借助TI计算器 走出数形结合的误区
借助TI计算器 走出数形结合的误区
上海市嘉定区安亭高级中学 彭朴
一、问题描述
已知定义域为的函数满足，且时，；函数，若，则，函数零点的个数是 .
这题是2017年上海市某区一模第12题，作为填空题的压轴题，笔者在本校2019届高三学生中进行了此题的测试调查，正确率仅为，的学生给出的答案是14，通过与学生访谈和查看他们的解题过程，了解到学生能想到运用数形结合解题，觉得题目并不难，在同一直角坐标系中，分别画出和的图像，观察出两函数图像有14个交点，得到零点的个数是14，当学生得知正确答案是15时，一脸茫然，有学生还利用几何画板画图进行验证，发现也是14个零点（如图1），怎么会多出一个零点呢？
二、问题解决
从图上观察，可以准确判断出两函数图像在区间内有13个交点，但在之间是不是只有一个交点呢？问题可以转化为函数与函数在区间的交点个数问题，在TI计算器上分别画出两函数的图像，初看上去，这两函数图像只有一个交点（如图2）.
如果以为中心，利用菜单中的窗口放大功能不断放大，可以发现这两个函数图像在之间有2个交点（如图3），当然也可以利用菜单中图像分析——交点功能找到除以外的另一个交点（如图4），这两个交点的距离大约只有0.04，因此从草图上很难发现.如果在TI计算器上作的图像，利用菜单中的窗口放大功能不断放大，可以发现与轴有2个交点（如图5），也可以说明函数与函数在区间上有2个交点.
除了用数形结合观察交点，还可以直接利用TI计算器中——代数——求解（零点）功能解决此问题：
方法1：利用代数中的求解功能，求出方程在的根分别为；
方法2：利用代数中的零点功能，求出的零点为（如图6）.
三、问题变式
如果改变的解析式，可以得到如下变式问题，借助TI计算器，运用上述方法可以求出它们的零点个数.
变式1：已知定义域为的函数满足，且时，；函数，若，则，函数零点的个数是
变式2：已知定义域为的函数满足，且时，；函数，若，则，函数零点的个数是
变式3：已知定义域为的函数满足；函数，若，则，函数零点的个数是
变式4：已知定义域为的函数满足，且时，；函数，若，则，函数零点的个数是
四、问题拓展
上述问题由于两函数图像的两个交点交织在一起，从草图上难以辨别，导致误判零点个数.有时两函数图像还可能会出现3个交点,甚至4个交点交织在一起，仅凭草图，直观上难以发现，比如：和有3个交点，和有4个交点(如图6、图7、图8、图9).
有时两个函数图像看上去有交点，实际上却没有交点，比如：和的图像有部分图像交织在一起，好像有交点（如图10），但是方程无解（如图11），说明两函数图像无交点.
五、体会
运用“数形结合”的方法解题，非常直观、形象，可以启迪思维，激发学生学习数学的兴趣，有时可以取到出奇制胜的效果，“数形结合”的方法在解答客观题时优势明显，深受学生青睐，但是，在“数”转“形”的过程中，由于图形失真，仅凭直观很容易步入数形结合的误区，借助TI计算器，可以走出数形结合的误区，让学生真正意识到“形缺数时难入微”.
《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提到：“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性.”利用TI计算器强大的功能，结合适当的教学内容设计数学实验进行数学探究，可以帮助学生发现一些数学现象和数学事实，提高学生自主探究、质疑、实践、创新的能力，可以发展学生的数学学科核心素养，符合新课程标准理念.
参考文献：
中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018．
借助TI计算器 走出数形结合的误区.doc
