关于函数凹凸性判定的一种推广及其证明
关于函数凹凸性判定的一种推广及其证明
张 弛
（泰州机电高等职业技术学校 江苏泰州 225300）
摘要：该文对函数凹凸性的判定定理进行推广，并利用泰勒定理给出证明。
关键词：函数凹凸性；泰勒定理
函数的凹凸性刻画了函数在定义区间上任意两点间的曲线弧与过两点的弦之间的上下位置关系。
一、凹凸函数代数定义及判定定理
定义 若函数在区间上连续，对内任意两点，恒有
成立，则称函数在区间上是凹的；若恒有
成立，则称函数在区间上是凸的.
如果函数在区间内具有二阶微商，那么有下面的函数曲线凹凸性的判定定理。
定理[1] 设函数在区间上连续，且存在二阶微商.
(1)若对任意的，有，则函数在区间内是凹的；
(2)若对任意的，有，则函数在区间内是凸的.
定理的证明方法较多[2-3]，有些是采用对原函数及一阶导函数连续利用微分中值定理的证明思路，也有些是运用函数单调性的导数判别法及微分中值定理，本文就不再赘述。下面给出对于定理的推广定理。
二、对凹凸函数判定定理的推广及证明
推广1 设函数在区间上连续，且存在二阶微商.
(1)若对于任意的都有成立，那么对于任意的及，有
(2)若对于任意的都有成立，那么对于任意的及，有
推广1可以理解为定理的等价性推广.事实上、是函数曲线上的两点，过这两点的直线不妨记为，则有
.
那么，表示与之间的任意一点.所以，当时，有
成立，即表示函数曲线上与之间的任意一点始终位于与连线上方.其中
也就是成立.
从几何直观上看，推广1刻画了在曲线弧上任意取两点，连接这两点的弦总是在弧段的上方，那么曲线就是凹的；反之，连接这两点的弦总是在弧段的下方，那么曲线就是凸的。
进一步地，从曲线弧切线的位置看，曲线是凹的要求曲线弧总在切线上方，而曲线是凸要求曲线弧总在切线下方，这与几何直观上了解的凹与凸是一致的。
推广2 设函数在区间上连续，且存在二阶微商.
(1)若对于任意的都有成立，那么对于任意的，有
(2)若对于任意的都有成立，那么对于任意的，有
推广3 设函数在区间上连续，且存在二阶微商.若对于任意的都有成立，存在且，那么对于所有的，有
证明 对于所有的
不妨设，记.
将在处，按照一阶泰勒公式展开，有
（1）
分别将代入（1）式，得：
（2）
（3）
……
（n+1）
以乘以（2），以乘以（3），……，以乘以（n+1），并相加，得：
因为，
则上式中：
所以上式整理可得：
又因为，，
故有成立，即
.
注1 若相应的将改为，其他条件不变,则有下式成立:
注2 推广3在推广1的基础上，揭示了在内插入个离散点的算术平均值处的函数值与这个离散点处函数值的算术平均值之间的关系。其中，当时推广3即为推广1的情形；当时，推广3即为推广2的情形，所以推广3刻画了更为一般的情形，也具有更强的应用性。
例1 设函数在区间上连续，且存在二阶微商.若对于任意的都有成立，证明有;
若有，则不等号方向改变.
证明：
若有成立，则有
故有
例2 设函数在区间上连续，且存在二阶微商.若对于任意的都有成立，证明存在，有
若有，则不等号方向改变.此题的证明与推广3类似，不再赘述.
三、结束语
函数的凹凸性是研究函数单调性、极值以及进一步研究函数曲线弯曲程度、方向的重要工具，几何直观上通过函数切线与函数曲线的位置关系的刻画，反映了函数的弯曲程度。在证明一些特殊的不等式时，利用好函数的凹凸性证明往往起到事半功倍的效果，尤为方便。
参考文献
[1] 中国科学技术大学高等数学教研室.高等数学导论:上册[M].3版.合肥:中国科技大学出版社,2009.7.
[2] 王红军,杨国平,李小斌.曲线凹凸性判定定理的简证[J].高等数学研究.2012,(5):23-24.
[3] 康晓蓉.利用泰勒公式证明函数图形凹凸性判定定理[J].高等数学研究,2017,(5):20-21.
Generalizations of concave convex functions and its proof
Zhang chi
(Taizhou Higher Vocational School Of Mechanical & Electrical Technology, taizhou,Jiangsu 225300,PRC)
Abstract:In this paper, the decision theorem of concave convex functions is extended and then proved by Taylor theorem.
Keywords: concave convex functions, Taylor theorem
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