线性有理三角插值
线性有理三角插值
我们知道，函数可以用函数的代数多项式插值或三角多项式插值去逼近，也可以用它的有理分式去逼近. 关于函数插值的研究近二十多年来发展很快，除了对经典的Lagrange插值和Hermite插值得到一些新的结果外，还引入了一些新的函数插值，如Brikhoff插值，Hermite样条小波插值等．这里我们主要介绍线性有理三角插值.
1948年，H.E. Salzer在《J. Math. Phys.》上发表了题为“Coefficients for facilitating trigonometric interpolation”的论文. 在该文中，他讨论了奇数个结点的有理三角插值问题，并给出了此问题的重心形式：
(1)
( 其中，称为插值多项式的权，为插值结点, 为插值结点处的函数值. )
此后，大家都是在奇数个结点的情况下讨论有理三角插值的一系列问题（系数性质，求积应用等）. 直到1984年，J.-P. Berrut 在《Journal of Applied Mathematics and Physic》上发表的题为 “Baryzentrische Formeln zur Trigonometrischen Interpolation (Ⅰ)”的论文中，才开始讨论偶数个等距结点的有理三角多项式插值问题，在该文中，他给出了此问题的重心形式 .
(下面我们先介绍一下J.-P. Berrut的思路和方法：)
对于插值结点个数为偶数（即n=2m）的等距结点的情况，J.-P. Berrut在文中先将所定义的三角插值多项式
利用C.F. Gauss 1866年在《Werke Vol. Ⅲ》上发表的题为“Theory interpolations method novo tractate”的论文中所得出的结论，将其写成如下的形式：
(2)
( 其中，为上n 个不同的插值结点，为插值结点处的函数值. )
于是，可知此时为一偶函数. 而我们已经知道对于偶性三角多项式，都可以唯一的写成的形式.
对（2）式所熟悉的积化和差公式就可将其写成如下的形式：
(3)
( 其中：和为阶确定的三角多项式， .)
由此我们可以看到，当且仅当 的系数为0时，才能将(3)式写成的形式.
即有:
于是所定义的三角插值多项式即为：
(4)
（ 其中称为插值函数的权. ）
假设每个插值结点处的函数值（其中），则可得到一个重要的关系式：
(5)
再用(5)式去除(4)式即可得偶数个结点时的有理三角插值的重心形式：
不仅如此，当插值结点为等距结点时，插值多项式的权满足下式：
同时对于偶数个等距结点（即n=2m）的情况，我们已知道
于是有 .
由此J.-P. Berrut得出: 不论插值结点的个数为奇数还是偶数, 只要是等距结点，就可利用上述权函数所满足的关系式以及P. Henrici. 1982年在《Numerical Mathematics》上发表的题为“Barycentric formulas for interpolating trigonometric polynomials and their conjugates”的论文中所给出的三角插值函数的系数，将有理三角插值统一的写成如下的重心形式:
2002年 R.Baltensperger在《Computers and mathematics with application》上发表了题为“Some Results on Linear Rational Trigonometric”的论文，该文在自由结点个数无论为奇数还是偶数的情况下，对线性有理三角插值的重心形式作了很多有益的讨论，给出了奇数和偶数个自由结点情况下的线性有理三角插值的重心形式，并利用微分矩阵得出了求写成重心形式的线性有理三角插值的P阶导数的计算公式.
在该文中，R.Baltensperger首先给出了线性有理三角插值函数的定义：
设，，且，则满足插值条件
的阶数不超过的三角插值多项式为：
其中，是Lagrange三角插值基，且
三角结点多项式：
称为插值多项式的权
（这里，R.Baltensperger所给出的线性有理三角插值函数中的常数是固定的.）
同样假设每个插值结点处的函数值（其中），亦可得到关系式：
按同样的方法便可得线性有理三角插值的重心形式.
1、当插值结点为奇数（即n=2m-1）时，线性有理三角插值写成重心形式即为：
2、当插值结点为偶数（即n=2m）时，线性有理三角插值写成重心形式即为：
3、同样当插值结点为等距结点时，插值函数的权满足下面的关系式：
并且此时也有：
所以不论n为奇数还是偶数，只要是等距结点，上述所定义的线性有理三角插值就统一的写成如下的重心形式：
这里如果不先给出常数，而直接利用J.-P. Berrut所提供的方法，算出满足式子
的常数，进而得出上述三种情况下的线性有理三角插值的重心形式, 这样的将更具有一般性.
此文中也给出了求写成重心形式的线性有理三角插值的P阶导数的计算公式，于是我们准备做的工作即为Hermite线性有理三角插值的重心形式.
线性有理三角插值
