问题引领，主动探究——基于“简单的线性规划”案例中问题串的研究
注：本文系甘肃省教育科学“十三五”规划课题《高中数学课堂教学有效性的研究》阶段性研究成果,课题批准号GS[2017]GHB0515
问题引领，主动探究
——基于“简单的线性规划”案例中问题串的研究
常瑞丰
（甘肃省酒泉市实验中学，甘肃 酒泉 735000）
摘要：问题是数学的心脏，解决问题是数学学习的核心。所谓问题串，是指以启发式原理为指导，教师围绕一定的学习目标或某一核心问题,按照一定逻辑顺序而精心设计的一组问题，并把这些问题作为组织教学过程各个环节的纽带。在课堂教学中有效使用问题串，能使学生有机会在探究中获取知识，促使学生主动地进行观察、实验、猜想、推理与交流，最大程度使学生的数学能力得到提升。下面以笔者的一节“简单的线性规划”的公开课为例，谈谈对问题串在课堂教学中的运用的认识。
关键词：问题串、简单的线性规划、案例研究、运用
一.概述
问题是数学的心脏，解决问题是数学学习的核心。为了避免灌输式教学,所谓问题串，是指以启发式原理为指导，教师围绕一定的学习目标或某一核心问题,按照一定逻辑顺序而精心设计的一系列问题[1]，并把这些问题作为组织教学过程各个环节的纽带。在课堂教学中有效使用问题串，能使学生有机会在探究中获取知识，促使学生主动地进行观察、实验、猜想、推理与交流，最大程度促进学生数学思维能力的提升。
下面以笔者的一节“简单的线性规划”的公开课为例，谈谈对问题串在课堂教学中的运用的认识。
二.教学流程中的问题串设计
采用探究式和发现式教学模式，由一系列问题引导，并采用多媒体课件辅助教学手段，过程如下：
(一) 复习引入中的问题串
1.如何判断不等式所表示的平面区域？
2.画出不等式组所表示的平面区域的步骤是什么？
3.画出下面不等式组所表示的平面区域：
x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1
设计意图:由于本节课的学生将要学习的主要内容是用图解法准确求得线性规划问题的最优解,通过这3个层层递进的问题让学生进行复习，能使全班学生在学新知识之前都处于同一起跑线，为理解掌握新知识打好基础。
(二)讲授新知中的问题串
1.例题：设z=2x+y,式中变量x，y满足条件：
x-4y≤-3
3x+5y≤25 ，求z的最大值和最小值。
x≥1
问题引导，启发学生主动思考：
(1)若把z=2x+y看成关于x，y的二元一次方程，那么它所表示的图形是什么？
(2)直线方程z=2x+y的截距式是什么？
(3)直线的斜率、截距分别是什么？
(4)z=2x+y表示的直线有什么特征？
(5)平行线的位置如何确定？
观察多媒体课件：
(6)直线平移过程中斜率如何变化？
启发引导：
(7)变量x，y满足不等式组，也就是说直线要满足什么条件？
观察多媒体课件：
(8)图中哪些直线满足条件？
(9)找出满足条件的直线中截距最大和截距小的直线？
(10)如何求出这两条直线的截距？
(11)直线的交点如何求出？
通过观察知，当直线过点(1,1)时，z取得最小值；当直线过点(5,2)时，z取得最大值。
解：如图得出不等式组的平面区域，则z=2x+y即y=-2x+z(z为参数），直线在与区域有公共点时，根据图象得z的最大值和最小值，即当x=1,y=1时，zmin=3; 当x=5,y=2时，zmax=12。
2.形成概念：
线性规划、线性约束条件、可行解、可行域.
3.学生归纳步骤：画，移，求，答。
设计意图:在复习不等式组所表示的平面区域的基础上引出例题，该例题的分析与讲解是本节课的重点，也是难点所在.我根据学生的实际学情, 遵循学生的认知规律,紧扣问题核心，精心设计问题串，采用由易到难、层层递进的启发式教学方法。同时，学生通过解决每个问题主动地进行探究，数学核心素养得到有效发展。
(三)练习、作业中的隐含的问题串
1.课堂练习
y≤x
（1）求z=2x+y的最大值,使式中的x,y满足约束条件： x+y≤1
y≥-1
5x+3y≤15
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x,y满足约束条件： y≤x+1
x+5y≤3
（3）(2006年湖南高考题）求z=2x+2y的最小值,使式中的x，y满足约束条件：
x≥1
x-y+1≤0
2x-y-2≤0
2.课后作业
（1）课本P71习题第2 题.
x-y-2≤0
（2）思考题：设实数x，y满足 x+2y-4≥0 ，则y/x的取值范围是（ ）。
2y-3≤0
设计意图:练习和作业中习题，实际上也可以看作是系列的问题串，通过对这些问题的解决，让学生自己发现问题中的联系与区别，思考解决问题过程中的通性通法，培养学生的独立解决问题的能力，自主学习能力和把知识进行迁移的能力。
三.教学反思：
1.问题串在本节课中的作用
在数学课堂中一定要体现出学生的学，要让学习真正发生，而问题是诱发思考的刺激因素[2]。本节课在引导学生掌握新知识时并不是以教师精彩的讲解为主，而是以教师引导学生以小组合作讨论的形式进行自主探索学习，在复习不等式组所表示的平面区域的基础上引出新课，通过问题串由易到难、层层递进的启发，遵循学生的认知规律，让学生通过思考、分析、归纳主动建构自己的知识结构，培养他们发现问题、解决问题的能力,而教师则在这一学习方式中充当合作者，引导者的角色。
2.问题从何而来
“问题串”是支持教师讲授过程和学生学习过程的一个重要抓手,它能够满足各个层次的学生对知识的学习需求。问题的设计要避免形式化和低效化，必须是源于教材，符合学生实际、符合课标要求的具有一定深度和广度的问题。教师要提出好问题，必须按照学生的学习实际，问题要符合学生的最近发展区，将教学重点、难点内化成一系列有针对性，有层次的问题串展开。
新课标提倡“用教材而不是教教材”。我认为教材只是我们教学资源的一部分，在实际教学中要根据学生学习的实际情况进行取舍。在本节教材中是通过3道应用题来说明线性规划问题，如果完全按教材讲，对大多数学生来说既要理解理解应用题的含义，又要弄清新的计算方法，为此，我大胆的将例题进行了更换，突出重点，若再遇到应用题的情况，学生也就迎刃而解了，因而很好的突破了难点。同时，为了学生能很好掌握本节课的重点内容，也是根据例题来选择练习题。
3.运用问题串的教学策略
为了使学生学懂学会，教师往往运用一系列问题串进行追问，在追问时还应从追问方式、对象、时机等方面予以关注。设计好问题的形式，问题的形式体现出学生思维的方向；按问题的难易程度问不同的学生，让学生都参与到学习活动中来，使不同的学生有不同的收获；细心观察学生学习的进程，在学生们完成一个任务后，再适时提出下一个问题。
参考文献：
[1]李键.精心设计问题串，提高课堂教学效益[J].中学数学，2011（3）：7-9.
[2][美]格兰特·威金斯,杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设计[M].华东师范大学出版社，2018(3):253.
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