例谈数学教学中的冗长化问题
例谈数学教学中的冗长化问题
江苏省扬州京华梅岭中学 盛轶
摘要：由于在数学教学中一些问题的解决不一定简单就是解决办法的最快途径，有时一些冗长化问题反而对教学有帮助，可以让学生在问题中最好并且更全面地接受新的知识问题，在冗长化问题中可以得到更好的学习理论知识的机会。
关键词：冗长化；数学教学；问题
人的思维方式、方法和模式对推导能力的形成起着核心作用。但是，这些作为一种素质究竟达到怎样的状态，并非完全取决于推导者，在很大程度上要受制于外部环境，特别是文化环境的影响。众所周知，由于东西方文化内涵的差异，东方人和西方人在思维方式、方法和模式上有较大的不同。西方人在思维上更富于开放性、求异性和独创性，而东方人在思维上则更富于封闭性、求同性和依附性。例如，在处理数学教学中的冗长化问题阶段，如果缺乏推导能力和好的灵感，要想在数学教学领域找到一个切实可行的推导课题，显然是相当困难的。同样，在解决数学教学中的冗长化问题阶段，即使有很好的解决方法，但在组织实施的过程中缺少必要的资金和推导能力。以下将结合数学教学中的冗长问题进行探讨。
1.课前探索过程冗长化
德国数学家高斯在证明一条定理时，被折磨几年之后才突然灵机一动而获得成功。他回忆说：“如同一个闪电那样突然出现在我脑海之中，问题就这样解决了。”实际上，这种思维模糊性仍然是以显意识中按照一定的逻辑关系，经过反复细致思考而获得大量准确的思维信息的积累为前提的。
已知等比数列{an}，首项a1，公比q，如何求Sn？要求：尽量不用书中的推导方法，但可以查阅相关资料. （1）
人们在有限的时间里不可能掌握所有有用的知识技能，这就需要以所学的数学知识为中心，拓宽知识面。形成重点突出、层次分明的知识网络；也需要不断增进不同学科、课程和知识联系的了解，形成整体的知识体系。今天，随着科技文化的发展，许多教学冗长化问题往往是各种知识的融合碰撞产生的。
2.课堂教学过程冗长化
2.1推导思想的暴露过程冗长化
由于长期以来的传统教学所实行的是一种应试教育，很少重视学生个性提供必要的发展，使得学生缺乏独立的个性，也束缚了学生的自主思维意识和独立推导思想精神。推导的时代需要的不再是整齐的行动和标准的解决方法，而是众多的创造性思维和推导能力。所要培养的是个性鲜明，有独立意识，会思考，能动手的人。
对话框1
S: Sn=a1+a1q+…+a1qn-1 ①
Sn=a1+a1+…+a1qn-2 ②
①—②得
(1-)Sn=a1+a1qn-1
na1 q=1
q≠1
T: 为什么乘以？ (教师适时发问，引发讨论)
（2）
对话框2
S: Sn=a1+a2+…+an
=a1+q(a1+…+an-1)
=a1+qSn-anq
(2)
(1-q)Sn=a1-anq
从而得到Sn.
T: 为什么要进行如此变形？
S: 构造Sn.
对话框3
S: 回到定义去！有，，，…，
根据等比定理
（1-q）Sn=a1-anq
从而得到Sn.
T: 方法很好，如何发现的？
本组学生在分析他们解决的过程非常曲折，有时因为进入死胡同而不知道错误在哪里？如何从错误中走回来，都是非常值得深思的问题。
对话框4
S: 只有一个想法，还不成熟.
T: 勇敢地说出来！
S: S1=a1=
S2=a1(1+q)=
（3）
S3=a1(1+q+q2)=
S4=a1(1+q+q2+q3)=
猜想：
（q≠1）
na1 （q=1）
T: 猜想很合理，但还需进一步证明，课后请继续思考.
发言完毕，孰优孰劣？众说纷纭.
在构成推导过程的诸多因素中，创造性思维是决定因素。掌握创造性思维应注重以下三方面能力的培养：想象是一种在感觉材料基础上，经过新的配合而创造出新形象的心理过程。爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”推导思维离不开想象的参与，它是灵感的源泉。在纸上画一个圆圈，想象它是什么。可以组织大家轮流发言，相互激励，思维共振，在较短时间内引出众多答案，比如湖面水波涟漪、海面上彩虹。训练求异思维能力求异思维(或称发散性思维)是指在解答一个问题时，能够得到很多可能的答案。它是一种思维不局限于一个方面，而向多方面发散，找出的答案数量愈多愈好的思维方法。
2.2公式应用冗长化
本节的例题教学中，教师安排了这样一个题目：
（4）
已知等比数例{an}，a1=2,S3=6,求公比q.
显然这道题最简单的解法是下面的解法：
解： S3=a1+a1q+a1q2 （1）
6=2+2q+2q2
解得:q=1或q=-2
(4)
教师在没有告诉学生快捷解题方法的前提下，给学生自由发挥的能力，让学生在教学中进行公式冗长化问题探究。
解：S3= （2）
6=
q2+q-2=0
解得：q=1或q=-2.
一个人的公式推导能力不仅与知识容量的多少有关，还要看知识的结构是否合理，是否有足够多的知识增长点。最重要的是这些知识和能力能否在他身上有效内化为素质。基础的知识是公式推导的基础，没有坚实的基础知识作支撑，最终只能流于空想。另一方面也不能过度强调知识的学习和积累，而忽视公式推导能力的培养，否则所学的将成为缺乏生命力的僵化的知识。
解：i）当q=1时，S3=na1=3×2=6，所以q=1符合题意.
ii）当q≠1时 S3=
6=
q2+q-2=0
所以q=1（舍去）q=-2
综合i）ii）q的值为1或-2.
此解虽然费时费力，但磨刀不误砍柴工.特别是对“q=1”这个解
（5）
思维高度灵活的互补综合性是灵感直觉思维的重要特征，主要表现为潜意识与显意识的互补综合、想象力与直觉等思维能力的互补综合、理性与非理性的互补综合、抽象与形象的互补综合等。
3.课后再思考过程冗长化
通过课后冗长化问题的教学过程中可以让学生进行自主探究，这样不仅可以让学生懂得如何在失败中取得成功的喜悦，而且可以增加学生的信心，这样学生在下次遇到同类型的问题时，能马上想到解题思路，问题就迎刃而解了。
反思
人们对事物的理解是螺旋式上升的，螺旋本身就是一个曲径，因而在教学过程中适度实施冗长化就尊重了学生的认知规律，更易发挥学生的主体性，更能培养学生的推导精神和实践能力.
学生通过一种复杂冗长的学习过程，可以增加学生的认知过程，这样可以更好以学生为中心的教学思想发挥出来，学生是学习的主体，也是自我学习的主体，然而也不是冗长化问题可以帮助学生认识自我的能力，如果处理不好，学生会消沉下去，因此要针对不同层次的学生进行冗长和简洁问题的教学，这样二者有机的结合在一起就更好在处理了学生学习数学难的问题。
江苏省扬州京华梅岭中学
盛轶
手机号码：13511767800
例谈数学教学中的冗长化问题.doc
