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基于Matlab环境优化Taylor中值定理教学

              作者：高明海 刘守鹏 刘琳 孔杨 刘芳 祈爱琴 

【摘要】  利用Matlab7.01数学软件学习《高等数学》中Taylor中值定理，把传统的教学模式“讲授?布且洹苯萄Ч?程变成“直觉?蔡剿鳘菜伎吉膊孪氇惭橹ぁ钡奶骄渴浇萄Ч?程。充分利用计算机强大的计算能力和图形处理功能，实现科学合理的多媒体教学.

【关键词】  Matlab; Taylor中值定理; 多媒体

　 1 引言

　　数学实验课程在大学悄然兴起，促使数学实验室从无到有、从小到大，“直觉?蔡剿鳘菜伎吉膊孪氇惭橹ぁ钡奶骄渴窖?习有了物质基础。优秀软件Matlab在多媒体教学中占据了一席之地，PPT与Matlab界面可以通过超级链接等多种方式方便切换。在Matlab环境中，简单的操作界面具有一定的人机交流对话功能，有利于学生发挥主体性、提高学习主动性和创造性。在自主操作过程中，学生对数学概念和公式的理解得到深化，学习兴趣增强。学海网(www.xuehai.net)所以，合理使用Matlab软件可以大大缩短抽象和直观、理论和实践的认识过程。

　　2 在Matlab环境中学习Taylor定理

　　在近似计算和误差理论分析以及级数学习中，Taylor中值定理有着非常重要的地位和作用。学生在学习Taylor中值定理时，学生往往只知其然不知其所以然，只能从教材中有限的静态图像中被动接受，对公式的实质不了解或不甚了解，所以学生对Taylor中值定理之美少有体会。在Matlab界面中，可以排除“讲授?布且洹笨翁媒萄?模式中许多不能解决的许多障碍。

　　2.1 问题提出

　　定理1 若f(x)在x0处可导，则在x0的某个邻域内有

　　f(x)=f(x0)+f ''''(x0)(x-x0)+o(x-x0)，

　　或记为f(x)≈f(x0)+f ''''(x0)(x-x0) (1)

　　例1 当|x|很小时，ex≈1+x，sinx≈x (如图1、2)。 图1 exp(x),1+x 图2 sin x,x

　　例1两个关系的Matlab语句分别为：

　　x=-2:0.1:2;

　　plot(x,exp(x),x,1+x,)

　　grid on;axis equal

　　axis([-2.5 2.5 -1 8])

　　x=-pi:0.1:pi;

　　plot(x,sin(x), x,x,)

　　grid on;axis equal

　　axis([-pi pi -2 2])

　　grid on和axis equal语句可以省略，只是图像中失去网格线、纵横坐标轴比例失调。

　　直觉会激发学生的想象。通过探索与思考，学生会思考这样的问题：当|x|很小时，才能保证公式(1)式的精度，如果需要较大范围怎么办呢?也就是说，怎么保证在离坐标原点较远处也有较小的误差呢?这一点可以通过提高导数的阶数来保证。

　　2.2 问题分析

　　在微积分学中，多项式函数pn(x)显示出简洁性、易操作性。定理1就是以一次多项式p1(x)近似代替f(x)，公式(1)右边多项式部分提取了f(x)的位置和倾斜度信息，说明了用一次函数p1(x)近似表示函数f(x)，p1(x)与 f(x)在一定范围内就吻合得较好，如图1。根据导数的意义可以知道，f(x0)、f''''(x0)、f''''''''(x0)…分别表示了函数f(x)的位置、倾斜度、弯曲方向…特性。通过启发，学生猜想，若提取f(x)更多的特征值信息f(n)(x0)：使f(n)(x0)= p(n)(x0)，即提高导数的阶数要求，就可以保证在更大范围内pn(x)与 f(x)仍然吻合较好吗?对于同一个问题而言，是否导数的阶数越高，达到吻合要求的范围越大呢?

　　定理2 (Taylor中值定理)若f(x)在x0的某个领域内有直到n+1阶导数，则对该领域内的任意x，有：

　　f(x)=f(x0)+f''''''''(x0)(x-x0)+12!f(x0)(x-x0)2+…+1n!f(x0)(x-x0)n + o(x-x0) (2)

　　成立。

　　例2 作图观察近似关系式ex≈1+x+12!x2+13!x3 和 sin x≈x-13!x3+ 15!x5 (如图3、4)，并与例1比较。

　　例2 两个关系的Matlab语句分别为：

　　x=-3:0.1:4;

　　y0=exp(x);

　　y1=1+x+x.^2/2+x.^3/3;

　　plot(x, y0,x, y1,)

　　x=-pi:0.1:pi;

　　y3= sin(x);

　　y4=x-x.^3/6+x.^5/120;

　　plot(x, y3,x,y4,)

　　在Matlab环境中的演示过程，验证了学生的猜想。

　　图3 exp(x),1+x+x2/2+x3/3

　　图4 sin x,x-x3/6+x5/120

　　2.3 结论验证

　　通过课堂讲授、动手验证，学生对taylor中值定理

　　ex=??nk=0xkk!+o(xn) 和 sin x=??nk=0(-1)k-1x2k-1(2k-1)!+o(x2n)

　　有了直观形象的认识。从逻辑思维角度，可视化环境为学生理解Taylor中值定理提供了感性材料;从方法论角度，学生学习了把复杂问题转换为近似简单形式的处理方法，为学生学习幂级数和Fourier级数以及在医药学、经济学、工程学等领域中的应用奠定了基础。

　　大学生已经具备英语基础，可以使用稍加深入的Matlab简单程序更好地解决问题，如依次使用不同线型、颜色、动态性等特点在同一坐标系中展示多个图像(如图5)。参考名为taylor.m程序如下：

　　x=-2*pi:pi/10:2*pi;i=1:13;m=1:13;

　　n(i)=factorial(m(i));y1=x-x.^3/6;

　　y2=x-x.^3/6+x.^5/n(5);

　　y3=y2-x.^7/n(7);y4=y3+x.^9/n(9);

　　y6=y4-x.^11/n(11)+x.^13/n(13);

　　plot(x, sin(x),''k'',''linewidth'',2)

　　axis([-2*pi 2*pi -2 2]);axis equal, gtext(''sin(x)'');pause

　　hold on

　　plot(x, x,''--''),gtext(''n=1''),pause

　　plot(x, y1,''g-.''),gtext(''n=2''),pause

　　plot(x, y2,''-.''),gtext(''n=3''),pause

　　plot(x, y3,''r''),gtext(''n=4''),pause

　　plot(x, y4,''b''),gtext(''n=5''),pause

　　plot(x, y6,''m'',''linewidth'',3),

　　gtext(''n=7''),pause

　　legend(''sinx'',''y1'',''y2'',''y3'',''y4'',''y6'',''Location'',''NorthEastOutside'')

　　hold off

　　图5 sin x及其1、2、3、4、5、7阶Taylor公式图形

　　在Matlab7.01环境中，只需输入程序名Taylor，然后回车即可。

　　当自然数m和i的值增大时，在Matlab7.01界面中，得到的Taylor中值定理左端函数f(x)和右端多项式函数pn(x)部分的图像，随着多项式次数的增高，两部分的图像会在更大的范围吻合的很好，即误差相对越来越小，学生的猜想和Taylor中值定理的局部逼近思想得到了直观验证。

　　3 结束语

　　以上内容是Taylor中值定理的主要内容和基本精神。文中的Matlab语句通俗易懂，只需对语句中的参数稍加修改，就可以在数学实验室或机房上机实验、验证教材或参考资料中的结论和自己的猜想，也可以更精确、更大范围地验证其它函数的Taylor中值定理的正确性。Matlab学习环境生动、直观形象、神形具备，既达到了数学教学的目的和要求，也激发了学生进行简单编程的兴趣，实现了数学与计算机和英语学教学的横向联系，促进了双语教学，实现教育技术与计算机技术的结合。

　　Matlab在数学建模中也起到了举足轻重的作用。高等院校数学教师，只有对数学专用软件，如Matlab7.01、Maple7以及Mathematics等有较深的理解和掌握，才能实现真正意义上的多媒体教学，实现传统教学模式向现代教学模式的转变。

【参考文献】
  　1 同济大学数学系，主编.高等数学.北京：高等教育出版社，2006：119～120.

　　2 陈杰.Matlab宝典.北京：电子工业出版社，2007 .