基于模式求解旅行商问题的蚁群算法
第 31卷第 11期
2oo3年 l1月
同 济 大 学 学 报
JOURNALOFTONGJI UNW ERSITY
V01．31 NO．11
NOV．2o03
基 于模 式 求解 旅 行 商 问题 的 蚁群 算 法
李炳宇 ，萧蕴诗
(同济 大学 信息 与控制 工程 系 ，上 海 2Oo092)
摘要 ：群体 智 能 已经被 广泛 应 用于 分布式 控 制 、调 度 、优化 等领域 ．其 中蚁群 算法 已经 成 为该 领 域 的一 个 研究 热
点 ．在 蚁群 算法 的基础 上针 对旅 行 商问题 (TSP)，首先 提 出 了小 窗 121蚁 群 算 法 ，提 高 初 始 解 的质 量 ，然 后 与基 于
模式 的蚁群 算法 相结 合 ，通 过提 取模 式 ，改 变计 算粒 度 ，缩 短计算 时 间 ，提高 计算 精 度 ．实验 结果 表 明该 算 法 有较
好 的效 果 ．
关键 词 ：蚁 群算 法 ；小 窗 121；模式 ；旅行 商 问题
中图分 类 号 ：TP 301．6 文 献标 识码 ：A 文 章编 号 ：0253—374X(2003)11—1348—05
Ant Colony Algorithm Based on Model Algorithm for
Travel ing Salesm an Prob lem
LI Bing-yu．XIA O Yun一
(Department of Information and Control Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China)
Abstract：Swarm intelligence has been applied in domains of distributed control，joh-shop schedule，and
optimization．Ant colony algorithm(ACO)，one of SWalrfl intelligence，has become a hot research field．This
paper proposes an an t co lony algorithm based on little w indow an d obtains m odels from typical an t algorithm ．
The algorithm reduces computing time an d improves computing accuracy by limiting the size of solution space，
extracting mod els an d changing computing gran ularity．Simulations demonstrate that the improved algorithm
carl achieve better performan ce than typical algorithm an d some other improved algorithm s．
Key words：ant colony algorithm ；little window；model；traveling salesman problem(TSP)
在管 理科学 、计算 机科学和工程 技术等 许多 领域 中 ，存 在着大 量组 合优 化 问题 ．其 中许 多 问题 是 NP
完全 问题 ．人们先 后使用 了禁忌搜索 (tabu search)算法 、模拟退 火算法 、遗传算法 、人工 神经 网络 等启 发式
搜索算法来求解此类组合 优化 问题 ．20世 纪 90年代初 ，意大利学者 Dorigo等人受到蚂蚁在觅食过程 中可
以找 出巢穴到食物 源的最短路径 的启 发 ，提 出了蚁群算法 L1 J(ant colony algorithm)，将其 应用 于求解 TsP
问题 L2J、Job-Shop调 度 L3 J、网 络 路 由L4J等 问题 ，并 取 得 了较 好 的结 果 ．
虽然蚁群 算法 已经应用 于许 多组 合优化问题 ，但对蚁群算 法本身运行机制 的研究 却很 少 ．本文通过对
蚁群算 法的研究发现 ，蚁群这个 自适应 系统与许 多复杂 自适应系统一样存在模 式 ，蚁群就是通过信息 素来
记忆 、更换和组合这些模 式 ，寻找最短路径 的．本文 在模式 的基 础上 ，针对 蚁群算 法 在较大 规模 问题
中计算 时间长 、运算 精度低 的问题 ，通过两方面对算法进 行 了改进 ．首先通过 限定 蚂蚁每 步移 动的城市 数
目 ，大 大 降 低 解 空 间 的 规 模 ，提 高 解 的质 量 ；在 此 基 础 上 提 取 模 式 ，将 这 些 模 式 看 作 一 个 个 整 体 、一 个 个 “积
木 块 ”．再 在 这 些 “积 木 块 ”中寻 找 最 优 解 ．该 改 进 算 法 的第 一 步 在 计 算 时 间 和 解 的 质 量 上 都 有 了很 大 的 提
高 ；在第 二 步 中 ，由 于 是 在 较 粗 的粒 度 上 计 算 ，将 一 个高 维 空 间 转 化 为 一 个 低 维 空 间 ，充 分 利 用 了蚁 群 算 法
收稿 日期 ：2oo3—03一l4
作 者简 介 ：李炳 宇 (1977一)，男 ，山东成 武人 ，博士 生 ．E—mail：yv．tou@163．tom
维普资讯 http://www.cqvip.com
第 11期 李炳 宇 ，等 ：基 于模式求 解旅行 商 问题 的蚁群算 法
在低维空间有较好搜 索性能的特点 ．实 验表明 ，该算法在 TSP问题上获得较好 的效果 ．
文章 的组织如下 ：首先介绍基本 蚁群算 法 和 目前 较 常用 的最大 最小 蚁群算 法 (MMAS)E5 3；其次分 析
蚁群算法 中模式和 信息素的关系 ；然后 详细说明本文 的改进算法 ；最后给 出实验结果 和结 论．
1 基 本 蚁群 算 法
蚁群算法源 于蚂 蚁 的觅 食 行 为 ．蚂 蚁 在 觅 食 的 过 程 中，在 走 过 的路 径 下 留下 一 种 称 之 为 信 息 素
(pheromone)的物质 ．其 它蚂蚁就 是靠这种信息素 的指 引往返 于食物 源与巢 穴之 间 ．各条路 径上 的信息素
都会 随着 时间的迁移而不断蒸发减 少 ．但某条 路径 上走 过 的蚂蚁越 多 ，则 路径 上残 留的信 息 素强度 就越
高 ．蚂蚁在运 动 的过程 中总是倾 向朝信 息素强度 高的方 向运 动 ．换 句话说 ，蚂蚁 选择 信息 素强度高 的路径
比强度低 的路径 的概率要 高些 ．设想 当几 只蚂蚁 分别沿着 不同 的路径 回巢 ，长度越短 的路径上信 息素的强
度越高 ，其它蚂蚁选择这样路 径的概率 也越大 ，选择 的蚂蚁越 多 ，路径 上 的信 息素 强度也 会更高 ，这 样形
成正反馈 ，使更多 的蚂蚁集 中到最短的路径上来 ．蚁群算法就 是模拟 上述蚂蚁觅食行 为 ，设计虚拟 的蚂蚁 ，
使其 随机搜 索不 同 的路径 ，并 留下会随时间变化而蒸 发 的“信息 素”，根据“信息 素”强 度来 寻找 最短路径 ．
在蚁群算法 中 ，将 自然蚂蚁群 体抽象为“人 工蚂蚁 系统 ”，人工蚂蚁系统具有 以下特 点 ：
(1)每只蚂蚁都有一个记 录 自己已经走过城市 的禁 忌表 (tabu^(s))，以控制 蚂蚁寻 找路径 的合法 性 ，
从起 点出发遍历其它所有城市 1次且仅有 1次 ，并 最终 回到起 点 ．
(2)每只蚂蚁根据城市 i到城市 的移动概率和禁忌表来决定下 一个要 到达 的城市 ，在 t时刻蚂蚁 的
移 动 概率 表 示 为
f[rij(￡) 训 ／l∑ (￡)H j， ∈允许的 ，、 筠
∈允许的 L1，
0， 其它 的
其中 ：r(t)表示在循 环 t，边 E 上 的信 息素强度 ； 表示 E ，上 的路径 信息 ；a，J9是权 重参数 ； ∈允许 的 ，
表 示 禁 忌 表 中还 未 经 过 的城 市 ．
(3)周游 完成后 ，蚂蚁在它每一条访 问的边上 留下信 息素 ．信息素根据 下式调整 ：
ri (t+1)= pr ，(t)+△r (t) (2)
Ar(t)： ∑ △ (t) (3)
式(2)中 P∈(0，1)，1一P表示信 息素 的蒸发速度 ，初始 时刻 (O)是 1个常数 ；式(3)表示本 次循 环中路 径
E 上信 息素 的增量 (即为 TFt只蚂蚁本次循环 留在路径上 的信 息素之和 )．△ 是 在循环 t第 k只蚂蚁 留在
边 E￡ 上 的信息素 的增量 ．
只蚂蚁经 过边 (4)
其 中 ：信息素强度 Q 为 常数 ；Lk为蚂蚁 k所走过 的路 径总长度 ．
此外 ，本文 的改 进算 法 就是 建 立 在 最大 最 小 蚁群 算 法 (MMAS)和 2变换 邻 域 局 部搜 索 (MMAS+
2opt)的基 础 之 上 的 ．
2 蚁群算法 中的模式分析
在 个 城市 的 TSP问题 中，TSP的一个 解 可 以表述 为一 个循 环 排列 V=(可1，口2，? ，"Un，口1)，表示
口1一 口2一 ?一 口 一 口l的一条路 径 ，口 表示该路径 中第 i个 经过 的城市 ．设 以 为该 TSP问题 的一个解 集 ，
则 有 VE A，求 解 TSP 问题 就 是 在 以 中 寻 找 一个 解 ， 表 示 的路 径 长 度 最 短 ．
本文将解 集 A 中 2个 任意解 ，V 的交集 定义 为 ：H = Vi n ． 表示 ，V 中相同排 列 的子
集 ．说 明如下 ，不失 一般 性 ，设解 ，V 分 别 表示 为 ：Vi= (? Vk，* * *，口 ，? ，口 ，* * * **，口 ，
? )，vj=(? ，*****， "，? ，73k，* **，口优，?)． 0， ep(口 ，* ** **，口 )，(vk，** *，
维普资讯 http://www.cqvip.com
同 济 大 学 学 报 第 31卷
)表示城市数 目和排列顺序 相同的子集(子集 中包含 的城 市数 目大 于等 于 2，在不 同解 中的相对位 置可
能不 同)．令 h州=( ，*****， )，h 2=( ，** *， )，则 ，=(h 1，hq2)．如果 ， 中有 多
个相 同的子集 ，则 =(h ，h啦，? ，h ) ，1≤ z≤ ／2．若解 ， 无相 同的子 集 ，则 ，= ．
在 此 引 入 模 式 的概 念 ，将 中 的 h 1，h ，2，? ，^ 称 为模 式 ，将 h 1，h 2，? ，^ 看 成 一 个个 “积 木 块 ”，
用模 式的概 念来解释蚁群算 法 ．蚂蚁周游完 所有城市后 ，对最短 的路径添加信息 素 ，使得该路径上 “好的模
式 ”有 更 高 的概 率 在 下 一 次 周 游 中被 选 中 ．而 在 第 二 次 周 游 中 ，选 中 “好 的模 式 ”的 路 径 也 更 有 可 能 发 现 更
短 的路径 ．这样周 而复始 ，通过信息素 的正反馈 ，使“好 的模 式”不 断被强 化 ，而通 过信息素 的蒸发丢弃那些
“不 好 的模 式 ”，这 样 不 断 缩 小 搜 索 空 间 ，积 累 “好 的 模 式 ”，通 过 “好 的 模 式 ”的 拼 搭 结 合 ，从 而 找 到 更 优 的
解 ．因此 可以看 出 ，如何 有效地发现和利用 “好 的模式”对蚁群算法解 的质量有很 大 的影响 ．
3 基 于模 式 的蚁 群 算 法
TSP是 一 个 强 NP完 全 问题 ，即使 在 每 秒 能 计 算 100万 个 解 的计 算 机 上 遍 历 50个 城 市 TSP 的解 空
间 ，也需要将 近 47个世纪 ，而 100个城市 的问题则需要 140个世纪 ．以往 的蚁群算 法基本 上都是在整个解
空间 中搜索 ，通过信 息素 的启发来 寻找最优解 ．随着城 市数 目的增大 ，其 解空 间急剧放 大 ，使得在有 限时 间
内很难 找到满意 的结果 ．而通过调整信 息素和加入变异 的改进蚁群 算法 ，仍 然有计 算 时间长 的缺点 ．本文
通 过 两 步来 提 取 和 利 用模 式 以缩 短 计 算 时 间 和提 高 计 算 精 度 ．首 先 ，通 过 小 窗 口算 法 将 解 空 间缩 小 几 十 个
数 量 级 ，以更 高 的概 率 得 到 “好 的模 式 ”；在 此 基 础 上 ，将 这 些 模 式 看 作 一 个 个 整 体 ，将 一 个 高 维 空 间转 化 为
一 个低维空 间 ，在较粗 的粒 度上计 算 以提高计算速度 ，并利用 2opt局部 搜索方法提高搜索 效率 ．
3．1 小 窗 口算法
本文作者在对 TSP问题 研究 的过程 中发现 ，TSP问题解 空间 中绝大部 分是 劣质 解 ，而且 干扰对优 质
解 的 寻 找 ．如 果 能 剔 除 这 些 劣 质 解 ，不 但 可 以缩 小 解 空 间 的搜 索 范 围 ，而 且 可 以减 少 劣 质 解 的 干扰 ，迅 速 发
现 优 质 解 ．下 面 用 Oiver30 ysp[6J来 说 明小 窗 口算 法 的原 理 ．图 1显 示 了 Oiver30的 最 优 路 线 ．
在 图 1中 可 以发 现 ，与 每 个 城 市 相 连 的另 外 2个 城 市 是 与 该 城 市 最 近 的 几 个 城 市 中 的 2个 ．如 城 市
15，与 之 相 连 的 城市 14，16就 是 距 离 城 市 15最 近 的城 市 中的 2个 ．其 它 的 城 市 也 可 以 发 现类 似 的特 点 ．而
绝 不 会 出 现 如 图 2所 示 的 最 优 解 ，或 者说 如 果 出现 了城 市 15～0，16～ 1这 样 的路 径 ，那 么存 在 这 样 路 径 的
解集就一定不是 最优解 ．更一般地说 ，在 一个 N 城市 的 TSP问题 中 ，任何 1个城 市有 N 一1个从该 城市 出
发 的路径 ，而在这 N 一1条路径 中 ，只有最短 的几条路径 中的 1条才 可能 是组 成最优 解 的路径之一 ，其 它
的较长 的路径 不可能是最优解 中的 1条 路径 ，因此 ，通过 限定蚂蚁 每次移 动范 围 ，或者说 限定 蚂蚁在 每个
城 市 所 能 “看 到 ”的下 一 个 城 市 的 数 目 ，来 达 到剔 除 劣 质 解 ，缩 小 搜 索 范 围 的 目 的 ．在 算 法 中 为 每 个 城 市 建
一 个数组 cityWin[window]，保存 window个距 离最 近的城市 ．其 中 window 表示窗 15的大 小 ，对窗 15大小
的选择是依 据 TSP问题 的维数而定 的 ，维数越 高 ，窗 15越 大 ．蚂蚁每 次移 动就从 cityw in[window]和 tabu
[k]的交 集 中选择移动 的城市 ，根据公 式(1)，移 动到下一 个城 市 ．若交 集 为空 ，则 只在 tabu[k]中选择 ．小
窗 口算法 (I MMAS)：
Step1．初始化参数 ：Q，口， ，』D，taoMax，taoMin，window，N一 ，tabu[k]，cityWin[m]；
Step2．迭代 次数 ： ++；
Step3．蚂蚁 从 cityWin[window]和 tabu[k]
中选择 允许 到达 的城市 ，根据公式 (1)移动 ；
Step4．若 tabu[k]未满 ，转致 Step4继续 ；
Step5．2opt局 部 优 化 路 径 ；
Step6．记 录本次最短路径 ，置空 tabu[k]；
Step7．由公式 (2)，(4)更 新 最 短路 径信 息
素 ；
Step8．若 小 于 N一 转 至 Step2；
Step9．输 出 最 优 结 果 ．
图 1 Oliver 30的最优 路径
n g．1 Best route 0f帅 30
lO0
80
60
40
20
0
图 2 0Iiv冒 30的可能 路径
n g．2 Feasible route 0fOliwr 30
维普资讯 http://www.cqvip.com
第 11期 李 炳宇 ，等 ：基于模 式求解 旅行 商问题 的蚁 群算 法
以 50个城市为例 ，窗 口大小选为 5，则 限定 后 的解 空间 比原解 空间缩 小 了 30个数 量级 ，而算 法 的复
杂为 O(扎，扎2m)，与算法 MMAS相 比并没有变化 ．实 验结果表明 ，小 窗 口算法较 算法 MMAS有 了一定 程
度 的提 高 ，能 够 得 到 较 好 的 解 ．
3．2 基于模式 的算 法
城市数 目对蚁群算法 和其它求解 TSP问题 的算法都有较大 的影响 ．基于模式 的算法是 建立在 小窗 EI
算法基 础之 上的 ，在 小窗 口算法得到较好解 的基 础上 ，通过提取解 中的模式 ，将一个个模式看作整体 ，降低
实际计算 中城市 的数 目，利用蚁群算 法在低维空间有较好搜索性能 的特 点 ，提高 算法的运行效率 ．首先 ，独
立运 行 2次小窗 口算 法 ，得 到 2个 较 好 的解 ，比较 2个 解 ， ，将 2个 解 的 交集 ，= (h 1，h ，2，? ，
h )T保存 的一个二维 数组 model[][]中 ，将 h小，h 2，? ，h 看成 1个个 整 体 ，每 个模 式 看作 1个 点 (城
市 )，Z个模式 看作 1个点 ，减少 TSP中城市 的数 目．在完 成一次 运算后 ，将得 到 的最优解 和 ，V，比较 ，
再 提 取 其 中较 好 2个 解 的 模 式 重 新 计 算 ，直 到 无 更 好 的解 或 超 过 最 大 循 环 次 数 停 止 ．基 于模 式 的 算 法 为 ：
Step1．LWMMAS()，保存解 Vi，LWMMAS()，保存解 V，；
Step2．getModel(Vi， )，将 交集保存到数组 model[][]；
Step3．changStructure(mode1)，改变城 市数 目；
Step4．LWMMAS()，保存解 vk；
Step5．将 目前最好 的 2个解 保存 到 ， ；
Step6．若未超过最大循 环次数且未 出现停滞 ，则转至 Step3；
Step7．输 出最优结果 ．
该算法 的复杂度 为 O(Nc(T／．c．Z"2m 十九 ))，其 中 z是减少 城市个 数后运 算 中实 际 的城 市数 目，Nc为
提 取 模 式 的次 数 ，提 取 模 式 的 复 杂 度 是 扎2．由 于 z 和 Nc都 很 小 ，实 际 的复 杂 度 大 大 降 低 了 ．
4 实验 结 果 与分 析
本 文使用的应用实例是 采用来 自 www．iwr．uni—heidelberg．de／groups／comopt／software／TSPLIB95／~?
的 TSPLIB实 例 ，Ei151，St70和 Linl05．
4．1 调整信息 素算 法 (见 表 1)与小窗 口算 法 (见表 2)的比较
在此通过与在 MMAS基 础上改进 的动态调整信 息素的算 法的 比较 ，证 明小窗 口算 法的有效性 ．
各种参数的设定如 下 ，a：4， =1，Q=taoMax=1，taoMin=0．000 24，window=5，l0：0．8，蚂蚁 数等
于城 市 数 ，即 m = 扎．Ell51 问 题 的 已 知 最 优 解 是 426，由 表 1 和 表 2 得 到 的 平 均 结 果 、偏 差
(^／∑(X—x瞰 ) ／n)、最优解、最差解等统计结果见表3．
表 1 动态 调 整信 息 素算 法 EilS1计算 结 果[ ]
Tab．1 Sim ulation results of EilS1 based on adaptively
adjusting pheromone algorithm
表 2 小窗 口算 法 Eil51计算 结 果
Tab．2 Sim ulation results of Ei151 based
Oil little window algo rithm
循环 次数 N一 =250，平 均 时间 (avgtime)=100．54 S 循环 次数 N一 ：50，平均 时间 (avgtime)：28 7 S
426
429
429
426
430
428
430
427
431
426
428
426
428
430
427
427
426
428
427
430
429
428
427
428
428
表 3 两种 算 法的统 计 结果
Tab．3 Statistical results of the two algorithms
维普资讯 http://www.cqvip.com
同 济 大 学 学 报 第 31卷
由表 3可见 ，本 文算 法各项均大大优于改进后 的动态调 整信 息素算 法 ，尤其是循环次数远远小于该算
法 ，而在实 际中运算 中大多没有循环 N廿n 次就 已经找到 最优解 了．这是 因为小 窗 15I算法 比动态调 整信息
素算法 的解 空间要小 3O个数量级 ，前 者 的运算 效率要 好于 后者 ．而 且本文 还对 主要参 数 Q，a， ，l0做 了
测试 ，发 现对算 法无 明显影 响 ，因此本算法无需像 以往许多 蚁群算 法需要大量实验来 寻找合适 的参数 ．
4．2 证 明基 于模式 算法的有效性
在 基 于 模 式 的算 法 中 ，设 定 小 窗 口算法 中 的最 大 循 环 次 数 N一 ：10，模 式 比较 的次 数 Nc=3．由表 4
可 得 Ei151基 于模 式 算 法 的统 计 结 果 ，平 均 结 果 为 427．04，偏 差 1．327，最 优 解 426，最 差 解 429，平 均 运 行
时 间 9．8 S．可 以看 出 ，各项计算结果都 明显 好于小窗 口算 法 ，尤其是计 算时间大大缩短 了．
在 表 5中列 出了 St70(70个城市 ，已知最优解是 675)20次 的计算结果 ，最优解 675，最 差解 680，平均
值 676．1，偏 差 1．95，平 均 计 算 时 间 29．6 S．从计 算 结 果 上 可 以看 出 ，虽 然 城 市 数 目增 大 了 ，但 与 小 窗 口算
法计算 Eil51的时间相差 不到 1 S．因此 可以证 明模 式算法 的有效 性 ．应 用模 式算法 计算 Linl05(105个城
市 ，已知最优解是 14 379)，最优解 14 379，最差解 14 448，平 均值 14 397．65，循环 次数 1O次 ，平 均计算 时
间 187．7 S，也 取 得 了很 好 的结 果 ．上 面 的数 据 说 明基 于模 式 的 蚁群 算 法 能 够 取 得 较 好 的 实 验结 果 ，同 时 也
说明该算法在解决组 合优 化 问题方面较 同类算法有一 定的优势 ，还需要说 明 的是 ，在这些 实验中算法结 束
条件都是 由一个 固定 的循 环次数 Nan。 决定 ，而算法 获得 最优解 时要小 于有 时远 小于这 个 固定循 环数 ，也
就 是 说 算 法 性 能 较 列 表 说 明 的还 要 好 一 些 ．
表 4 EiiSl基 于模式 算 法 的计算 结 果 表 5 St70基 于模式 算 法的计 算 结果
5 结 论
Tab．5 Simulation results of St70 based on m odel algorithm
循 环次数 N～ =10，平 均时 间(avgtime)=29．6 S，Nc=3
675 676 675 675 680
675 675 676 679 675
676 680 676 675 676
676 677 675 675 675
实 验 说 明小 窗 口算 法 通 过 限定 计 算 空 间 在 一定 程 度 上 改 善 了解 的 质 量 ，为 基 于 模 式 的 蚁 群 算 法 提 供
了较 好 的初 始 解 ，保 证 了 有 较 好 的模 式 ，而 基 于 模 式 的 蚁 群 算 法 在 提 取 模 式 的基 础 上 改 变 计 算 粒 度 ，提 高
运算 速度 ，克服 了以往 蚁群算法 的计算 时间长 、精度低 的缺点 ，使得蚁群算法有 了显著的提高 ．由于搜 索速
度 的提高 ，本 文算法 可 以满足更多实 际问题要求 ，有利于蚁群算法 的应用和推广 ．
参 考文献 ：
[1] DorigoM，ManiezzoV，ColomiA．The ant system：Optimization by a colony of cooperating agents[J]．IEEETransactions on Systmas．Man ，
andCybernetics-PartB，1996，26(1)：29—41．
[2] Dorigo M，Gambardella L．Ant colony system：A cooperative learning approach tO the tmvding 'salesman problem[J]IEEE Transactions On
EvolutionaryComputation，1997，1(1)：53—66．
[3] Colomi A，Dorigo M，Maniezzo V，et a1．An t system for job-shop scheduling[J]．Belgian Journal of Operations Research，Statistics and
CombuterSeience，1994，34(1)：39—53．
[4] Giannl Di Cam，Marco Dorigo．An tNet：Distributed stigrnergetic control for
Research，1998，(9)：317—355．
networks[J]．Journal of Artificial Intelligence
[5] Th omas Sttitzle，H0lg盯 Hoos．MAX—MIN ant system and local search for the traveling salesman problem[A]Proe IEEE International
Conference on Evolutionary Computation(ICEC’97)[C]．Indianapolis：[s．n1]，1997．309—314．
[6] 吴庆洪 ，张 纪会 ，徐 心 和 ．具 有变异 特征 的蚁群 算法 [J]．计算机 研究 与发展 ，1999，36(10)：1240—1245．
[7] 覃刚 力 ，杨 家本 ．自适 应调整 信息 素 的蚁群算 法 [J]．信 息与控 制 ，2002，31(3)：198—201．
蓑一
～一～一一一一 一一一一一一一 ～一 一 掰档
维普资讯 http://www.cqvip.com
基于模式求解旅行商问题的蚁群算法.pdf
