利用“方程的同解变形”巧解题
利用“方程的同解变形”巧解题
江苏省清河中学 223001 刘金豹
摘要：通过寻找方程的恒等方程，找到解题的突破口，并且可以达到一题多解的目的，还可以培养学生的发散思维，激发学生学习的兴趣。教师要想让学生跳出题海，自己必定要先跳进题海，利用书本上有限的习题和例题，来提高学生的学习兴趣和能力。
关键词：高中数学； 同解变形； 恒等方程；
方程的同解变形是高中数学的基本知识，基本技能，灵活的利用方程的同解变形常常能够达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果， 在解题上能够起到打开思路，转化思维，往往能使复杂的问题简单话。下面笔者枚举数例，以抛砖引玉。
一，方程的同解变形在零点问题上的应用
题目：有零点，求的取值范围？
分析：函数有零点等价于方程有解
处理手段一：令 得：， 得：
所以在上递减，在上递增，
所以只要即可
所以有
处理手段二：因为方程的同解方程为，所以原题可以等价转化为方程有解。
此时只要保证函数和函数有交点即可
令，得：
所以可得函数的切线为
结合图形只要让即可，得
处理手段三：方程的同解方程也可以是，所以原题可以等价转化为方程有解。
此时只要保证函数和函数的图象有交点即可
由上可知函数在上递增，在上递减
所以只要即可，所以
二，方程同解变形在方程有解问题上的应用
题目：若函数在处有三条切线，求的取值范围？
分析：因为，所以点不在曲线上，则设切点为
根据函数在点处有三条切线，所以可得方程有三解即可
处理方法一：方程的同解方程为。所以只要保证方程有三解即可
令，则由 得：
由 得：
所以：函数在和上递增，在上递减
故，
所以得的范围为：
处理方法二：方程的同解方程为，故只要保证方程有三解即可，即函数与函数的图象有三个交点即可
令，则由 得， 得
所以函数在和上递减，在上递增
所以
由题意有
所以得的范围为：
事实上，在上两例中所给方程的同解方程形式很多，每一种不同的方程都会对应一种解法，但由于高中知识的局限性，可能有的方法简单有的方法复杂，这就需要我们学生能根据自己的实际情况有选择的选择最简单的，最熟悉的做法。
同解是方程之间的一种等价关系，解集相同的方程又称之为等价方程，在解方程之中可以用一个较为简单的方程来代替一个复杂的方程。在上两例之中事实上都是寻找所给方程的等价方程，等价方程形式的不同可能会打开我们不同的思路。因为方程解的问题事实上就是函数与的图象的交点问题，而函数与形式的不同会使我们的解法多元化。
参考文献：1，《中学数学》1985.08
2，《安徽教育》1983.10
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