@数学美与数学审美能力
美是人类创造性实践活动的产物，是人类文明的产物。一般地说，美是人类直觉的感性形式，是人类本质力量的感性表现。通常所说的美包括自然美、社会美和艺术美，前者为第一性的，后两者为第二性的。在美学史上，最早从科学上提出美这个问题的是一些科学家，如古希腊的毕达哥拉斯学派，提出直角三角形斜边的平方等于其它两边平方的和，认为美是和谐与比例。美的概念，与科学的发展，与人类文明的兴盛，是分不开的。关于数学美及其表现形式、数学美感与数学审美能力，目前已有不少探讨，说法不一，但是总起来有几点是可以肯定的：其一，数学中充满着美的因素；其二，追求数学美在一定程度上促进了数学的发展；其三，要注重数学审美能力的培养。在本节，我们将对什么是数学美、数学美的特征、数学美感与审美能力等问题进行初步探讨。
一、什么是数学美
作为科学的语言数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，这就是数学在其内容结构与方法上都具有某种美，但数学美又有自身的独特含义。什么是数学美呢？历史上许多学者、数学家对数学美从不同侧面作过生动的阐述。
亚里士多德说：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是‘秩序、匀称和确定性’，这些正是数学所研究的原则。”
达•芬奇认为：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上。”
彭加勒说：“数学家把重大意义与他们的方法和他们的结果的美联系起来。这不是纯粹的浅薄涉猎。事实上，在解题、证明中，给我们以美感的是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。总而言之，就是引入秩序，给出统一，容许我们同时清楚地观察和理解整体与细节的东西”
维纳认为：“数学实质上是艺术的一种。”
徐利治认为：“数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美。”
认真研究上述看法，从美学与数学角度进行总结，可以这么说，数学美是数学科学的本质力量的感性与理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。它是一种真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。数学美既有第一性美的特征，更具有第二性美的特征。数学美不仅有表现的形式美，而且有内容美与严谨美；不仅有具体的公式、定理美，而且有结构美与整体美；不仅有语言精巧美，而且有方法美与思路美；不仅有逻辑抽象美，而且有创造美与应用美。
二、数学美的特征
数学美有四个方面的表现形式：对称、和谐，简单、明快，严谨、统一，奇异、突变。
1．对称、和谐
对称、和谐是数学美的基本内容，它给人们一种圆满而匀称的美感与享受，其实质是数学中对立统一的概念、运算、命题、图形等在结构与形式方面的体现。几何中的对称图形与变换是明显对称的，从简单的圆、椭圆、心脏线到各类几何变换群都具有鲜明的对称性。这些对称性是数学形式美的表现，它直观给人以美的享受。然而数学中还有更多的是基本概念、定理、法则的对称性，是与非对称性相联系的对称性，是数学内容美的表现。如代数中的对称多项式、行列式、矩阵、线性空间等，都是一种均衡的对称美。和谐是指事物之间按一定规律联系、匀称、有一定秩序以及明确的变化规律，天文学家开普勒在他的名著《世界的和谐》中就指出：“现代宇宙学的发展证明，从某些角度看，我们的宇宙也是一个‘简单、和谐’的体系。”和谐包含着对称，它是一种内在美。波浪滚滚的正弦曲线，欲达不能的渐近线，翩翩起舞的蝴蝶定理，它们在和谐中动静结合，富有诗情。数系的扩充，一次又一次矛盾的冲突与解决，都在新的基础上形成新的和谐。初等数学中的对称、和谐美典型例子要算黄金数及其应用了。
的宽长之比，还是黄金三角形的底腰之比，此外还有，
ω＝2sin18°，
黄金数也是现实世界中美的反映。世界上许多著名建筑广泛采用ω的比例，给人以舒适的美感。人体自身的躯干宽高比约为1∶1.618。一些名画的主题，大都画在画面的0.618处，摄影中也要注意这一点。乐曲中较长的一段一般是总长度的0.618，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处会使声音更甜美。美术作品的高雅风格、音乐作品的优美节奏，交融于数学的对称美、和谐美之中。
2．简单、明快
简单、明快既是数学美直观显现，又反映数学的内在美。数学语言本身就是最简洁的文字，同时反映客观规律极其深刻。许多复杂的客观现象，总结为一定的规律，往往呈现为十分简单的公式。如开普勒行星运动第三定律T2=D3(T为行星公转周期，D为行星与太阳的距离)，爱因斯坦的质能公式E=mc2(m为物体质量，c为光速)，牛顿第二定
的自然现象又常用一个数学公式加以描述，如弦振动、电磁波的传播、 描述，可谓精美。数学家总是以极其抽象的手法来揭示自然界的规律，如数学中有各种算子，引入之后使得公式变得如音符排列的歌曲一样，简洁又优美动人。我们看哈密顿算子
引入之后，梯度、散度、旋度化简为
gradψ=△ψ，
矢量分析这门研究流体力学、电动力学的重要基础学科，变得可用十几个公式加以概括。
追求简单、明快也是数学发现的重要因素之一。众所周知，追求第五公设的证明与问题求解，导致了罗巴切夫斯基几何的诞生。代数运算中乘法与幂的运算，乃是加法(相同加数)与乘法(相同因数)的简化。二进制可以说是从逻辑关系的简单性考虑中所引出的结果。1889年9月，希尔伯特在一篇短注记中，以直接的非构造性的革命方法，统一地解决了不变理论中著名的“果尔丹问题”。他的作法是把“存在有限个基本不变式”和“具体找出不变式”这两个问题分开。但是，他的非构造性的纯粹的存在证明非常简洁与深刻，并且孕育了新的抽象代数学科的产生。
3．严谨、统一
严谨、统一是数学美的重要特征。欧几里得的几何体系被称为“壮丽的结构”，曾鼓舞千百万青年人向科学堡垒进军。数学结构多样，但又常统一于某公理、公式之中，平面几何中的相交弦定理、割线定理、切线长定理都统一于圆幂定理之中。引入极坐标后，椭圆、双曲线、抛物线统一于公式
之中。方程论是一个古老而又重要的数学体系，16世纪意大利数学家曾成功地找到了根式解三次方程和四次方程的公式，于是数学家们又致力于研究五次方程的根式解法，但却均未考虑“根是否存在”的问题。1799年高斯在博士论文中，第一次严格地证明了“每个n次方程至少有一个根”。这是数学史上第一个一般性的存在性定理，并在方程论的基本问题上揭示了代数方程的统一性。
数学研究中的“不变性”原则，也是统一性思想方法在数学研究中的一种深刻体现，如克莱因曾对各种新几何学的发展进行总结，提出了各种几何系统在结构上的一般原则。1872年，他在爱尔兰根大学做了一个闻名于世的报告，就是著名的“爱尔兰根纲要”。克莱因在这里用变换群的观点作为几何学分类的基础，由此而用群论观点统一了几何学，指出几何学是一个有机的整体，无论是欧氏几何、仿射几何与射影几何等，都是由某种变换群所决定的，并且各种几何所研究的，都不过是在相应的变换群下的一种不变量。尽管各门几何都各自独立地发展着，但又都在变换群之不变量的意义下，达到了完美的统一。
数学严谨、统一的美还在于它源于自然又高于自然，成为数学发展的方向之一。比如几何空间，通常说的现实空间是三维空间，但是引进时间t之后出现四维空间，研究刚体运动出现六维空间，引进无穷远元素和射影变换，导出射影空间。欧氏三维空间可以推广到n维空间以至无穷维空间。近代数学还出现各种函数空间、向量空间、罗氏空间、黎氏空间、代数空间、拓扑空间等，真是琳琅满目，它们仿佛是一个个经过精致加工的象牙雕品，比原始材料不知优美多少。从结构的统一性来认识，在空间中赋予各种量的结构，便形成不同的空间，如赋予向量与内积结构就形成欧氏空间；赋予向量结构就形成向量空间：赋予代数结构时，就形成代数空间等。这样各空间又在赋予某种结构的意义下统一起来。
4．奇异、突变
奇异、突变是数学美的重要表现，它反映了现实世界中非常规现象的一个侧面，给数学的发展带来了新的活力。数学中奇异美，颇有一点“出乎意料”和“令人震惊”的意味。这种奇异美与前述的统一美之间，是一种对立统一的关系，必须把这两个相互对立的方面结合起来，以能在新的层次之上达到更高的统一。
这是一个十分卓著的发现，人们惊讶的是表面上看来毫无联系的两个数学概念，竟然如此密切地沟通起来了。为了证实这一优美神奇的猜想，从高斯提出猜想到完全证明，数学家们花了近百年的时间。
数学分析中主要研究连续函数。起初，数学家以为“连续函数至少在某点处可微”，然而魏尔斯特拉斯1860年却找到一个奇特的函数，它处处连续但处处不可微。这个例子不仅澄清了对函数概念的模糊认识，而且使分析基础更严密化。后来又有人发现，存在着黎曼可积而又具有无穷多个间断点的函数，这无疑是一种奇特美。相对于连续的数量形式而言，离散的数量形式显得新颖而奇特，并由此而促进了对于离散数学的发展和研究。现在，离散数学成为计算机科学不可缺少的工具。突变相对于连续性而言，也体现出一种奇异美。法国数学家托姆运用微分映射的奇点理论去研究自然界中的非连续的突变现象，终于导致了突变理论的诞生和发展。
还有一个十分有趣的例子是蒲丰用投针求π的近似值。1777年某日，蒲丰忽然奇想，请许多宾朋来到家里，做了一个奇特的试验。他事先画好了一条条有等距离的平行线的白纸，铺在桌上，又拿出一些质量均匀长度为平行线间距离一半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上。蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任一平行线相交的有704 近似值。还说，投的次数越多，越精确。这个试验的确使人震惊，π竟然和一个表面看来风马牛不相及的随便投针试验，沟通在一起。然而这 (其中n为投掷数，v为相交数)。计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且开创了用偶然性方法去作确定性计算的前导，充分显示了数学方法的奇异美。培根说得好：“美在于独特而令人惊异。奇异与和谐是对立的统一。数学中出人意料的反例和巧妙的解题方法都令人叫绝，表现出奇异的美，闪耀着智慧的光芒。”
三、数学美感与审美能力
在数学创造活动中，对数学美的追求、美感与审美能力起着重要作用。著名数学家彭加勒认为数学美不仅是选择事实和理论的一个标准，而且也是激励数学家进行科学研究的持续动力。他说：“一个科学家，尤其是一个数学家，他在工作中体验到和艺术家相同的印象；他的乐趣象艺术家的乐趣那样大，而且有相同的性质。”对于数学美的追求，归根结底是对数学真理的追求。
1．数学美感与审美能力是数学创造性思维中重要因素之一
数学美感是人们在从事数学研究时最高层次的显意识和潜意识相结合的思维功能，是唤起和激发人的最高享受的心理状态。数学审美能力是指对数学美的感受能力、鉴赏能力与创造能力结合的一种综合能力。
在创造的准备与领悟阶段，特别是构思与突破时，数学美感与审美能力，与形象、灵感结合，起着关键作用。数学的创造常开始于对现有知识美的缺陷的认识，射影几何的研究就起源于对直线交点的追究(因为它不“对称”)，柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系就开始于对已知概率知识杂乱无章的不满(因为它不“严谨”、不“统一”)。数学创造离不开数学美感与审美能力，数学家阿达玛说的好：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人，永远成不了数学家。”
在数学创造的加工整理完善阶段，以及对成果检验评价时，数学美感与审美能力起着重要作用。我们现在对数学成果总爱说漂亮不漂亮，如果某数学论文的成果结论新颖，证法简明，我们就会说：“真漂亮！”这实际上是数学美起的作用。数学家们在整理自己的成果时，总是力求简明扼要，并不断改进方法，使之完美、抽象。代数基本定理的证明，高斯曾给出四个严格证明，第一次发表于1799年，以后他不断改进，一次比一次更完美，第四次发表于1850年，整整相隔半个世纪。陈景润攻克(1＋2)的难题，最早的成果是1966年，但那时证明较长，以后他作了改进，简化了原有的证明，后来潘承洞、王元对证明又作了进一步的简化。秦元勋在《常微分方程定义的积分曲面》中，证明二次系统最多有四个孤立周期解，并且是一、三结构，即三个一串和一个打单，至此，二次微分方程的解的结构得到最终解决。国内外在评价这一成果时，认为结果完美，其方法为今后指出新的途径，是对希尔伯特第十六问题的重要大突破。这评价既是从理论与实际的意义上讲的，也是“懂行”的专家从美的角度产生的共鸣。
