广义蚁群与粒子群结合算法在电力系统经济负荷分配中的应用
第 28卷 第 21期
2004年 11月
电 网 技 术
Power System Technology
、，01．28 No．2 1
NOV． 2Oo4
文章编号：1000—3673(2004)21—0034—05 中图分类号 ：TM731 文献标识码 ：A 学科代码：470·4054
广义蚁群 与粒子群结合算法在 电力系统
经济 负荷分配 中的应用
侯云鹤，鲁丽娟，
(华中科技 大学电力工程 系，
熊信 艮，吴耀武
湖 北省 武汉 市 430074)
APPLICATIoN oF GENERALIZED ANT CoLoNY oPTIM IZAIToN ALGoRITHM
INTEGRATED W ITH PARTICLE SW ARM oPTIM IZATIoN ALGoRITH M IN
ECoNoM IC DISI’ATCH oF PoW ER SYSTEM
HOU Yun—he，LU Li~uan，XIONG Xin—yin，wu Yao—WU
(Department of Electric Power Engineering，Huazhong University of Science and Technology，
W uhan 430074， Hubei Province， China)
ABSTRACT：An optimized algorithm in which the general ant
colony optimization(GACO)is integrated with particle SWalTn
optimization (PSO)is proposed and is applied tO economic
dispatch of a com plicated，non—concex an d nonlinear power
system ．This integr ated algorithm possesses large scale search
capability of generalized an t colony algorithm an d better local
search capability ofparticle SWalTII algorithm at the same tim e．
Under th e condition of ensuring global convergence， high
quality optimization solution can be searched by the proposed
algorithm ． The simulation results of several calculation
examples show that the proposed algorithm is effective and
feasible．
KEY W ORDS：Economic dispatch；Generalized ANT colony
optimi zation algorithm ； Particle SWalTn optimization
algorithm ； Power system
摘要 ：提出了一种结合广义蚁群算法和粒子群算法的优化算
法，并将其用于求解复杂的非凸、非线性的电力系统经济负
荷分配问题 。该结合算法 同时具有广义蚁群算法 的大规模寻
优特性和粒子群算法的较强局部搜索能力，在确保全局收敛
性的基础上 ，能够快速搜索到高质量的优化解。多个算例的
仿真结果表明了该结合算法的有效性和可行性 。
关键词：经济负荷分配；广义蚁群算法 ：粒子群优化算法 ：
电力系统
1 引言
经济负荷分配 (Economic Dispatch，ED)是一
类电力系统规划和运行调度中的典型优化问题 ，其
目标是在满足负荷和运行约束条件的前提下 ，使发
电成本最小化 。由于火 电机组阀点效应【l】(valve
point effect)、系统运行约束 、系统稳定性等条件的
制约，使 ED 问题具有非凸、高维数、非线性和不
可导的特性 。已提 出了许多用于求解 ED问题 的算
法 ，如线性规 划法 、同伦线性 规划法 、二次规划法 、
非线 性规划法 、动 态规划法 。
文【2】采用进化规划法对较大规模的 ED 问题进
行 了研究；文[3】采用实数编码遗传算法求解考虑非
线性耗量特性和网络损耗的经济负荷分配 问题，取
得了比传统方法更好的求解结果；文[4】提出采用混
沌优化方法求解 ED 问题 ；文[5】提出了广义蚁群算
法 (Generalized Ant Colony Optimization，GACO)
用于求解 ED 问题，该方法综合考虑系统的非凸、
非线性特性，取得了较好的负荷分配结果，但算法
的优化效率在一定程度上依赖于局部搜索算法 。粒
子群算法【o’ (Particle Swarm Optimization，PS0)自
提出以来，以其操作简便、依赖经验参数较少的特
点，已成功地用于求解多种优化问题。文[8】在理论
上从代数和解析角度进行的研究表明，在满足一定
条件的基础上 ，PSO 算法可避免发散，并收敛至局
部最优解。此外 ，Hopfield神经网络、Tabu搜索及
模拟退火算法也被用于求解经济负荷分配 问题。
本文将 PSO引入 GACO的局部搜索中，采用
GACO进行全局搜索，确定最优解存在的邻域，通
过 PSO实现局部搜索，由于 PSO算法充分利用 以
往的信息，又不依赖于梯度 ，可实现非凸空间上的
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高效搜索，在实际计算中比蒙特卡罗法 J具有更高
的精度和更快的速度 。GACO 与 PSO 的结合算法
在保证算法全局收敛的前提下，提高了优化的效率
和 精度 。
2 电力系统经济负荷分配 的数 学模型
2．1 目标函数
ED 问题系指在满足 电力系统运行约束条件的
前提下 ，优 化系统 中发 电机 的 出力 ，使总 发电成本
最小，其 目标函数如下【5】：
ED 的 目标 是最 小化 总费用 ，即
Nt
minF=min{∑ (吃)} (1)
i=1
式中 F为系统总发电费用 ； 为系统 内发电机总
台数；吃 为第 i台发电机有功功率；Fi(吃 )为第 i
台 发 电机 耗量特 性 。一般用 二 次 函数 近似 表示
(吃 )，即
(吃 )=aip 2-I- 吃 -I-Ci (2)
式中 a 、b 、C 为参数。
考虑阀点效应 41的耗量特性为
( )：aip 2+b／吃 +C／+ (3)
E／=Igf sin( (吃一 ，rIIi|I))I (4)
式中 E 为阀点效应引起的耗量特性变化量；g 、
hi为参数；尸6劬 为第 i台发 电机有功功率下限。
研究表明，忽略阀点效应会使 目标 函数求解精度受
到明显 影响 ， 。
2．2 约束条件
发电机运行约束条件为
，
rIIi|I≤吃 ，一 i=1,2，?，Ⅳg (5)
式中
，
一 、
，
分别为发电机有功功率上、
下 限 。
电力平衡约束条件为
= Ps +Ps。 (6)
i=1
．
式中 为系统总 网损 ； Pso为系统 总负荷 。采
用潮流计算或 B 系数法唯， l n-I求得网损 。如采用潮
流算法求出网损 ，还需计及 以下约束条件：
线路容量约束条件为
I 兄，一 i=1 2一，ⅣL (7)
式中 PL为第 i条线路有功功率 ： PL,． 一 为第 i
条线路有功功率上限；NL为线路数。
系统稳定性约束条件为
l 一 l ，一 i，j；=1,2，-一，ND 且f≠J； (8)
式中 i、J为线路连接的节点； 、 分别为节点 i、
．『的相 角； j’max为节 点 、_『之 问的相角差 上限 ；ⅣD
为 系统节 点数 。
3 广义蚁群与粒子群结合算法
3．1 GACO与 PSO结合算法的基本原理
对于 一般 的约束优 化 问题 ，采用 外点法构造 辅
助函数 ，将较难计入可行域的 ／o个等式约束和
个不等式约束以罚函数形式计入 目标函数中，即
如
n1in F( )=rain{f(X)+ ∑( ( )) +
i=1
o'2 [max(0，一g，( ))】 } (9)
= l
s．t， ( )=0， i=如+1， +2，?，Z
g ( ) 0， J：uo+1，uo+2，?，U
式中 。 ，? ) 为待优化矢量 ；Z、U分别为
原等式约束和不等式约束的个数。为加速迭代，使
罚系数 与当前迭代次数 有关，开始时较小，
这样有助于大范围搜索，再逐步增大，使最终结果
成为原问题的解。记式(9)的可行域为 S。
，， ，， 、
~ri(K 【、 1+exp(-otK／T)一1 max i=1,2(10)
式 中 为 正系数 ，用于 调节 的变 化速 度 ；
．眦 为 o-~(K)的上限值 ；T 为迭代次数上 限值 。
3．2 GACO阶段步骤【5】
(1)初始化。令当前迭代次数 K=0，在 中
取 Ⅳ组服从均匀分布的随机数，给定 Ⅳ只蚂蚁的初
始位置，形成初始蚁群 C(0)，即
C(0)= (Xl，X2，? ，XN)
其 中， ∈S。
初始化信息密度矩阵 Ⅳ，即令其元素 F ，
为很小的正数。定义 (f)为位置 i中的蚂蚁数 目，
初始时 6(f)：1(f_1，2，?，Ⅳ)，初始化蚂蚁的可见域
D( ，即
{一 jII
此时蚂蚁 i、J可互相移动至对方位置。为减小计算
量，对于矢量 ( ， ，?， ，本文采用以下范
数定义
II~11 (12)
D( 与迭代次数 有关，本文定义为
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36 Power System Technology 、b1．28 No．2l
。( )=2(1一百 丽1
式中 D。 为可见域上限，式(13)的定义使每只蚂
蚁开始在大范围内搜索，然后逐步缩小搜索范围。
(2)搜索策略。对于蚂蚁位置 i(i=1，2，?，Ⅳ)，
6(f)≥1时，形成的集合Af为
A={Xj,llxf— 川 ToD(K)} (14)
A ≠ 时转 向步骤 (3)；Af= 时转向步骤 (4)(
为空集 )。
(3)设A 中的元素个数为 m，计算
rlo=F(Xi)一F(Xj)， EAi (15)
1∑ (16) ，’，●一
。’ A i
令珊，mi =lmin( I，G=(1+ 珊
，
mi ，￡为很 小的 正数 。
令蚂蚁 i进行邻域搜索的概率为 ，转移到蚂
蚁 处的概率为 Pf『’分别表达为
(f+G
m ， ．
Po=— — —— — —— — — — — —一 (17)
X cA 。
(协 +G ( f+6)
X 。 ， I ? ．E^ ．
：— — — _ ～ (18)
。
(协 +G +(f+G) (
m jcA iX A X ‘
式中 为常数，本文取 = =1。式(17)、(18)
中(H。G)>0、(rlo+G)>O使得 Pu>O和 Po>0，有
+ =1 (19)
Xj~A i
且随着 F(xj)减小， ，增大、Pl，增大 。邻域搜索的
概率为 P0，与可见域中蚂蚁对应 目标函数的平均值
有关。
对 Po、Pff进行赌轮选择。如选中某一 Pff’则
执行修正规则 1；如选中 P0则执行修正规则 2。
修正规则 1 墨 处蚂蚁转 向 墨 处，ATij=P ；
bi=br--1；bj=bj+l；将蚂蚁 _，处的坐标赋值给蚂蚁 i，
转向步骤 (5)。
修正规则2 在 墨邻域中采用 PSO算法进行搜
索，邻域定义为
Sx,={y,(1lxf—glI flD(K))NS} (2o)
式中 为系数 ， ∈(0，1)，S 为可行域。设搜索
结果为 y，则将 y赋值给 ，转向步骤 (5)。
( 一Ffr)l+Gl ( )托
= — — 高 (21)
(4)采用 PSO算法直接进行邻域搜索。搜索
域同式(20)。设搜索结果为 y，则执行修正规则 3。
修正规则 3 将 y赋值给 Xi，△舻 r(r为常数)，
E A i。
(5)修正信息密度矩阵
勺( 1) 勺 +△勺 (22)
式中 P为信息密度蒸发系数 ，pC(0，1)。修正分
如下两种情况：①如△ 由修正规则 1得到，仅修
正 i至 的连接；如△ ，由修正规则 2得到，对于所
有 CAf且 置≠ 的 ，都进行修正；如△ ，由修正
规则 3得到，则对所有 ∈c( 且 Xi~Xj的 ，都进
行修正，C( 为第 次迭代形成的蚁群。②仅修正
， 不修正。
(6)对所有 置∈C( ，都执行步骤 (1)～(5)
的操作，统计结果：如不满足接受条件，则取消本
次迭代步骤 (2)～(4)结果，转向步骤 (2)。
(7)K
输出结果。
3．3 PSO阶段步骤
在 3．2小节 中的步骤 (2)和步骤 (4)中采用
粒子群算法进行邻域搜索，假设已搜索到 点，
其邻域为 Sx，PSO迭代次数上限为 ，优化流程
如 下 ：
(1)初始化。当前迭代次数 K=0，在 选取
Ⅳ一1组服从均匀分布的 n维随机矢量 ，与 共同
确定 坼 个粒子初始位置 ，形成初始粒子群： l(O)，
(0)，?， O)】I，其 中 置(O)∈ ，Xi(O)：[xil(O)，
Xi2(0)，?，Xi (O)r。
在 上 的 闭矩 阵 [o，vl
， 一 】×[O，v2，。一 】×? x[O，
，一 】( ，。 为第 维速度的上限)中选取 坼 组服
从均匀分布的 n维随机矢量，第 i个粒子的初始速
度 为
vi(O)：[Vil(0)，v (0)，?，v (0)】I
(2)搜索策略。假设 次迭代后搜索到的最
优解 为
( = l( ，xMK)，?，xg ( 】I
粒子 i经历过的最优解为
Xpi(1O= i1(／0，Xpi2(IO，?， ( 】I
每个粒子在每个方向上的运行速度为
( +1)=6ov~(K)+ ( )一而( )】+
[xp0(K)一葡( )】 (23)
vo(K+1)=sgn[％( +1)】·min[J~j(K+1)1，Vl，一】(24)
式中 i=1，2，?，Ⅳ；j=l，2，?，，z；21、 2分别为
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在【0，／~1max】和【0， 2 】上均匀分布的随机变量； 致，PSO算法中的粒子个数M一10，迭代次数 Tp=15，
正参数；sgn(·)为符号函数 ，定义为 21 = _2．05， ：1．05；粒子速度在每个方向上
f 1 当 >0 的上限值 v ． =0．8×局部搜索邻域宽度 ，优化结果
sgn(x)={一1 当 <0 (25) 列于表1。
【0 当 =0 表1算例1的结果
更新每个粒子在每个方 向上的坐标 xij(K+1)，
先计算
( -I-1)= (K)-I- (K -I-1)
f=1；2，?，JVP；J=1，2，?，n (26)
形 成矢量
f( +1)=【 10( +1)， l( +1)，? ， ( +1)】
如 i( +1)∈S ，则 i( -t-1)= (K-t-1)；
如 i( +1)芒S ，则 f( +1)={Xi(K-I-1)Xf( ))
n 。其 中 ， { ( +1)Xf( ))为 ( +1)与
( )之间的线段上的点集；Dsx为局部搜索域的
边界 。
计算每个粒子对应的 目标函数 F(Xi(K+I))，与
粒子群中最优解及个体最优解比较，并进行相应 的
更新 。
(3) ： 1
如 K
代 中 的最优值 。。 ( )】与 己搜 索到 的最优 值
( )】；如 F 】 ( )】，则输出 ( ；
否则输出 ( )。
3．4 收敛性说明
文【5】基于不动点理论给 出的算法收敛充分条
件是，对于算法构成映射西 形成种群序列 C( ，
记 ，，【C( )】为种群中个体对应 的最优解。如满足
F，【 C( )】<，，【C( )】 (27)
1 b．1 The results of calculation case 1
文 【4】采 用遗 传 算 法 得 出的 结 果 为 ：
．
：
300．O1MW，PG2=170．20MW， =100．10MW，网损
为 70．99MW，总费用为 5745．1lUSD：采用混沌优化
得 出结果 为： =299．46MW ， = 172．00MW ，
= 98．84MW，网损为 70．24MW,总费用为5735．93
USD。文【5】采用 GACO计算的最优结果为 5735．74
USD。
对算例 1独立计算 20次， 目标 函数值小于
5742．0USD时算法收敛。采用本文的结合算法，收
敛迭代次数平均值为 233．75，样本标准差为 63．978。
文【4】对与本文相同的算例，采用遗传算法计算 目标
函数 5000次，混沌优化计算 目标函数 3000次。文
【5】采用广 义蚁群算 法 ，收敛迭代 次数平均值 为
261．75，样本标准差为 59．725。采用不同算法，各
独立计算 20次，对于每种算法形成的群体，图 1
给 出每代 中各独立计算得到的最优值的平均值变
化曲线。由图 1可见，本文计算量相对较小。
则算法收敛。 昌
由于 3．2小节中的步骤 (6)确保了 GACO算
法步骤满足式(27)。在局部搜索阶段，由于始终保 翟
留了 PSO己搜索到的最优解，迭代完成后返回的解 云
也可满足式(27)，因此 ，3．1～3．3小节中描述的算法
是收敛的。
4 算例分析 Fig
． 1
4．1 算例 1
以文【l】、【4】、【5】的 3机 6母线电力系统为例，
原始数据参见文【1】，考虑耗量 曲线的阀点效应和系
统 网损，采用 B系数法计算 网损。发电机承担的总
负荷为 PD=500MW。GACO 算法的参数与文【5】一
迭代次数 ／次
图 1 算例 1中不同算法平均收敛 曲线 比较
Com parison of average convergence curve am ong
different algorithms ofcase 1
4．2 算例 2
以文【2】的 13机电力系统为例，考虑耗量特性
的阀点效应，忽略网损，原始数据见文【2】。算法参
数与算例 1一致 ，计算结果如表 2所示。
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表 2 算例 2的结果
Tab．2 The results ofcalculation case 2
文【2】采取进化规划 的几种不同改进形式得到
的最优结果为 17994．07USD，本文所得结果略优。
分别采用 PSO、GACO-PSO 结合算法各独立
计算 100次，迭代次数上限取 300，最优结果分布
如表 3所示。文【2】采用多种改进形式的进化规划算
法求解，得到的最优结果在表 3中记为 IFEP(该文
中种群规模、迭代次数均与本文一致 ，独立计算 50
次 ，表 中为百分 比 )。
表 3 算例 1最优结果分布 比较
Tab．3 The optimal resolution distribution of different
calculation method for calculation case 2
由表 3可见，广义蚁群与粒子群结合算法与粒
子群算法及改进进化规划 算法相 比，收敛精度 更
高，解的离散度更小。
5 结论
本文将粒子群算法应用于广义蚁群算法 的邻
域搜索中，在确保广义蚁群算法的全局收敛性的同
时，也提高了算法的优化效率，该方法还可求解常
规算法难 以解决的非凸、非线性约束优化问题 。在
提供最优解的同时 ，还可提供一组次优解 以供选
择，且容易实现并行运算。本文将其应用于求解电
力系统经济 负荷分配 问题 ，计算中综合考虑了网
损、气轮机阀点效应等因素。两个算例的计算结果
表 明了该方法的有效性和可行性。
参考 文献
【l 1 Waiters D C，Sheble G B．Genetic algorithm solution of economic
dispatch with valve point loading[J]．IEEE Trans on Power Systems，
1993， 8(3)： l325-1332．
【2】 Sinha N ， Chakrabarti R ， Chattopadhyay P K ． Evolutionary
programming techniques for economi c load dispatch[J】．正 EE Trans on
Evolutionary Computation，2003，7(1)： 83-94．
【3】 Dam ousis I G，Bakirtzis A G，Dokopo ulos P S．Network-constrained
economic dispatch using real-coded genetic algodthm[~．IEEE Trans
onPowerSystems，2003． I8(1 ： 198-205．
【4】 唐巍 ，李殿 璞 ．电力系统经济 负荷分配 的混沌优化 方法【J】．中国
电机工程学报 ，2000，20(10)：36．40．
TangW ei， LiDian pu． Chaoticoptimizationfor~ onomi cdispatchof
po wer systems[J】．Proceedings ofthe CSEE，2000，20(10)：36-40．
【5】 侯云鹤，熊信 艮，吴耀武 ，等．基于广义蚁群算法 的电力 系统经济
负荷分配【J】．中国电机工程学报 ，2003，23(3)：59．64．
Hou Yunhe， X iong Xinyin， W u Yaowu el a1． Economi c dispatch of
po wer systems based on generalized an t colony optimization method
【J】．Proceedings ofthe CSEE，2003， 23(3)：59-64 ．
【6】 Kennedy J，Eberhart R C．Particle swarln optimi zation[A】．Proceeding
of the 1995 IEEE International Conference on Neural Network[C】，
Perth， Australia， l995： l942～l948．
【7】 Kenned y J，Eberhart R C．A new opdmizer using particle swarln
【A】． Proceeding of the Sixth International Symposium on Micro
M achine and Human Science[C】，Nagoya，Japan ， 1995：39-43．
【8】 Clerc M ，Kenned y J．The particle swarm-explosion， stability an d
convergence in a multidimensional complex space[J]．IEEE Trans on
Evolutionary Computation， 2002， 6(1)： 58—73．
收稿 日期：2004 01．08。
作者简 介：
侯云鹤 (1975一)，男，博士研究生，研究方向为最优化理论在电力
系统中应用、电力市场理论及电力系统规划；
鲁丽娟 (1977．)，女，硕士研究生，研究方向为电力系统规划、电
力 系统运行分 析及电力市场理论 ；
熊信 艮 (1945～)，男，教授 ，从事最优化理论在 电力系统中的应 用、
电力 系统运行 分析 、电力系统规划及 电力 系统谐波 分析等方面 的研 究工
作 。
维普资讯 http://www.cqvip.com
广义蚁群与粒子群结合算法在电力系统经济负荷分配中的应用.pdf
