距离空间的概率列紧性
作者：张志旭 汪宏远 曹万昌 崔成贤 温绍泉
【摘要】 讨论了距离空间中集合的概率列紧性，在一定的条件下证明了距离空间中的概率列紧性是可分的。
【关键词】 距离空间； 三角范数； 列紧性
1 基本概念 定义1.1［1］ （X，F）称为距离空间，X为抽象集，映射F ：X×X×X→0 （简记 F(a,b,c)=Fabc, Fabc(t)表示Fabc 在实数t 的值）满足下列条件： ⑴ Fabc(0)=0； ⑵ ??a,b∈X, a≠b ??c∈X,t0>0，使得Fabc(t0)<1 ； ⑶ Fabc(t)=1,??t>0,当a,b,c 中至少有二元相等； ⑷ Fabc=Facb=Fbca； ⑸ Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1??Fabc(t1+t2+t3)=1 。 定义1.2 T 称为三角范数，且T 满足［0,1］×［0,1］×［0,1］→［0,1］ 映射，T 还满足下列条件： ⑴ T(a,1,1)=a, T(0,0,0)=0； ⑵ T(a1，b1,c1)≤T(a2,b2,c2), 当a1≤a2≤,b1≤b2,c1≤c2 ； ⑶ T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)； ⑷ T［T(a,b,c),d,e］=T［a,T(b,c,d),e］=T［a,b,T(c,d,e)］。 定义1.3 (X,F,T)称为Menger空间，满足下列条件： ⑴ (X,F)为距离空间； ⑵ T为三角范数； ⑶不等式Fabc(t1+t2+t3)≥T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3)) 成立。
定义1.4 设(X,F) 为距离空间，若
⑴ x1,x2,…,xn∈X,{xn} 收敛于X 充要条件为?笑?>0,λ>0,a∈X,??N(ε,λ,α) 使得当n≥N(ε,λ,α) 时，有Fxxna(ε)>1-λ；
⑵ A??X，a 为A 的聚点充要条件为：对X 中的任意有限个点b1,b2,…,bn ，A中存在不同于a 的点列 {an}，使得limn→∞Faanbj(t)=H(t)(j=1,2,…,n) ；
⑶ 称=A∪{A的聚点} 为A 的闭包。学海网(www.xuehai.net)
定义1.5 设(X,F) 为距离空间， X中的无穷集A 称为概率列紧集充要条件为A 的任一无穷子集A1 必然含有一个收敛的点列，即存在{an}??A1,a∈X ,使得an→a ,若X 是概率列紧集,则称(X,F) 为概率列紧空间。
定义1.6 设(X,F) 为距离空间，ε>0,λ>0,A??X,B??X ，若存在A 的有限子集A′={a1,a2,…,an} ，使得对任意的ai∈A′ ，有Faaib(ε)>1-λ(??b∈B) ，则称 A′是关于B 的一个(ε,λ) 网。
定义1.7 距离空间（X，F） 具有性质K 充要条件为对任意的使F(abc(t)≠H(t) ，而 limn→∞Faban(t)=H(t)，limn→∞Facan(t)=H(t) 成立的X 中的点列{an} 的limn→∞Faa′nn(t)=H(t),??a′∈X ．
定义1.8 (X,F)为距离空间，A??X 称为概率可分的充要条件为存在X 的可数子集B ，使得A?? ．
若X 为概率可分的抽象集，称(X,F) 为概率可分距离空间。
2 主要结论
定理2.1 设（X，F，T） 为Menger空间，T 连续函数，A??X 是概率列紧的充分条件为?笑?>0,λ>0 及X 的任意有限子集B ，存在A 关于B 的(ω,λ) 网。
证明：设B=b{b1,b2,…,bn} 是X 中的任一有限子集，?笑?>0,λ>0 ，取a1∈A ，若{a1} 不是A 关于B 的 （ε,λ)网，则必存在一点a2∈A,b12∈B ，使得Fa1a2b12 (ε)≤1-λ，若{a1,a2} 仍不构成A 点关于B 的(ε，λ) 网，则必存在a3∈A,b13,b23∈B ，使得Fa1a3b13(ε)≤1-λ ，Fa2a3b23(ε)≤1-λ。如此继续下去，我们便得到A 的有限子集 A′={a1,a2,…,an}为A关于B 的(ε,λ) 网。
若不然，依上法便得到A 中的点列{an} 及B 中的点列b12，b13,b23,…,b1m…,bb-1m,… 使得：
Faiajbij(ε)≤1-λ i≠j(1)
因A??X 是概率列紧集，且{an}∈A ，ai≠aj(i≠j) ，故存在{an} 的子列{ank} 及a∈X ，使得ank →a 。
因为T 连续函数，则对上述的λ>0 ，存在λ′>0 ，使得T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ 。
又因B 为有限集及ank→a ，故对上述ε>0,λ′>0 存在自然数1，当k≥1 时，对??b∈B ，有：
特别的，有 Faan1b(ε3)>1-λ′
又对?笑?>0 ，λ′>0 及an1 ，存在自然数S ，当k≥s 时，有
Faanka(ε3)>1-λ′(3)
取k=max{1,s} ，当k≥K 时，⑵、⑶式都成立，故对??b∈B ，有：
Fan1ankb(ε)≥T(Faankb(ε3),Faan1b(ε3),Faan1ank(ε3))≥T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ
这与⑴式矛盾，故A′ 为A 关于B 的(ε,λ) 网。
定理2.2 （X，F） 为距离空间，A??X,a∈X ，a 为A 的聚点充要条件为存在Fabc(t)≠H(t),a,b,c∈X 及点列{an}??X,an≠a,i≠1,2,…,n，使limn→∞Faba(t)=H(t),limn→∞Fcan(t)=H(t) 。
定理2.3 设(X,F,T) 为2??Menger空间且具有性质K ，T连续,A??X 为概率列紧的充分条件是 A为概率可分的。
证明：取c,d∈X,c≠d ，则有e∈X,t0>0 ，使得Fcde(t0)<1 ，因为A 为概率列紧集，由定理2.1知，??n∈N ，存在A 关于{c,d,e} 的(1n,1n) 网Bn ，令B=Y∞n=1Bn ，则B 为可数集．以下证A?肌?
任取a∈A ，由 B的定义，存在bn∈B 使得Fabnc(1n)>1-1n;Fabnd(1n)>1-1n;Fabne(1n)>1-1n 。于是对B 中的点列{bn} ，有：
limn→∞Fabnc(t)=H(t) (4)
limn→∞Fabnd(t)=H(t) (5)
limn→∞Fabne(t)=H(t) (6)
因为Fade(t0)<1 ，而有Fabe(t)≠H(t) ，Face(t)≠H(t) ，Fade(t)≠H(t) 至少有一个成立。
若不然，由 Fabe(t03)=1，Face(t03)=1 ，Fade(t03)=1 及定义1.5得到Fcde(t0)=1 。
不妨设Face(t)≠H(t) ,因(S,F,T) 所具有的性质及⑷、⑸式成立，由定理2.2，已知 a是B 的聚点，而有a∈ ，进而A?? ，A 是概率可分的。
推论 设（X,FT) 为Menger空间， (X,F,T)是概率列紧距离空间充分条件为(X,FT) 是概率可分距离空间。
【参考文献】
1 曾文智．概率2?簿嗬肟占?.数学研究与评论，1987，7(2)：241～245．
2 熊道统．2?簿嗬肟占淅砺?.第1版，西安：陕西师范大学出版社，1992
