车刀加工速度的非线性整数规划模型优化与计算
车刀加工速度的非线性整数规划模型优化与计算
摘要：中国制造业整体状况是中国逐渐成为世界制造工厂，工业制成品所占比重逐年提高，初级产品所占比重不断下降。但存在的问题是中国的效率低下，单位产出的能耗远落后于传统工业强国。本文关注于在制造业中最具代表性的机床生产上，运用非整数线性规划对车刀加工速度进行建模，随后应用规划软件LINGO对该模型求解，使得车间在满足污水排放要求的情况下，降低能耗，实现生产利润最大化。
关键词：制造业 优化 低能耗 非线性整数规划 Taylor公式
Optimize Turning Tool Speed by Nonlinear Integer Programming Model
Jiangsu Suzhou Technican Institute Xu Qi
Abstract: China is now becoming the world factory. The industry products percentage is increasing every year. But the existing problem is the production efficiency is low, and resource used by each product is much more than developed industry countries. This paper focus on the representative machine manufacturing, use nonlinear integer programming to build a model to optimize the speed of the turning tools, and then solve the problem by software LINGO, which arrive at a optimal solution that reduce the resource and maximize our profit as well as satisfying the environmental requirements.
Keywords: Manufacturing, Optimization, Resource Saving, Nonlinear Integer Programming, Taylor Formulation.
背景介绍
制造业作为中国的支柱产业，在拉动中国经济的同时正在给世界带来翻天覆地的巨变，真正地将科学技术转化成现实的生产力。在制造业寻求实际利润最大化的过程中，运筹和制造悄然走到了一起。本文考虑运筹学的优化理论解决机械车削加工中设定加工速度的问题。这个问题中，我们一方面保证车削速度和生产量最大化，另一方面力求车刀和其他的损耗量最小。利用运筹学的方法，建立数学模型，最终达到利润最大化。
问题说明
我们考虑一家大型机械加工工厂，它的主要工作内容使用车刀加工大型超硬难加工工件，例如三峡水利工程中用到的泥浆泵的壳套，或者水泵叶轮；或大型飞机的发动机的制造工艺。工件的材料的硬度比较大而且形状不规则，这样就需要以硬度也相对比较大而且韧性，抗疲劳程度都很好的氮化硅制成刀尖的车刀来切削。我们假设市场订单是无限的。该工厂必须要针对现在的情况做出正确的决策，来保证工厂的高效盈利。
作为一个生产车间，利润最大化是其最终目标。在当前的设备下，我们的直接想法是通过提高劳动生产率以求生产周期内完成更多的订单量。而为了提高生产率，在加工时提高车刀的前进速度，从而可以在单位时间内加工完成更多的工件。与此同时，我们需要考虑提高前进速度，会导致车刀的寿命缩短以及其他方面的投入增大（在这里，运筹学的开山鼻祖泰勒教授曾给出了业界一直在使用的泰勒公式），从而导致生产费用增大。
此外，还需要考虑两个问题：
（1）随着车刀速度加快，生产率提升，不可避免的是废品率的增加，根据客户的要求，废品率应该控制在某个标准以下；
（2）加工速度增快，车刀和工件的温度随之升高；冷却液的使用量大大增加。根据国家规定的工厂排污标准，冷却液作为一种污染较严重的液体，它的排放量是有上限的，从而加工速度也会有一定的限制。
因此，我们的问题是在这些限制下，在产量提高和成本增大这对矛盾之间寻找一个平衡点，从而使得生产车间的利润最大。
数学模型
车刀加工速度的提高会同时提高加工成本和产品的产量，模型的目的就是找到合理的加工速度，找到成本和产量的平衡点，使得在研究的生产周期中利润最大化。
变量声明
我们定义以下变量，这些量是随条件不同而改变的，它们的取值影响最优结果：
常数声明
我们用以下符号表示模型中需要的常数。这些常数在模型中是已知的，可以通过调查、取样、回归分析等方法得到：
目标函数
我们的目标很明确，就是在现有条件下，生产符合标准内达到最大利润：
约束说明
（1）产品产量约束：
一个生产周期内的总生产量与车刀的加工速度与是线性相关的。也就是，车刀的速度越大，生产量就越大。
（2）加工速度与工件寿命的关系
在制造业中，泰勒对大量统计值进行统计，得出经验公式:
其中，n是根据车刀的材料而确定的经验值，一般分布在0.5到0.9之间。车刀的相对工件表面速度越大，车刀的寿命会越短。以下是速度与寿命的曲线：
图1. 车刀加工速度与寿命的关系曲线
（横轴为车刀的速度，纵轴为车刀寿命，图片来自文献2）
（3）加工速度与车刀刀尖的温度的关系:
加工的速度升高以后，车刀刀尖的温度会升高，温度变化有以上经验公式.
（4）加工速度与机床维修维护频率的关系：
加工速度越大，车床的主轴转速高，转动机的工作发热就大。同时，较高的转速会导致加工工件数目增加，从而机器需要维修的频率也会增加。
（5）加工参数对切削液用量的影响
车刀加工时候与工件表面的摩擦会产生火花，切屑和大量的切削热，这时候必须要切削液来改善加工环境，使得温度降低以保正车刀的硬度和保护工件表面不形成硬膜，并且帮助切削冲走，提高以加工工件表面的粗糙度。切削液可以重复使用，故我们这里考虑的是重复利用至不能使用的切削液的数量；可以由加工速度、加工温度和加工的件数的函数关系确定出来所需要的最小切削液量。
切削液不仅在使用过程中会在空气中挥散，对工作人员的身体健康有影响；如果使用完后排放出去，还会对环境造成严重污染。
综上，可得到下面的约束：
（6）加工速度与废品率的关系
加工速度的提高会直接导致废品率的提高，即成正相关关系。工厂车间生产必须满足客户要求的可以接受的最大的废品率。
（7）车刀数量限制：
车刀的总体使用寿命是车刀的总量乘以每一把车刀的寿命，它应当大于等于研究期间的加工的总合时间，即车刀要够用。
（8）单件工具的成本：
单位工件的成本 = 单位工件的材料原价 + 单位工件耗费车刀的价格 + 单位工件上面平摊的机床维修费用 + 单位工件上面平摊工人的工资支付 + 单位工件上面平摊的切削液的费用
数学模型
模型求解
前面的模型是我们在前提假设下得到的结果，对于其中一些量之间的函数关系，我们并不清楚它们的具体形式；但这个在模型真正应用时并不是问题，我们可以根据采样得到的数据进行回归分析，比如利用MATLAB的regress()函数、stepwise()交互函数就能很快的得到比较合理的近似函数。
我们现在给定约束中所含的未知函数一个具体的形式，给定所含的未知常数一个合理的数值，利用LINGO求解，研究解的性质。
（1）根据经验，氮化硅车刀的n取值为0.8.
经过查阅《制造工程与技术》上面的参数，我们总结出来一个规律，即硬度越大，该材料的经验值也会越大。立方氮化硅是很硬的合成刀具，而比较硬的车刀的n值大约是0.6，所以我们设定这里的n为0.8。
（2）讨论的生产周期 PRODUCT_PERIOD = 3000 HOURS
假设一年有大约300天的工作日，每个工作日有十个小时的开工时间。对于所研究的这一年的生产时间就是3000小时。
（3）工件原材料的价格为 ￥5000
该企业加工的是大型零件，材料为高硬铸铁，所以进价定为5000元。
（4）工件的销售价钱为 ￥18, 999
对于形状复杂，体积庞大的原材料，工厂要采取一些列工艺对其进行加工。 例如去硬皮，车削到指定的尺寸和表面粗糙度，车内孔，钻扩搅内孔，车端面，车螺纹，车斜角，精加工等等。所以会赚取较高的加工费用，最后定价为18，999 元。
（5）车刀的价格为TOOL_PRICE = ￥3800
上网查到的资料指出立方氮化硼车刀的价格大约为3800元。
（6）每次的维修费用为REPAIR_COST = ￥500
（7）每升切削液的价格为LIQUID_COST = ￥15
上网查到的资料指出切削液的价格为15元/升。
（8），
车床的生产率与切削速度、切削时间的乘积成正比关系，这个容易理解；参数由以往数据给出。
（9），，参数由经验数据给出。
（10），函数由回归分析给出。
（11），，经验公式，来自于文献2。
（12）
加工过程中切削液的使用量随着加工速度的增长而增加，主要是需要润滑；随着温度的升高而增加，主要是需要降温。而且温度的影响比速度的影响要大一些，所以给它们匹配相关的指数值。参数由回归分析得到。
（13）
在国家日益重视发展的同时要大力保护环境的原则下，我们给切削液的使用量一个上限，即在规定的时间内（我们研究的生产周期3000小时），切削废液的排放量不得超过3000升；因为切削液是可以重复利用多次的，所以这个数据还比较合适。
（14）
这里的0.5%的含义是表明废品率总是存在的，只要进行生产总存在废品率；而当切削速度增长时，废品率随之增长，根据数据，进行回归分析的结果如所示；又根据客户的要求，废品率不得超过1%，从而得到上述约束。
对成本有影响的因素如图2所示。注意：
以上所给的数据，均来自于互联网或者制造工程相关书籍；
某些函数的给出仅是其能满足大致的变化趋势；
某些常数可能仅仅是数量级正确；
将一切函数和常数明确化，只是为了下一步的求解。
图2. 单件工件的成本与切削速度的关系
将以上给出常数及函数带入原模型中，我们得到：
我们利用LINGO对模型进行求解，这是一个整数非线性规划问题，求解的结果如下：
结果分析
从LINGO 给出的解中，我们的最优目标函数值为2508256，其中：
这一年生产的工件数目为192件，平均一天半生产一件；平均生产一件工件的消费是5803.2元；车刀的切削速度为100m/min；这一年会消耗的立方氮化硅车刀的数目为23把；维修频率为1；使用的切削液的量为1776升；车刀的平均使用寿命为132.96小时，也就是7天左右；平均温度为793.7度。
从LINGO解出来的Dual Price 中，我们可以看出
第一个约束的右端项增加1，也就相当于工件的进价增加1，那么目标函数，也就是机床的利润会减少0.99；
第三个约束 ，表示车刀的工作时间与机床的工作时间的关系。
由于surplus 为正值，所以说明这是一个松的约束，也就是说为了达到生产目的和车刀的整数数目，车刀所能够胜任的工作时间要大于车床的工作时间。在基本可行解不变的情况下，只是在这个约束中增加允许的车床工作时间是对目标函数没有帮助的
第七个约束，表示车削液用量的限制的约束
由于surplus 为0，说明这是一个紧的约束，也就意味着切削液的用量控制着限制着加工的速度和加工的温度。每增加一升切削液的用量，就会相应的提高利润11.88。但是我们考虑到了环境保护的因素，不能够随便排放污水。切削液的排放量要有一定的限制。从这一点上我们可以看出，个人的利益是和集体的利益相冲突的，但是为了大家有一个更好的环境，工厂宁可要牺牲自己的利润空间。
在我们的模型中，有一个前提假设，即是只考虑车床车削工件的连续性，只考虑车床和车刀在工作时的损耗和消费，不涉及车床和车刀停歇以及工人的加工费用等情况，是一个相对简化的模型。在实际生产中，模型是很复杂的。还需要加入车床和车刀在停歇时的费用和工人的工资等费用。
模型推广
本文所提出的模型同样适用于铣刀等等和车刀有类似加工参数，类似加工条件的加工情况。如果需要几种刀具混合使用，可以进行刀具的组合，然后以组合以后的几个新组合为研究对象，利用0-1 变量来实现对那几个集合的挑选，来满足条件。即此问题转化成为集合覆盖问题。
此外，世界上制造业发展的趋势应该是标准化数字制造，即生产实现数字化控制，人只要把需要设计出东西输入电脑后，即可实现全自动生产。我们只需要将机床与计算机进行交互，编写程序实现以下功能：（1）先试切削，采集所需的数据，经过数学处理得到所需的函数及常数；（2）进行优化分析，得到最优切削速度；（3）使用最优切削速度进行切削，从而达到最优化生产。我们此处所谓的最优化生产的概念是：在现有的硬件设施基础上，在满足生产质量及其他要求的条件下，到达最大利润的生产模式。
参考文献
Serope Kalpakjian and Steven R. Schmid. 制造工程与技术（第5版）.北京：清华大学出版社. 2006年.
张福润等. 机械制造技术基础. 武汉：华中科技大学出版社. 2000年.
胡运权. 运筹学教程. 北京：清华大学出版社. 2003年.
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