例谈教材整合在高中数学教学实践中的运用
摘要：“教”离不开“材”，教材整合是对教材的二次深度开发，是为了更有效地提高学生思维能力和提升课堂教学效率。在教材整合对高中数学教学的意义被普遍认同的前提下，在遵循课程标准的原则下，本文将从“调”、“合”、“分”三个方面来探讨教材整合在高中数学教学实践中的运用。
关键词：教材整合；效率；认知；思维
引言
教材整合，是指在不违背课程标准和教材设计根本思想的前提下，教师根据知识衔接、学生基础、教学进度等实际因素，对教材内容进行合理的调整、组合。
科学的教材整合能使知识更加系统化，在逻辑上更加紧凑，使学生在学习知识的过程中衔接更加顺畅，思维能力得到提升，从而达到提高教学效率、增强教学效果的目的。
教材整合并不是一个简单的对教材内容“重组”的过程。一方面，它必须符合课标，教师需要充分地理解教材的编写意图，领会教材的内在精神，这样才能找准方向、抓住重点；另一方面，它需要结合实际，教师应该准确地把握学校的实际情况，了解学生的思维习惯，这样才能因“地”制宜、因“材”施教。
作为一名区实验型示范性高中的数学教师，笔者一直致力于在教学实践中探索适合本校学生的教材整合的方法并加以运用，也取得了一些成绩。下面结合笔者在多年教学实践中的实例阐述教材整合运用过程中的一些经验和思路。
一 调整教材顺序，加强知识联系
教材编写者在编写教材的过程中已经按照一定的逻辑关系和认知规律来安排相应的教学内容。从章节之间的内容来看，其安排是有序、合理的，符合由浅入深、循序渐进的思维规律，因此，章节之间的顺序不宜随意更改，否则将会“牵一发而动全身”，造成知识体系的破坏。但是，从章节内部来看，有些知识之间的联系还不够紧密，在实际教学过程中，学生往往会有“突兀”感，即相关知识的离散出现与他们思维连贯性产生了冲突，导致一定的理解障碍，造成课堂效率的降低。所以，对这部分知识的处理，应遵循“就近原则”，调整它们在教材中原有的位置，将它们与之前出现过的相关知识尽可能地连接在一起，从而加强知识之间的联系，刺激学生的“最近发展区”，使学生在学习知识的过程中更流畅、更高效。
实例1
教材中对于“球”的知识体系的安排是这样的：“15.3旋转体的概念”第2课时给出球及其相关概念，“15.4几何体的表面积”给出球的表面积公式，“15.5几何体的体积”第3课时给出球的体积公式，“15.6球面距离”研究球面距离的问题。
这样的设计确保了“旋转体的概念”、“几何体的表面积”、“几何体的体积”每一节中知识体系的完整性，但却切断了“球”的各个知识之间的联系。“球”作为一个特殊的“旋转体”，它的相关知识对于学生而言都比较陌生，其表面积和体积公式基本只能依靠“死记硬背”，球面距离更是打破了学生对于“距离”的常规认识，因此，在遵循教材安排学习“球”的过程中，学生遇到了很大的困难，往往学后忘前，顾此失彼。
为了解决这个问题，笔者将分散在各节中的球的知识抽离整合，放置在本章最后，形成新的一节——“15.6球”，并安排两课时分别学习“球的基本知识”（球及其相关概念、球的表面积和体积）和“球面距离”。这样的安排，实际上是对“球”做了一个专题研究，既保证了球的知识的连贯性，又呼应了15.3、15.4、15.5三节中的内容。
实例2
“空间向量在度量问题中的应用”这部分内容位于拓展部分专题3.4节中，共三个课时，其中第一课时解决运用空间向量求空间两条直线所成的角的问题，第二课时解决运用空间向量分别求空间直线与平面所成的角、二面角的问题，第三课时解决运用空间向量求空间点与平面的距离的问题。
这样的安排，呼应了教材第14章中的编排，符合学生在学习这些新知时的认知顺序；同时，将“角”的问题放置在一起研究，也有利用学生联系新旧知识进行学习，减少认知上的阻碍。不过，在“三个角”的次序安排上，笔者认为还有可以进一步优化的空间。“三个角”求解的关键，就是空间直线的方向向量与平面的法向量：空间两条直线所成的角的余弦值和这两条直线方向向量夹角的余弦值对应，空间直线与平面所成的角的正弦值和直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值对应，两个半平面所成的二面角的余弦值和这两个半平面法向量夹角的余弦值对应。从对应关系来看，“线线角”与“二面角”的求解方式更为接近，联系更加紧密，学生更能够融会贯通；从课时安排来看，一课时研究“线线角”的问题显得有些“铺张”，而一课时研究“线面角”、“二面角”两个问题又比较“紧张”。
因此，笔者将“二面角”的内容放置在“线线角”之后，并整合为一个课时，而“线面角”的内容则独立为一个课时。这样的安排，降低了学生理解的“门槛”，还合理利用了教学时间，增强了教学效果。
二 合并教材内容，提升教学效率
教材编写者在设计每节课的知识容量时，对学生的认知水平、思维能力有着全面、综合的考量，力求能适应绝大部分不同基础学生的理解能力和水平。因此，每一节课的知识容量都是深思熟虑后的产物，对大部分学生来说都是有效、合理的。不过，如果能根据学校、学生的层次对某些课时的知识容量进行适当地调整，那么对于提高课堂效率、优化教学效果或许能够起到积极的作用。比如对于学生来说容易掌握、相对“简单”的内容，就可以采取“合并”的方式，减少课时安排，避免学生过早地对这部分内容“失去兴趣”，从而让学生保持大脑的高速运转，通过一节课“紧张”地完成教材中两节课的学习目标，提升效率，一举两得。
实例3
在教材“13.3复数的加法与减法”中，共安排了两个课时：第一课时学习复数的加法和共轭复数，第二课时学习复数的减法和复平面上两点间的距离。
这样的安排，利于学生“消化”和“吸收”新知，对知识点进行“逐个击破”。然而在教学实践中，笔者发现学生对于复数的加法和减法之间关系的理解并无障碍，询问后得知是因为学生将实数集中“减去一个数就是加上这个数的相反数”的概念自然而然地迁移到了复数集中。虽然这样的迁移和推广只是一种主观臆断，在复数集中没有依据，但这反映了学生对加法与减法联系性的一种思考。
因此，笔者将这部分的内容进行了合并：将复数的减法直接放置在加法之后，并在它们之间设置了“复数的减法该如何进行”的猜想性问题，随后通过“复数减法是加法的逆运算”、“复数相等的定义”进行证明，再学习共轭复数的概念，使之成为一个课时的内容。这样，在保证学生思维连贯性的同时，培养了他们类比、猜想的意识和严谨的数学思维，也为第二课时“复平面上两点间的距离”的深化腾出了“空间”。
实例4
“排列”这部分内容位于教材16.2节中，分三个课时分别研究排列的概念、排列数公式以及排列的应用。其中第一课时主要通过实际问题、借助“树形图”来帮助学生初步建立“排列”的概念，第二课时承接第一课时设置的问题进一步引入排列数的概念，并研究排列数公式。可以说，这两个课时的联系是非常密切的。
这样的设计让学生能够由浅入深、循序渐进地了解“排列”这个全新的概念，体会排列的形成过程，有效减少学习过程中的“思维障碍”。不过，在分秒必争的教学过程中，笔者感觉到这些内容对于两节课的时间来说显得有些“单薄”。学生对于树形图并不陌生，因为在其他学科中已经有所接触；数列的概念比较清晰，学生易于理解；排列数公式的推导需要一些时间，但是其运用比较“机械化”，解决问题时只需“按部就班”即可。
所以，笔者将这两节课合并为了一节课，对于导入型的几个问题放在课前预习中安排学生自主探究，排列的概念让学生先尝试自主学习，然后在课堂教学中简单讲解和梳理，把重点放在排列数公式的推导及其运用上。这样的安排，虽然使课堂的教学时间略显“紧张”，但却锻炼了学生自主学习、思考问题的能力，也使得排列的学习更加紧凑。
三 分解知识板块，优化认知过程
正如上文中所提到的，根据学生的层次和实际情况，适当地调整课堂教学的内容是必要的。那么，对于学生来说需要深度掌握和熟练运用的知识，就应该加强研究的力度，增加学习的时间，让学生充分地认识知识的内在本质，牢固地掌握解决问题的方法。从实际操作上来看，就是要突破教材的限制，扩大视野，对这部分内容进行拓展性地分解研究，从而达到优化认知过程和深化知识运用的目的。
实例5
在教材“3.4函数的基本性质”中，共安排了五个课时：第一、第二课时分别研究函数的奇偶性和单调性，第三、第四课时结合二次函数分别研究函数的最值和最值的应用，第五课时研究函数的零点。
函数是高中数学知识体系中的一个重点，函数的性质又是整个函数部分的核心，函数的奇偶性、单调性和最值更是高考考察的“要害”。因此，以上三个性质的研究必须全面而透彻，仅仅通过三个课时的学习无法使学生深度掌握和熟练运用这些知识。
根据课标、考纲的要求，结合自身的教学经验，笔者将这三个性质作为三个专题，每个专题又分为几个小专题，每个小专题利用一节课的时间进行研究：
“奇偶性”分为两个课时：第一课时以奇偶性的基本概念为专题，学习奇函数、偶函数的概念，判断和证明一些简单函数的奇偶性；第二课时以奇偶性的判断、证明和运用为专题，进一步判断和证明复杂函数、抽象函数的奇偶性，运用奇偶性求解函数解析式。
“单调性”分为三个课时：第一课时以单调性的基本概念为专题，学习单调函数、单调性、单调区间的概念，判断和证明一些简单函数的单调性；第二课时以单调性的判断为专题，学习判断函数单调性的四种方法——定义法、经验法、图像法、性质法；第三课时以奇偶性和单调性的综合运用为专题，结合“耐克”函数、两个函数的和与积以及抽象函数研究相关问题。
“最值”分为三个课时：第一课时以最值的概念为专题，结合二次函数进行研究；第二课时以含参二次函数的最值为专题，研究定轴动区间和动轴定区间的最值问题；第三课时以复合函数的最值与值域为专题，研究根式型复合函数、分式型复合函数的最值与值域问题。
增加五个课时的内容后，使学生有长达八节课的时间全面、深入地学习函数的奇偶性、单调性、最值这三个性质，这将为他们今后对各章节的知识进行综合运用打下坚实的基础。
实例6
“圆锥曲线的性质”这部分的内容在教材中主要涉及“12.4椭圆的性质”、“12.6双曲线的性质”和“12.8抛物线的性质”三节。12.4通过两个课时分别研究椭圆的几何性质和椭圆与直线的位置关系的相关问题；12.6通过两个课时分别研究双曲线的几何性质和双曲线的渐近线的相关问题；12.8仅用一个课时研究抛物线的几何性质和抛物线与直线的位置关系的相关问题。
圆锥曲线作为高中数学知识体系和高考考察的又一个重点内容，对于本校学生来说教材对其性质的研究无论从广度、深度还是系统性来看都是不够的。对于这三类圆锥曲线的性质，只有通过“细嚼慢咽”的方式才能使学生掌握其精髓，如果一味地追求“效率”，反而会让学生“消化不良”，严重降低教学效果，当然也就谈不上所谓的“提高效率”。因此，对于这部分的内容，必须进行有效地扩展和深化。
通过对近几年高考、模拟考试卷和各类教辅书籍中相关问题的反复推敲和研究，笔者总结出了由“几何性质”、“位置关系”、“专题深化”三部分组成的系统性教学思路，在忠于教材的基础上分解知识板块，并引入教材之外的经典问题，使知识融会贯通，运用层层递进。
对于“椭圆的性质”，笔者安排三个课时分别以椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系和椭圆的弦为专题进行研究；对于“双曲线的性质”，笔者安排三个课时分别以双曲线的几何性质、双曲线的渐近线和直线与双曲线的位置关系为专题进行研究；对于“抛物线的性质”，笔者安排两个课时分别以抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和抛物线的焦点弦为专题进行研究（前两个专题为一个课时）。
这样的教学安排，让学生在学习时能明确目标、把握方向，又能在学习下一个性质时联想之前的学习过程进行类比和对比，优化认知过程，体会不同圆锥曲线知识之间的联系与区别，同时，还能对学生今后自主研究的方式和方法起到较大的借鉴作用。
结语
教材整合是一项工作量巨大、需要不断优化和完善的任务，笔者通过自己的全面思考和实践运用取得了一些成绩，也得到了同行的肯定。不过，笔者的经验和做法未必符合其他学校、学生的实际情况，因为教材整合又是一个因“师”而异、因“生”制宜的过程。但是，只要教师能做一个有心人，不断思考、寻找对策，使教学过程与学生认知更加合拍，那么，不论整合的方式和手段如何，最终都能让我们的教学“殊途同归”。
参考文献
[1]白丽.浅谈高中数学教材整合的两大原则[DB].https://www.kj009.net.
[2]刘波.高中数学教材章节整合例谈[J].中华少年, 2017(35).
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