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论线性规划在求解最值中的应用

日期: 2019/2/12 浏览: 1 来源: 学海网收集整理 作者: 泰州技师学院 余安娜

论线性规划在求解最值中的应用

泰州技师学院 余安娜

在高中数学的学习过程中,求解最值是一大重点和难点,也是每年高考的一大热点,题型和方法多种多样。而利用线性规划求解最值也是我们常运用的一种较简单的手段,它需要学生建立数形结合,转化与化归的思想,而且还能体现学生的综合分析能力,逻辑思维能力以及解决实际问题的能力,故本文就对利用线性规划求解最值问题进行浅析。

(题型一)求与目标函数有关的最值问题:

当目标函数的关系式如()时,可把目标函数变形为

,则目标函数表示斜率为,上的截距为的直线,然后通过平移寻找最优解.一般步骤如下:(1)作出可行域;(2)平移目标函数的直线系,根据截距求出最优解.

例1. 已知实数x、y满足 则求目标函数z=x-2y的最小值. 【解析】画出满足不等式组的可行域如下图:

目标函数化为:-z,画直线及其平行线,可知当此直线经过点A时,-z的值最大,z的值最小,解方程组得到A点的坐标为(3,6),所以,z的最小值为:3-2×6=-9。

(题型二)求比值的最值问题:

当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为连线斜率的最值。

例2 设实数满足,则求的最大值.

【解析】画出不等式组所确定的平面区域如下图,

表示两点确定的直线的斜率,要求z的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由上图可以看出直线的斜率最大,故为与的交点,即A点.

  ∴.故的最大值为.

(题型三)求与距离有关的最值问题:

当目标函数形如时,可把z看作是定点与动点距离的平方,这样目标函数的最值就转化为距离平方的最值。

例3.已知,求的最小值.

【解析】作出可行域如下图:

并求出顶点的坐标,而表示定点到可行域内任一点的距离的平方,过定点作直线的垂线,易知垂足在线段上,故z的最小值是.

(题型四)求与截距有关的最值问题:

例4.不等式组表示的平面区域面积为81,求的最小值.

【解析】由可行域的面积为81求出,作出可行域如下图:

令,则此式变形为,z可看作是动抛物线在轴上的截距,当此抛物线与相切时z最小,故联立方程组,得到方程,,得到答案。

(题型五)求与向量有关的最值问题:

例5.已知点的坐标满足:及点A(2,0),求的最大值.

【解析】作出可行域如下图:



=||·cos,即为在上的投影长

由有·cos的最大值为5,故的最大值为5.

(题型六)与实际应用有关的最值问题:

用线性规划解实际问题的一般步骤是:

(1)认真分析并了解、熟悉实际问题的背景,收集有关数据;

(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策变量,设为未知数;

(3)根据问题特点,写出各约束条件;

(4)列出目标函数,通过作图求出最优解或其它要求的解.

例6.一位农民有田2亩,根据他的经验:若种水稻,则每亩每期产量为400 kg;若种花生,则每亩每期产量为100 kg,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每1kg可卖5元,稻米每1kg只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?并求出最大利润。

【解析】最优种值安排问题就是求非负变量x、y满足条件x+y≤2和240x+80y≤400时,利润P达到最大。

解:设水稻种x亩,花生种y亩,

则由题意得 x+y≤2,240x+80y≤400,x≥0,y≥0))

作出可行域如右图:

而利润P=(3×400-240)+(5×100-80)

=960+420(目标函数)

可联立 x+y = 2,240x+80y = 400)) 得交点(1.5,0.5)

故当=1.5,=0.5时,=960×1.5+420×0.5=1650

即水稻种1.5亩,花生种0.5亩时所得到利润最大为1650元。

利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题,实际上是对数形结合思想的提升,是从一个新的角度对求最值问题的理解,对于学生最优化思想的形成是非常有益的。


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