摩天轮设计过程中的数学边界探析
摩天轮设计过程中的数学边界探析
摘要：随着世界各地出现的越来越多的摩天轮出现，对于摩天轮的设计者来说也提出了一定的挑战。对于在摩天轮设计过程中出现的合理、安全与收益效率之间存在的矛盾，在工程中如何合理的协调，这是摆在设计者面前首要问题。通过利用几何关系对摩天轮圆塔半径和轿厢数量以及轿厢相关尺寸进行分析，得出其干涉边界关系，为摩天轮的后续设计工作提供可靠的保障。
关键词：游乐园，摩天轮，数学边界，干涉
引言
数学边界问题一直以来都是工程设计中的首要问题，它为工程设计的最优化提供了前期的先决条件。为节约资源以及性能和效益的最大化提供了可能。在世界各地纷纷兴起的摩天轮设计建造过程中，便存在这这样的数学边界问题。摩天轮的经营者希望在一定直径的摩天轮上安装尽可能多的轿厢，以增加单位时间内乘坐摩天轮的游客数量来增加收入，同时又存在着轿厢的视角、摩天轮圆塔结构刚性以及所需要达到的安全标准等等。那么本文就从几何关系方面来对摩天轮设计过程中的数学边界进行简要探析。
1 摩天轮概述
随着位于北京朝阳公园的摩天轮（图1.1）的落成，这座高度达208米、直径达193米的摩天轮成为当今世界上最宏伟的摩天轮建筑物之一，同时也成为北京的又一标志性的现代人文景观旅游建筑。
与云霄飞车、旋转木马合称为“乐园三宝”的摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，供乘客乘搭的座舱挂在轮边缘。乘客坐在摩天轮的座舱中慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色。最常见到摩天轮存在的场合是游乐园，作为一种游乐场机动游戏。现在越来越多的城市通过开发含有摩天轮的游乐园来吸引游客来观光旅游，以此推广城市名片和发展当地经济。
2 摩天轮直径与轿厢数量的数学边界问题的重要意义
如果要设立摩天轮项目，作为游乐园的经营者首要要考虑的是要制造一个能容纳多少游客数量的摩天轮。这个问题要综合考虑，比如游乐园的日游客量、在中等速度运行下每小时完成乘坐摩天轮的游客数量、摩天轮的项目投入与收益比以及游乐园在未来的发展预期等等。
对于摩天轮的设计单位，要对游乐园经营者提出的各种要求作全面细致的了解与研究。首先，要根据现阶段和未来预期的游客吞吐量来设计摩天轮的轿厢容量及轿厢的数量，这里重点是要确定轿厢的数量；其次，要根据轿厢的数量来决定摩天轮的圆塔直径大小。
在轿厢数量确定情况下，圆塔直径越小制造成本越低。反之如果圆塔直径一定的情况下，能够安装越多的轿厢就能给游乐园带来最大的收益。那么摩天轮直径与轿厢数量的数学边界问题的研究就显得至关重要了。
3 数学边界问题分析
在设计制造摩天轮的过程中要考虑的因素有很多，比如摩天轮圆塔的结构、材料、安全性以及轿厢所能到达的高度的视角等等。这里我们抛开这些因素仅仅就在理想状态下摩天轮的直径与所能容纳的轿厢数量的数学边界问题展开讨论。
首先假设我们在工程中要制造的轿厢的尺寸为：宽Bm、轿厢全高Hm、厢壁高hm，如图1.2所示。设圆塔的半径为R，将此轿厢均匀地悬挂于圆塔四周时，由于轿厢受自身重
图1.1 北京朝阳公园摩天轮 图1.2 轿厢截面尺寸
力及工作状态需要其在摩天轮匀速转动时自然垂直向下。当相邻两轿厢运行至直角坐标系45°的整数倍角度附近时，如图1.3中所示，其中轿厢1的右下角与相邻轿厢2的左上角容易发生干涉现象，即相邻轿厢发生干涉的边界情况， 如图中C点所示。
本文仅以第一象限为例做简要分析，图1.3中轿厢1、2分别悬挂于圆心为O、半径为Ｒ的圆塔圆周上，悬挂点为Ａ、B两点，则OA与OB所形成的夹角α即为轿厢发生干涉的临界角。由此可知当摩天轮圆塔周围悬挂轿厢之间的夹角θ大于α时，相邻轿厢不会发生干涉现象。反之，出现干涉区域。下面通过几何关系分析干涉临界角α的相关情况：
图1.3 轿厢干涉边界示意图 图1.4 干涉边界几何关系图
图1.4为干涉边界几何关系，在AOB中∠AOB即为角α。OE为△AOB的垂直平分线，∠EOB为β角，则α=2β。在直角△OEB中：
由sinβ=可得β=arcsin （1）
在直角△ADB中，AB=，其中AD即为轿厢壁高AD=hm，DB为轿厢宽度DB=Bm，则AB=，由此可得EB==，OB为R。代入（1）式可得：
β=arcsin=arcsin （2）
由（2）式可得α=2β=2 arcsin （3）
若使相邻轿厢无干涉现象，摩天轮圆塔周围悬挂轿厢之间的夹角θ＞α，对应于圆周均布轿厢个数N应满足下列关系：
N=＜ （4）
由（4）式可知轿厢数量N与圆塔半径R之间的关系，在轿厢尺寸不变的情况下只要满足此关系式，轿厢就不会发生在C点干涉现象。
但是在（4）式中，轿厢数量N还与轿厢宽度B及箱壁高度h有关，同时我们也注意到对于相邻轿厢除了在C点发生干涉现象，还有可能在运行过程中轿厢1的右下角和轿厢2的轿厢的顶部CB段发生碰撞。当轿厢总高H一定时，壁高h取决于轿厢底部倾斜角度γ的大小。下面通过几何关系探析它们之间的关系：
当轿厢1的右下角和轿厢2的轿厢的顶部CB段发生干涉边界时，如图4.1所示。图中OA与OB所形成的夹角为α′。则由图1.4与图1.5可得当A’B’=AB时为干涉临界点。
图1.5 轿厢底部与顶部干涉边界示意图 1.6 轿厢干涉几何关系图
而A’B’=即为图1.6中所示AC，且AB=。则可得：
h= （5）
在直角△BDC中，tgγ==2，则γ=arctg2。将式（5）代入可得：
γ=arctg2 （6）
由上述分析可知：
当α′＜α时，即h＞时，轿厢数量N与圆塔半径R满足（4）式即可使轿厢避免干涉现象。
当α′≥α时，即h≤时，轿厢在运行过程中会发生干涉现象。
4 实际验证结论
下面针对不同情况，来对上述得出的结论进行实际验证。当轿厢的尺寸为：宽度B=4m、高度H=6m、圆塔半径R=50m时：
当轿厢壁高h＞=4.9m时，则可得α′＜α情况，对应轿厢顶部倾角γ＜28.833°。此时N=＜=87.1个，即轿厢个数最多为87个，经验证此时无干涉现象。
当轿厢壁高h＜=4.9m时，则可得α′≥α情况，经实际验证轿厢在运行过程中会发生干涉现象。
5 结论
通过上述的讨论，我们对摩天轮设计过程中存在的轿厢干涉现象进行了详细的几何关系边界分析。具体讨论了摩天轮圆塔半径与轿厢数量以及轿厢尺寸之间的关系。经实际工程验证，数学边界问题的分析思路和方法是合理正确的，对工程有一定的指导意义。但是对于摩天轮的设计是一项复杂的、系统的工程，其中还有很多要考虑的因素，在此不再进行讨论。
参考文献
1.王有成主编. 工程中的边界元方法. 中国水利水电出版社，1996
2.李瑰贤主编．空间几何建模及工程应用．高等教育出版社，2007
3.王飞．北京摩天轮设计验算与分析．结构工程师，25卷2期(2009/04)
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