
学生经过实验操作发现频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，任意区间的频率均可以直接估计。进一步地，探究问题4中零花钱数目不少于80元且不多于90元的学生所占比例可以表示为：，即此部分学生所占比例为15.15%。
设计意图：教师引导学生对比饼图的制作，回顾饼图中面积累积的直观性，思考尝试对频率分布图的纵轴设置进行调整，使之进一步优化转化为频率分布直方图。至此，学生经历了纵轴坐标的表示从“频数”到“频率”再到“”的探索过程，理解了以“”为纵轴坐标的合理性及统计意义，突破了本节课的第二个难点，同时发展和培育了学生的数据分析、逻辑推理等数学核心素养。
4.5回归实验任务，培育统计方法意识
探究问题5：请你以学生会的名义，根据上述频率分布直方图，可以对新生群体的月度个人消费提出哪些建议。
设计意图：回归引入问题，引导学生自主发现约73.4%的新生月度消费不超过78元。因此结合生活实际，建议学生设置月度消费上限为80元。通过探究问题5，培养学生形成数据统计的评估意识，理解统计推断的结论，体会频率分布直方图的规律性与随机性。
探究问题6：总结频率分布直方图的作图步骤。
步骤一：确定最大值与最小值，计算极差；
步骤二：计算组距、组数，确定分组点；
步骤三：计算各分组频数、频率及相应的“；
步骤四：以为纵轴、“分组区间”为横轴，绘制频率分布直方图。
设计意图：通过自主总结，引导学生掌握绘制频率直方图的方法，也为进一步学习总体特征值估计奠定好知识和方法基础。
5.教学设计的对比分析
传统教学设计遵循课本内容设置，在数据整理、计算、制表及绘图等方面需要占用较多的课堂教学时长，而且手工制表、绘图，因熟练程度的差异也会造成合作学习进程相异、学习效果良莠不齐。而从学习者的视角，按图索骥式的学习流程充满了机械性、任务性，探究学习产生的趣味性毫无踪迹。
基于GeoGebra平台的教学设计，给学生搭建了一个自主探索、合作交流、大胆试错，贴近实际的情境和氛围。[5]学生在可视化与探索性的环境中，自主的积极地学习探究。具体来说，
其一，改进后的教学设计，利用GeoGebra平台指令制表及绘图，节约了课堂教学中手工制表与绘图时间，教师也可以深入指导组内学习，交流讨论及练习时间明显增多，课堂教学环节的时间使用效率显著提高。
其二， GeoGebra平台中，基于分组数的动态统计模型具有可视化的特性，学生可以直观考察教材之外的多种统计模型。这也成为知识结构内化的重要素材，帮助学生理解合理分组的统计意义，了解统计性思维与绝对性思维的区别。
第三，相较于传统教学设计，基于GeoGebra平台的教学设计没有照搬频率分布直方图的制图步骤，而是灵活运用不同的制图指令，引导学生经历从“频数”到“频率”再到“”的纵轴表示探究过程，促进了直观感知到理性认识的过渡。这样的设计开拓了学生的数学视野，促进了数学核心素养的生成。
所以教师在进行教学设计时应不断探索使用信息化的技术手段，以优化教学设计，整合教学资源，搭建助力学生知识内化和能力发展的阶梯，促进课堂积极氛围的形成。
参考文献
[1]李振雷,王志霞,高宇,张琦.用纵轴表示频率/组距的解释与教学实践[J].中小学数学(高中版),2017(09):29-31.
[2]赵海涌,薛红霞.实践中掌握方法 实验中探究新知——制作频率分布直方图教学设计[J].中小学数学(高中版),2012(Z2):67-69.
[3]张琦,冯会哲,郭文华.关注数学本质 突出统计思想——以“用样本的频率分布估计总体分布”为例[J].中小学数学(高中版),2019(05):12-15.
[4]马镛,季婕,安杰晶.一个几何概型问题的建模及其计算机模拟试验[J].数学通报,2015,54(03):58-62.
[5]于辉.随机模拟在Geogebra中的实现方法[J].中国多媒体与网络教学学报(电子版)中学版,2016(01):89-91+74.
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