例谈求数列通项公式的常用方法
例谈求数列通项公式的常用方法
云南省 云县 涌宝中学 张天宝
摘 要：求数列通项公式是数列内容在高考中常见的题型，掌握数列通项公式的求解方法.对于高考中解决数列问题，有重要的意义.本文通过例题谈谈几种常见的求解数列通项公式的方法，并进行总结.
关键词：数列 通项公式 方法
近几年来，在新课标高考数学中，特别是新课标全国卷，数列问题有一解答题，多为解答题的第一题，题型稳定，重点考察通项公式的求法和数列前n项和公式的求法，一般有一问是求数列的通项公式.虽然高考数学题型千变万化，但一些基本的题型是经常出现的.下面通过例题谈谈求数列通项公式的常用方法.
1.公式法
例1：等比数列的各项均为正数，且
求数列的通项公式.
解：设数列{an}的公比为q，由得所以。
由条件可知c>0，故。
由得，所以。
故数列{an}的通项式为an=。
结论：直接利用等差数列或等比数列的求通项公式的方法叫公式法，这种方法适应于已知数列类型的题目．利用公式法求数列通项时要注意不用错公式，利用题设中的条件求出首项与公差（公比），然后直接写出通项。
法
例2：已知数列的前n项和，求数列的通项公式.
解：当n=1时，；
当n≥2时，
结论：利用关系，求通项公式的方法，叫做法.
即当n=1时，；当n≥2时，.这种方法适应于已知数列的前n项和公式，求通项公式的类型.
3. 累加法和累乘法
例3：在中，已知,求通项.
解：（用累加法）
以上各式相加得，
例4. 已知数列满足，，求。
解：（用累乘法）
由条件知，分别令，代入上式得个等式，即
.
以上各式相乘得，
.
.
又，.
结论：若数列的递推公式可转化为，利用累加法求解；
若数列的递推公式转可化为，利用累乘法求解.
4.构造法
4.1 形如,其中)型的递推式
例5：已知数列中，求通项.
解：由设,解得,
所以,,故数列是以为首项，2为公比的等比数列.所以,即.
结论：若数列递推式为,其中)型时，可构造新的等比数列，方法如下：设,利用待定系数法求出，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，进而数列的通项.
4.2 形如,（其中c≠0,1，)型的递推式
本文只讨论 为一次函数(k,b是常数，且)型.
例6. 在数列中，，,求通项.
解：由，设，比较系数可得：k=-4,b=2. 所以，设，则上式即为，所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以，,即，故.
结论：若数列递推式为,其中)型，当 为一次函数(k,b是常数，且)时，可构造新的等比数列，方法如下：设,利用待定系数法求出,利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，进而数列的通项.
5.总结
在求数列通项公式的问题中，递推式一般是的关系式.其解题思路是：先利用（n>1）消去,得到的关系式，转化成以上各种类型，从而得到行之有效的方法. 高考数学题型千变万化，但万变不离其宗，只要掌握基本方法，在高考中会得心应手，迎刃而解.
参考文献
[1] 韩保树.例谈数列通项公式的常见求法[J]；《科技资讯》；2001年第10期.
[2] 唐洪伟. 例谈数列通项公式的求法[J]；《数学学习与研究》；2012年第15期.
[3]王宁岚. 浅议数列通项公式的求法[J]；《 数学学习与研究》；2012年第21期.
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