多目标优化问题的蚁群算法研究
第 2O卷 第 2期
Vo1．2O No．2
控 制
Control
与 决 策
and Decision
2005年 2月
Feb． 2005
文章 编号 ：1001—0920(2005)02—0170—04
多 目标优化 问题 的蚁群算 法研究
张 勇德 ，黄 莎 白
(中 国科 学 院 沈 阳 自动 化研 究所 ，辽 宁 沈 阳 110015)
摘 要 ：将 离散 空间 问题 求解 的蚁 群 算法 引入连 续 空 间，针 对 多 目标 优 化 问题 的特 点 ，提 出一种 用 于求 解 带有 约束
条件 的多 目标 函数 优化 问题 的 蚁群 算 法．该 方 法定 义 了连 续 空 间 中信 息量 的 留存 方式 和蚂 蚁 的行 走策 略 ，并 将信 息
素 交流 和基 于全 局 最优 经验 指 导两 种寻 优方 式相 结合 ，用 以加速 算法 收敛 和 维持群 体 的 多样 性．通 过 3组 基 准 函数
来测 试 算 法性 能 ，并与 NSGAII算 法进 行 了仿真 比较．实验 表 明该 方 法搜 索 效 率高 ，向真 实 Pareto前 沿逼 近 的效 果
好 ，获 得 的解 的散布 范 围广 ，是 一种求 解 多 目标优 化 问题 的有效方 法．
关 键 词 ：蚁 群算 法 ；约 束 多 目标优 化 ；连 续 空间寻优
中 图分类 号 ：TP18 文献 标识 码 ：A
On ant colony algorithm for solving multi0bjectiVe optimization
problem s
ZH AN G Yong—de，H UAN G Sha-bai
(Shenyang Institute of Automation，the Graduate School of the Chinese Academy of Sciences，Shenyang 110015，
China．Correspondent：ZHANG Yong—de，E—mail：c3i8@ms．sia．ac．cn)
Abstract：The ant colony algorithm (ACA)that is often applied to discrete space optimization problems is introduced
into continuous space to solve constrained multiobjective optimization problems．The new pheromone remaining
process and walking strategy of ants are described． In addition，combined with the searching strategy based on
global best experience，this approach guides the ants to search better solutions． The approach is validated using
several benchm ark cases．The simulation results show that the approach possesses high searching efficiency and can
efficiently find multiple Pareto optimal solutions．
Key words：ant colony algorithm ；constrained multiobjective optimization；continuous space optimization
1 引 言
在科 学与工程 实践中 ，很多 现实设计 与决 策问
题都涉及到带有多个约束条件 的多个 目标 的同时优
化 ．
在求解多 目标优化 问题 (MOP)时 ，由于各个 目
标 之间往往是 相互 冲突 的，往往 不存在 能满足所 有
约束 条件 ，且使 所有 目标 函数都能达 到全局最 优的
解 ，而是存 在一组 Pareto最优解 ．
近 几 年 来 ，随着 进 化 算 法 (EA)、粒 子 群 优 化
(PSO)、蚁群算法 (ACA)等智 能优化方法在机器学
习、过程控 制 、经济 预测 、工 程优化等 领域取得 的成
功，如何应用 这些方 法来 求解 复杂 的带有 多个约束
条件 的多 目标优化 问题成 为该领域 研究 的热点．这
些基 于种群 的智 能优化方 法具有 较高 的并行性 ，尤
其在 求 解 多 目标 问题 时 ，一 次 运行 可 以求 得 多个
Pareto最优解 ，具有单 目标 优化方 法不可 比拟 的优
势．
蚁群算 法【1](ACA)是 近几 年提 出的一种 新 型
模拟进 化算 法．目前 运用这 种方 法 已成 功地 解决 了
旅行 商 (TSP)问题 r 、Job—shop调 度 问题 r 、二 次 指
派问题 r 等组合优化 问题 ，显示 出蚁群算 法解决 这
类 问题 的优越 性．蚁群算法 的生物学背景决 定 了它
收稿 日期 ：2004—04—12；修 回 日期 ：2004—06—21．
作者 简 介 ：张 勇德 (1977一 )，男 ，山西大 同人 ，博 士生 ，从 事智能计 算 、建 模与决 策 的研究 ；黄莎 白(1939一 )，女 ，上海
人 ，研 究 员 ，博 士生 导 师 ，从 事 模式识 别 、智 能决策 等研究 ．
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第 2期 张 勇德 等 ：多 目标 优 化 问题 的 蚁群 算 法研 究 171
适合 于求解 离散空 间 中的组合优化 问题 ，但在求 解
多 目标 函数优化问题时存在一些 困难．
首 先 ，多 目标 函数优化 问题 是在连续空 间中进
行 寻优 ，解 空 间 以区域 表示 ，而 不 以离散 的点集 表
示 ，蚂蚁在每一 阶段可选 的路径 不再是有 限的 ，这给
蚂蚁在 信息素的驻 留和基于信息素 的寻优上造成了
困难．为解决 这一 问题 ，文献 E53提 出一种连续 蚁群
算法 ，它先使用遗传算法对解 空间进行全局搜索 ，然
后运 用蚁 群 算法 对得 到 的结 果 进行 局部 优化 ；[6]
修改 了蚂蚁信 息素 的留存方式 和行走 规则 ，运用 信
息素交 流和直接通讯两种方式来指导蚂蚁寻优 ；E73
将搜索 空 间划分 为若 干子域 ，根 据信息 量确定解 所
在 的 子 域 ，在 该 子 域 内 寻 找 解 ，取 得 了 满 意 的 结 果 ．
然而这 些研究都 只是针 对单 目标 函数 优化 问题 ，而
运用蚁群 算法求解 多 目标函数优化问题 的研究 目前
还 很 少 见 ．
其 次 ，多 目标优化 问题 由于解 的多样性 ，不仅要
求所得 的解能够 收敛 到 Pareto前沿 ，而且要有效 地
保持群体 的多样性 ．而在基本蚁群算法 中 ，信息素浓
度越高 的地方 ，蚂蚁选择作 为寻优路径 的概率越大．
在求解 多 目标优 化 问题 时 ，蚂蚁 之间 的这 种信息 素
交流方 式 ，会使所 求得 的解 集 中在 解空 间的某一 区
域 内，不利于群体多样性 的保持．
本 文针对 这些 问题 ，提 出一种用来求 解带有 约
束条件 的多 目标 函数 优化问题 的蚁群算法．此外 ，还
提 出一 种基于最 优经验 的寻优方 式 ，将 当前 发现 的
所有非支 配解保存 起来 ，进 而用这 些解来指 导蚂蚁
朝着散 布较为稀 疏的 区域进行 寻优 ，保 证解 的分 布
性 能 ．经 过 一 系 列 算 例 测 试 ，证 明算 法 效 果 良好 ．
2 基于蚁群算法的多 目标优化
本 文假设 蚂 蚁只在 它所 处 的位 置上 释放信 息
素 ，这些 留有 信息素 的位置 可 以被 蚁群 中所有 的蚂
蚁察 觉 ，而且 蚂蚁根据 信息 素量 的多少 以及他 们之
间的距离来 选择下 一步 的觅食方 向．蚂 蚁所释 放信
息素的量 与其所表示 的解 的优劣成 正 比，而 多 目标
优化问题 由于其解 的多样性 ，不存在绝对 的最优解 ，
不容 易 比较解的改进程度．为此 ，本文通过 比较解之
间的 Pareto支 配关 系来决 定蚂 蚁所 释放 的信息 素
的多少．同时 ，蚂蚁在觅食过程 中不断更新 自己的位
置 ，即便发现 了一个较优解 ，也会在下次移动中将此
解 丢 失 ．为 此 ，提 出 一 种 基 于 最 优 经 验 的 寻优 方 式 ，
即将 当前发 现的所有 非支 配解 保存起来 ，进而用这
些解来 指导蚂 蚁寻优．蚂 蚁在 寻优过程 中除 了受 到
同伴 遗 留的信息素 的影响外 ，还受到整个 蚁群 的最
优经验 的影 响 ，蚂蚁在二者的作用下完成 寻优 任务．
2．1 基 于 信 息 素 交 流 的 寻 优 方 式
在多 目标优化 问题 中 ，没有绝对 的最优解 ，解 的
优劣是相 对的．对于要选 择移动方 向 的蚂 蚁 i，比较
其与蚁群 中各 只蚂 蚁所表 示 的解 的 Pareto支 配关
系．这种 Pareto支配关 系决 定了 同伴在 它们所处 位
置 上所 释放 的信息 素 的浓 度．如果蚁 群 中蚂 蚁 j(j
一 1，2，?，Ⅳ，Ⅳ 为蚁群规模 )表示的解 为非 可行
解 ，则说明蚂蚁 所在的位置对于 寻优没有 帮助 ，故
释放很少 的信息 素．如果 为可行 解且 支配 ¨则
说 明选 作为寻优方 向，有利于算法朝着 Pareto前
沿或者可行解 的方 向进化．因此 ，蚂蚁 在其所处 的
位 置上大量 释放信息素 ，以吸引蚂蚁 i前来 寻优．按
照 这一想法 ，蚁群 中蚂蚁 -『在其所 处位置上 释放 的
信息素浓度 定义如下 ：
f ， ，为 非 可行 解 ；
I 2， ，为可行解且 五< ，；
一 ， ，为 可 行 解 且 五 与 (1)
I j为非约束支配关系；
【 ， j为 可 行 解 且 < 五．
其 中：i，J一 1，2，? ，N，i≠ ，N 为蚁群 规模 ； ， ，
， 为 4个参数 ，且 > 。> > ．蚂 蚁 i的寻优
方 向与蚁群 中其他蚂蚁所处位置的信息素浓度 以及
距离有关．信息 素浓度越大 ，与当前蚂蚁 i的距离越
近 ，被选 为蚂蚁 i寻优方 向的概率越 大．其 寻优概率
的定 义 如 下 ：
疗
P』一 盟 ， ≠ i，J一 1，2，? ，N． (2)
∑Oia,~
』； 1
其 中：屯 一 1／ 』，du为当前 蚂蚁 i与蚂蚁 -『之间的距
离 ．
依照轮盘赌 的方式 ，被选 中的蚂蚁 -『所 在 的位
置作为当前蚂 蚁 i的寻优方 向．
2．2 基 于 全 局最 优 经 验 指 导 的 寻 优 方 式
仅依靠蚂蚁 之间信息素 的交流来进行 寻优的方
式 ，算法搜索需要 的时间长 ，且群体 的多样 性不 易保
持．本文提 出另一种寻优方 式 ，即在全局最 优经验 指
导下进行 寻优．在算法中 ，设立一个外部集 合 BP，用
来保存整 个蚁群 当前 所发 现的所 有非支 配解．在 集
合 BP中寻找散布最为稀疏的非支配解 ，它所在 的位
置 即为当前蚂蚁 的寻优方 向．
假设 当前集合 BP中有 P个非支配解 一 ( ，
，? ， )，计算每个解 到其 他解 的距离
dij一
其 中 ：i一 1，2，? ，P， 一 1，2，? ，P，i≠ ．计算共享
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172 控 制 与 决 策 第 20卷
函数值 、
S(d 一 l ，／ hr¨ J< hr (4) 【0
’ h 一
这 里 为小 生境半径．对非 支配解 i求其小生 境
数
上
niche( )一 ( 』)，i一 1，2，? ，P，i≠ J．(5)
= 1
小生境数 niche( )最小的非支配解 i所在的位置就
是当前蚂蚁 的寻优方 向．
2．3 蚂 蚁 行 进 策 略
在 离散空 间优化 问题 中 ，蚂蚁 的行进 是通过在
离散解空 间点集上 的跳 变实现 的 ，即从解 空间中 的
一 个节点 直接转 移到 另一 个节 点．这 种行进方 式对
于连续 空间 的寻 优 问题来 说显 然是不合适 的．本文
为蚂 蚁定义 了一 个 活动范 围 r，规定 蚂蚁 只能 在半
径 为 r的范 围内活动．如果 蚂蚁 与 目标点 之间 的距
离 大于其 活动 范 围 r，则 蚂蚁 只能 朝着 目标点 的方
向移动长度 为 r的一段距离．值得 注意的是 ，蚂蚁在
移动后 ，并不能直接到达 目标点 ，还要受到一个随机
扰动 的影响．扰动因子 的值对算法 的收敛有一定
的影 响 ，较 大的 值有利于增大搜索范 围，而较小的
值有利 于局部寻优．因此 本文在算 法的开始 阶段 ，
给 一个较 大的取值 范围 ，以加大算法 的搜索范 围 ；
随着迭代次数 的增加 ，可线性 地减小 的取值 范围 ，
加强算法 的局部 收敛能力．
2．4 算 法 实 现
具体算法实现 如下 ：
1)随机生成 规模 为 Ⅳ 的初 始蚁群 POP，计算
POP中每个蚂 蚁 的 目标 函数值 )，i一 1，2，? ，
k，以及 约束 函数值 ，J一 1，2，? ， ．
2)初始化外部 集合 BP，它的初始值为 POP的
所有 可行解 中的非支配解 ，即
X，一 {z ∈ POP IP(z)≤ 0)；
BP一 {z∈ X，I ／z ∈ XI，使得 z < z)．
3)设 置迭代 次数 t— 1．
4)令 i一 1．
5)随机产 生一个 [0，1]范 围内的 随机 数 P，将
它与参数 P。比较 ，P。是一个 [0，1]范围 内的参数 ．当
P ≤ P。时 ，对 当前蚂蚁 使用基 于全局 最优经验指
导 的方式寻优 ；当P> P。时 ，对蚂蚁 i采用信息素交
流 的方式寻优 ．可以看 出 ，P。的值越 小 ，采 用信息素
交流 的方式进行 寻优 的概率越 大．
6)在蚂 蚁的活 动范 围 内移 动蚂蚁 i，并 在其最
终位置 上加一 个 随机 的扰动 重新评 价蚂蚁 i，计
算其 目标 函数 值以及约束函数值．
7)更 新 最优 经验 结合 BP．如果 蚂蚁 i是 可行
解 ，且对于集合 BP来 说是非 支配 的 ，则将蚂 蚁 i加
入集合 BP，并删除 BP中被 i所支配 的解．
8)i— i+ 1，如果 i≤ N，则 转到 5)．
9)t— t+ 1，如果 t小于最大迭代次数 ，则转到
4)；否则 ，算法结束．
3 实验结果
为验证该方 法的有效性 ，本文采用 3组 常用的
基准函数来测试算 法 的性 能．由于很难 找到类 似 的
方法与本文算法 进行性 能上 的 比较 ，本 文选择 了非
支配排序遗传 (NSGAII)算 法．为了 比较 的公平性 ，
本文算法 和 NSGAII算 法采用 相 同的群体 规模 (为
60)，而 且 在 每组 测 试 函数 中均 迭 代 相 同的 次数 ．
NSGAII算法变量 采用实编码 ，交叉 概率 为 0．9，变
异概率为 0．2．本文算 法的参数设 置为 ： 一 0．01， z
一 0．1， 3— 2， 一 5，P0— 0．6．
在 每个测试实 例 中，以 图形 化 的方式 给 出了这
两 种 方 法 生 成 的 Pareto前 沿 ，并 对 所 得 解 的 数 量 、
分布性能 以及散布范 围等[。]作 了 比较．
1)间距评估 ：这种性能评估方式 可用来测度 所
得 Pareto前沿上相邻 解间距离 的变 化情况．其定 义
为
S == (6)
其中
d —min』(I (z)一 (z)I+
I (z)一 (z)I)，
i，J一 1，2，? ，n，n为算法获得 的 Pareto前沿上 向量
的个 数． 为 以 上 所 求 得 的 d 平 均 值 ，即 一
． 当所获得 的解 越接 近均匀 散 布时 ，间距
的值 越 小 ．
2)最 大散布范围评估 ：这种性能评估方式 可用
来测度 目标空 间中的两个极值解 的距离．其定义为
D ==
√(m —a xf~一m ：i nf~)。+(m ：a xf~一m 一i nf~)。·(7)
D 的值越大 ，表 明算法所获得 的解 的散布范 围越广 ．
3．1 BNH 问题
Min厂1(z)一 4x}+ 4x；，
厂2(z)一 (z1— 5)。+ (z2— 5)。，
S．t．e1(z)三 (z1— 5)。+ z；≤ 25，
e2(z)三 (z1— 8)。+ (z2+ 3)。≥ 7．7，
0≤ z1≤ 5，0≤ z2≤ 3．
BNH 问题是 一个两 变量 约束问题 ，它的 Pareto
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第 2期 张勇德 等：多 目标优 化问题 的蚁群算 法研 究 173
前沿是连通 的 ，便于求解．图 1为这两种算法迭代 10
次后得 到的结 果．由图可知 ，两种方法都 能很好地逼
近 Pareto前 沿 ，搜索 效率很 高．然 而 ，NSGAII算法
搜 索到 的解 在 区间 EllO，14o3上分 布 比较 稀疏．由
表 1可 以看 出 ，本文算 法 比 NSGAII算 法搜索 到的
解 的数 量 更 多 ，分 布也 更 加 均 匀 ，而 且 解 散 布 的 范 围
更 广．
图 1 两 种算 法对 BNH 问题 的求解 结果
衰 1 两 种算 法在 间距 及最 大散 布范 围上 的比较
3．2 TNK 问题
Min厂1(z)一 z1，
f2(z)一 z2，
S．t． 1(z)三 zi+ z；一 1—
0．1cos(16arctanx1 2)≥ 0，
2(z)三 (z1— 0．5) +
(z2— 0．5) ≤ 0．5，
0≤ z1≤ 7c，0≤ z2≤ 7c．
TNK 问题 的 求解 难 度 在 于 它 的 Pareto前 沿是
由 3段不连通 的 Pareto曲线构成 ，且 Pareto曲线是
非 凸 的．
图 2 两种 算法 对 THK 问题 的 求解结 果
图 2为两种算 法迭代 100次后 的结果 ，结 果表
明两 种算法都能很 好地逼近 Pareto前 沿．表 2中的
数据 表 明两 种方法 获得解 的数量相 当 ，而且分 布都
较 均匀 ，但在 曲线 的首段 和尾段 ，本文算法获得解 的
数 量 更 多 ．
衰 2 两 种算法 在 间距及 最大 散布 范 围上 的 比较
3．3 CTP2问 题
Min fl(z)一 z1，
g(z)一 11+ z；一 10cos(2船 2)，
一 ( 一 )，
S．t． (z)三 cos(O)Ef2(z)一 e3一 sin(O)厂1(z)≥
口Isin{b~[sin(O)(f2(z)一 P)+
cos(O)fl(z)] )I ，
0一 一 0．27c，口 一 0．2，b 一 10，c 一 1，
d 一 6，P一 1，0≤ z1≤ 1，0≤ z2≤ 1．
CTP2的 Pareto前 沿 是 由 一 系 列 不 连 通 的
Pareto曲线构成．图 3为这两种算法 迭代 200次后 的
结果．由图可知 ，NSGAII算 法在 区 间Eo．9，13上没
有 获得解 ，本文算法 在 CTP2问题 上的求解结 果 比
NSGAII更 加理想．表 3的数据也表 明 ，本文 算法 获
得 的解 的数量更多 ，散 布的范 围更广．
图 3 本文 算 法对 CTP2问题 的求解 结 果
衰 3 两 种算 法在 间距及 最大 散布 范 围上 的 比较
4 结 语
本 文对用 于 离散 空间 优化 的蚁群 算法 作 了改
进 ，用来求解带有约束条件 的多 目标 函数优化 问题．
针对 多 目标优化 问题 的特 点 ，定义 了连续空 间 中蚂
蚁 的信息量 留存 方式和行 走策 略 ，并 将信息 素交 流
和基于全局最优 经验指 导两种 寻优方 式相 结合 ，以
指导 蚂蚁 向更好 的解 的方 向前 进．通过实 验分析可
以 看 出 ，本文提 出的算法 可以很好地逼 近 Pareto前
沿 ，同时解 的多样 性保持 良好 ，是一 种有效 的求解约
束多 目标优化 问题 的方法．
(下 转 第 178页 )
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178 控 制 与 决 策 第 2O卷
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