环面蜗杆的建模及有限元模态分析
环面蜗杆的建模及有限元模态分析
摘 要：本文结合AutoCAD软件和Pro/E软件，模拟实际加工中切削的原理建立了环面蜗杆的三维模型。同时提出了一种用Workbench分析环面蜗杆的方法，针对某绞车传动系统求解六种临界状态下的系统频率和主振型。将模态分析结果与计算得到的啮合频率进行比较，分析系统运行时能否发生共振。所得结论反映了环面蜗杆的动力学特性，同时也为蜗杆传动系统的结构设计提供了理论依据。
关键词：环面蜗杆；建模；模态分析；振型
1 引言
蜗杆传动是机械传动中的一种重要的传动方式，具有传动比大、承载能力高、冲击载荷小、传动平稳、易实现自锁等优点，在国防、冶金、造船、建筑、化工等行业得到了大量的使用。
本文所研究的蜗杆为二次包络环面蜗杆，用于慢速绞车的传动系统中。蜗杆传动副在工作时，在内部和外部激励下将发生机械振动。因此，在蜗杆的设计过程中，除进行基本参数设计外，常应用有限元法对蜗杆传动副的固有振动频率和振型进行分析。在绞车传动系统中，对蜗杆进行模态分析，有益于在设计中掌握蜗杆的振动特性，特别是确定结构或机构传动部件的固有频率，使设计者可以避开这些频率或最大限度地减少对这些频率的激励，从而消除过度振动或噪声。
1 环面蜗杆实体建模
环面蜗杆建模方法比较多，有的用VBA语言编辑环面蜗杆螺旋线的应用程序，并在MDT6.0三维绘图软件环境中完成模型的建立；有的利用UG软件交互式图形编辑和Matlab建模；有的在Pro/E软件中，利用笛卡尔坐标系输入参数方程，生成三条螺旋线，利用边界混合建立曲面生成模型。本文提出了一种基于Pro/E软件的更为简洁和完美的建模方法。
本论文蜗杆副参数如下：
蜗杆头数=1，蜗轮齿数=45，中心距=315 ，蜗轮分度圆直径，蜗杆分度圆直径，蜗轮端面模数，蜗杆喉部螺旋导程角，分度圆齿形角，蜗轮宽度，蜗杆工作部分长度，齿距角。
为了更接近于实际加工情况，本次建模构造通过切削的方法在蜗杆毛坯上切出蜗杆的外形，这样处理之后在蜗杆两端残余齿形处有较好的模拟效果。在CAD软件中画出蜗杆的外形轮廓以.dxf的形式保存，并导入Pro/E中生成蜗杆毛坯，如图1所示。
图1 环面蜗杆毛坯模型
根据公式，列出平面二次包络环面蜗杆在分度圆位置的轨迹方
程：
在Pro/E中对曲面造型通常用扫描工具，但是对于该蜗杆的建模，在扫描的过程中，截面的位置是随着轨迹一直变化的，所以单纯的扫描工具不能完成。本次建模主要运用Pro/E中的混合扫描工具,而在混合扫描工具中，一般要设置多个扫描截面，这些扫描截面通过扫描轨迹进行过渡连接。但是在过渡过程中，当轨迹绕过某轴线大于360°的时候，截面图形在截面所在平面中的位置和角度是难以控制的。所以在混合扫描中除了指定起点和终点的截面后，还需再给每个360°周期分界处指定相应的截面。根据齿形角和蜗轮节圆齿厚等参数，绘制切削蜗杆的截面，并阵列。用混合扫描工具，以先前建立的轨迹方程为扫描轨迹，依次以这几个截面为扫描截面，两端点截面是扫描的起点和终点，中间几个截面为了限制扫描过程中扫描截面的方位过渡，完成环面蜗杆的实体模型如图2所示。
图2 环面蜗杆模型
2 环面蜗杆的模态分析理论
模态分析在动力学分析过程中是必不可少的一个步骤，用于确定设计机构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数，同时也可以作为其他动力学分析问题的起点。
应用有限元法对蜗杆的模态进行动态特性分析，必须将其离散为具有若干节点和单元的多自由度系统，根据振动学和有限元理论，可得蜗杆的运动微分方程为[2]：
（1）
在无阻尼自由振动情况下，动力学基本方程中的阻尼力项和外加激励项为零，故无阻尼自由振动的运动微分方程为
（2）
其对应的特征方程为
（3）
式中：—系统的固有频率（特征频率），1,2,3…，；
—系统特征向量（模型振型），1,2,3…，。
此时的振动频率一般存在个固有频率和振型，每对固有频率和振型代表一个单自由度系统的自由振动。模态分析就是用固有频率和振型来确定零件的振动特性。在Workbench中，模态分析是一个线性分析，它可以对有预应力的结构和循环对称结构进行分析。在蜗杆两侧的阶梯轴端面安装滚动轴承支撑，因此在轴肩部分的表面节点施加径向对称约束，约束3个方向的位移。
蜗杆副在啮合过程中，因加工误差、齿侧间隙和轮齿受载弹性变形及热变形，会使轮齿在啮入啮出时的啮合点偏离理论啮合线，蜗杆和蜗轮产生偏差和突变。蜗杆副的固有频率一般是指蜗杆轴振动的固有频率。固有频率可由下式近似计算
式中：和分别为蜗杆的等效质量和刚度系数，其大小可以查阅相关的手册或者根据经验而定。
3 环面蜗杆的模态分析
3.1 建立有限元模型
本文所选蜗杆的材料属性为：材料40Cr，弹性模量E=2.06×1011Pa，泊松比PRXY=0.3，密度。在网格划分的方法中自动划分方法是最简单的划分方法，系统自动进行网格划分，但这是一种比较粗糙的方式，在实际运用中如不要求精确的解，可以采用此种方式[3]。本文就采用自由法对零件进行网格划分，使用自由网格划分的命令，可利用实体模型线段长度、曲率自动进行最佳网格化，所得有限元模型单元数为14453，节点数为25880，如图3所示。
图3 蜗杆有限元模型
3.2 加载和约束
根据减速器的需要在蜗杆的右侧装有齿轮，在螺旋面的两侧装有滚动轴承，蜗杆在与蜗轮啮合时会受到蜗轮的作用力。蜗杆工作时，根据载荷的性质不同有径向力、轴向力还有圆周力。蜗杆的受力情况如图4所示，根据实际情况对各载荷进行计算。
图4 蜗杆轴的受力简图
齿轮通过键联接在轴上，通过外界输入转矩使齿轮与轴一起转动。齿轮在啮合时，沿啮合线作用在齿面上的法向载荷垂直于齿面，为了加载方便，将法向载荷在接触线的力分解为两个相互垂直的分力，即圆周力Ft2与径向力Fr2[4]。
1、计算作用在直齿轮和蜗杆上的力
1）直齿轮上的力
，,
2）蜗杆上的力
,
,
2、计算轴承支反力
1)在水平面内
由：,得
（负号表示力方向与所标方向相反）
由：，得
2）在垂直面内
由：，得
（负号表示力方向与所标方向相反）
由：，得
3) 求合力：
将所求的力汇总与表1，便于后面使用。
表1 蜗杆轴所受载荷
根据蜗杆的受力情况，在有限元分析中对其进行施加载荷和约束。在安装轴承的位置，施加Cylindrical Support限制其三个方向的自由度，在安装齿轮和蜗轮的位置分别对其施加载荷，加完载荷和约束的模型如图5所示。
图5 施加载荷和约束后的蜗杆
3.3 求解模态频率
根据施加的载荷与约束，求解模型。查看模态的形状，此时在绘图区域的下方出现Timeline图形和TubularData表，给出了对应的模态频率表，如表2所示。
表2 蜗轮的前六阶固有频率（Hz）
Table 2 The First Six Natural Frequency of worm gear
3.4 求解模型及结果分析
求解模型，查看模态的形状，得出了对应的模态频率表。在Timeline图形上右击，在弹出的快捷菜单中选择Select All，选择所有的模态，再次单击，在弹出的快捷菜单中选择Create Mode Shape Results ，再次求解得到蜗杆的前6阶模态的结果图，如图6所示。
（a） 一阶振型 （b） 二阶振型
（c）三阶振型 （d）四阶振型
（e）五阶振型 （f）六阶振型
图 6 蜗杆前六阶振型图
由图和表可知，各阶模态的振型和不同之处在于蜗杆的振动方向及幅度大小，发生振动的部位主要在蜗杆齿面和安装齿轮的部位，与实际分析吻合，很明显可以看出6阶振动得很厉害，也就是说当蜗杆的工作频率等于3034.1Hz时，蜗杆的共振非常严重。本论文所设计的平面二次包络环面蜗杆的振动频率Hz，其振动频率远远低于发生共振的频率，所以该蜗杆不会发生共振。
四、结语
本文的意义在于：
（1）利用CAD软件和Pro/E软件建立了环面蜗杆的实体模型。
（2）用有限元分析法变连续结构为离散结构，取代了传统的理论分析[5]。
（3）通过对蜗杆进行受力分析与计算，对其进行施加载荷和约束，得到了前六振型，通过计算的振动频率与固有频率进行对比确定其不会发生共振，进一步证明了设计的可行性。
参考文献：
[1]李炳文，王启广.矿山机械[M].徐州：中国矿业大学出版社，2007.
[2]陆爽，孙明礼，丁金福等.ANSYS Workbench 13.0有限元分析从入门到精通[M]. 机械工业出版社，2012.
[3]王金龙，王清明.ANSYS 12.0 有限元分析与范例解析[M].北京：机械工业出版社，2010.
[4]叶友东.基于ANSYS的渐开线直齿圆柱齿轮有限元分析[J].煤矿机械，2004（6）,43-45.
[5]牛跃文.基于ANSYS的矿用汽车车架有限元模态分析[J].煤矿机械，2008（4）,98-100.
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