矿井提升系统的强非线性振动
2005207212 收到第 1 稿 ,2005209201 收到修改稿.
3 国家自然科学基金(10272117 ) 和中国博士后科学基金(2004036517 ) 资助项目
矿井提升系统的强非线性振动 X
蔡建平1,3 , 陈树辉1 李怡平2
(1. 中山大学应用力学与工程系 ,广州 510275)( 2. 中山大学数学系 ,广州 510275)
(3. 漳州师范学院数学系 ,漳州 363000)
摘要 矿井提升机在提升重物的过程中 ,由于质量和刚度的变化引起的系统固有频率十分缓慢的变化 ,因
此考虑钢绳质量的矿井提升机系统是一个慢变参数振动系统. 本文首先应用 Kuzmak2Luke 的多尺度法得到
有一般非线性弹性力的强非线性振动系统解的周期性条件及用 Jacobi 椭圆函数表示的平方非线性振动和立
方非线性振动的首阶渐近解. 其次 ,将得到的结果分别应用于有平方、立方非线性弹性力的质量慢变的矿井
提升系统. 最后 ,将理论结果应用于某个矿井提升系统 ,应用算例的渐近解和数值解的比较表明本方法是有
效的.
关键词 非线性振动 ,矿井提升系统 ,多尺度法 ,慢变参数
引言
矿井提升机作为地面与井下物质与人员流通
的运输工具 ,在煤矿生产中有重要作用. 提升系统
的振动是安全生产的首要问题 ,直接影响着矿井的
生产能力和人员、设备的安全 ,已引起很多工程技
术人员的关注[1～4] .
本文考虑钢绳质量的矿井提升机罐笼与钢绳
组成的振动系统 (图 1) . 在提升重物的过程中 ,系
统的质量和刚度随着钢绳的伸长与缩短连续地变
化. 由于质量和刚度的变化引起的系统固有频率十
分缓慢的变化 ,因此这是一个具有慢变参数的非线
性振动系统[5,6] ,其运动微分方程如下
d
d t [ m (?t) d y
d t ] + g ( y , ?t) = 0 (1)
其中 m (?t) 是慢变质量 ,?t = εt 是慢变时间(0 < ε
< < 1) , y 是罐笼的位移 , g ( y , ?t) 是非线性弹性
力. 慢变质量是由于钢绳的伸长与缩短引起的 , 可
由下式计算
m (?t) = m p + 1
3 γL (?t)
其中 m p 是罐笼的质量 ,γ是钢绳单位长度的质量 ,
L (?t) 是钢绳的慢变长度. 当非线性弹性力 g ( y , ?t)
是 y 的线性函数时 ,闻邦椿等曾用 KBM 法求得渐
近解[5 ,6 ] . 对一般的非线性弹性力 g ( y ,?t) , 传统的
KBM 法失效. Kuzmak2Luke 的多尺度法能有效地
解决这一困难[7～10 ] . 本文应用该方法得到解的周
期性条件及平方、立方非线性振动的渐近解. 两个
应用算例的渐近解和数值解的比较表明本方法是
有效的.
图 1 矿井提升机的力学模型[5 ,6 ]
1 天轮 ,2 罐笼 ,3 提升机卷筒
Fig.1 Mechanicalmodelofminehoist
1 pulley,2 cage,3 minehoistreel
1 Kuzmak2Luke 的多尺度法
首先考虑带慢变参数的强非线性振动系统
d2 y
d t2 +εk ( y ,?t) d y
d t + g ( y , ?t) = 0 (2)
第 3 卷第 4 期
2005 年 12 月
动 力 学 与 控 制 学 报
JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROL
Vol.3 No.4
Dec.2005
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
其中 ?t = εt 是慢变尺度. 假设方程(2) 的解具有如
下渐近展开式
y ( t ,ε) = y0 ( t + , ?t) +εy1 ( t + , ?t) +
ε2 y2 ( t + , ?t) + ? (3)
其中的快变尺度 t + 按照 Kuzmak[7 ] 的定义为d t +
d t
= ω(?t) ,其中 ω(?t) 为待定函数 ,它由方程解的周
期性质所决定. 设周期规范为 1 , 其简化的表达
式为
ω(?t) = c
∫1
0
f 2φdφ
exp ( - ∫?t
0
k ( y r ,τ) dτ) (4)
其中 y r 是振动中心 , 记 y0 = f (φ, ?t) 是首阶近似
解 ,而φ = t + +φ0 ,常数 c 和φ0 由系统的初始条件
确定 ,详细的推导见作者的另一文章[11 ] .
( I) 当 g ( y , ?t) = a (?t) y + b(?t) y3 时
将展开式(3) 代入方程(2) 得到首阶方程
ω2 (?t) 52 y0
5 t +2 + a (?t) y0 + b(?t) y3
0 = 0 (5)
其能量积分为
ω2 (?t)
2 (5 y0
5 t +) 2 + V ( y0 , a , b) = E0 ?t) (6)
式中
V ( y0 , a , b) = 1
2 a (?t) y2
0 + 1
4 b(?t) y4
0
为系统势能 ,而 E0 (?t) 为系统的慢变能量. 当 a (?t)
> 0 且 b(?t) < 0 时(振动中心 y r = 0) ,对方程(6)
再积分一次可以解出 y0 是 t + 的椭圆正弦函数
y0 = A 0 (?t) sn[ K( v)φ, v (?t) ] (7)
其中φ = t + +φ0 ,常数φ0 由初值决定 , K( v) 是关
于模数 v 的第一类完全椭圆积分 ,而
A 0 = - 2 av
b(1 + v) (8)
模数 v 由方程
L 2 ( v) v2
(1 + v) 3 = c2 b2
4 a3 exp ( - 2∫?t
0
k (0 ,τ) dτ) (9)
确定. 其中常数 c 由初值确定 ,而
L ( v) = ∫K
0
cn2 ( u , v) dn2 ( u , v) d u =
1
3 v [ (1 + v) E( v) - (1 - v) K( v) ]
其中 E( v) 是关于模数 v 的第二类完全椭圆
积分.
( II) 当 g ( y ,?t) = a (?t) y + b(?t) y2 时
将展开式(3) 代入方程(2) 得到首阶方程
ω(?t) 52 y0
5 t +2 + a (?t) y0 + b(?t) y2
0 = 0 (10)
其能量积分为
ω2 (?t)
2 (5 y0
5 t + ) 2 + V ( y0 , a , b) = E0 (?t) (11)
式中
V ( y0 , a , b) = 1
2 a (?t) y2
0 + 1
3 b(?t) y3
0 (12)
为系统势能 ,而 E0 (?t) 为系统的慢变能量. 当 a (?t)
> 0 时 ,对方程(12) 再积分一次可以解出 y0 是 t +
的椭圆余弦函数
y0 = A 0 (?t) cn2 ( K( v)φ, v (?t)) + B 0 (?t)
(13)
其中
A 0 = 3 av
ab v2 - v + 1
,
B 0 = - a
2 b ( 2 v - 1
v2 - v + 1
+ 1)
模数 v 由方程
v2 J ( v)
( v2 - v + 1) 5/ 4 = 2 cb2
9 a5/ 2exp ( - ∫?t
0
k (0 ,τ) dτ)
(14)
其中
J ( v) =∫K
0
sn2 ( u , v) cn2 ( u , v) dn2 ( u , v) d u =
1
15 v2 [ (1 - v)( v - 2) K( v) +
2 ( v2 - v + 1) E( v) ]
更详细的推导及参数 a (?t) 和 b(?t) 的不同符号的
情况参阅[10 ] 或[12 ].
当 m (?t) = m p + 1
3 γL (?t) 和 g ( y , ?t) =
a (?t) y + b(?t) y3 时 ,方程(1) 为
d
d t{[ m p + 1
3 γL (?t) ] d y
d t } + a (?t) y +
b(?t) y3 = 0 (15)
当 m (?t) = m p + 1
3 γL (?t) 和 g ( y , ?t) = a (?t) y +
b(?t) y2 时 ,方程(1) 为
d
d t{[ m p + 1
3 γL (?t) ] d y
d t } + a (?t) y +
b(?t) y2 = 0 (16)
它们都是方程(2) 的特殊情况 , 其首阶渐近解可分
别由(7) 和(13) 式表示. 本文的首阶渐近解的精确
度已相当令人满意 ,更高阶的渐近解可参阅[9 ].
13第 4 期 蔡建平等 :矿井提升系统的强非线性振动
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
2 算例
例 1 考虑某矿井提升机的提升过程 ,其非线性
弹性力为 A E
L (?t) ( y - 1
2 y3) , 其中 A , E 分别为钢丝
绳的横截面积和弹性模量. 若罐笼重 4590 kg ,一次
提升量 4000 kg ,单位钢丝绳长度质量 6. 63 kg/m ,
钢丝绳总抗拉力 119000 kg ,提升速度 1 m/s ,罐笼
位于下止点时钢丝绳长度 320 m. 当初始条件 y (0)
= 1 , ?y (0) = 0 时 ,用 Kuzmak2Luke 的多尺度法求
得的首阶渐近解和数值解的比较见图 2.
图 2 方程(15) 的首阶渐近解和数值解的比较 :
---- 数值解 ,...... 渐近解
Fig.2 Comparisonofas ymptoticsolutionwithnumericaloneofE q. (15) :
----numericalsolution,......as ymptoticsolution
例 2 考虑某矿井提升机的提升过程 ,其非线
性弹性力为 A E
L (?t) ( y - 1
2 y2) ,其余数据同例 1. 当初
始条件 y (0) = 1 , ?y (0) = 0 时 ,用 Kuzmak2Luke 的
多尺度法求得的首阶渐近 解 和 数 值 解 的 比 较
见图 3.
图 3 方程(16) 的首阶渐近解和数值解的比较 :
---- 数值解 ,...... 渐近解
Fig.3 Comparisonofas ymptoticsolutionwithnumericaloneofE q. (16) :
----numericalsolution,......as ymptoticsolution
3 结论
对于考虑钢绳质量的矿井提升机罐笼与钢绳
组成的慢变参数振动系统 ,Kuzmak2Luke 的多尺度
法能有效地用于求得用 Jacobi 椭圆函数表示的渐
近解. 两个应用算例的渐近解与数值解几乎一致 ,
表明本文的方法是有效的.
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Received12Jul y2005,revised01Se ptember2005.
3 Researchissu pportedb ytheNationalNaturalScienceFoundationofChinaunder grant (10272117 ) andChinaPostdoctoralScienceFoundation
under grant (2004036517 )
STRONGLYNONLINEAROSCILLATIONSINMINEHOISTSYSTEMS X
CaiJian ping1,3 ChenShuhui 1 LiYi ping2
(1. Department of A pplied Mechanics and Engineerin g , Zhongshan Universit y , Guan gzhou 510275 , China )
(2. Department of Mathematics , Zhongshan Universit y , Guan gzhou 510275 , China )
(3. Department of Mathematics , Zhan gzhou Teachers College , Zhan gzhou 363000 , China )
Abstract Whenaminehoistisliftin gaheav ywei ght,thenaturalfre quencyofthes ystemvariesslowl ywith
thechan gesofmassandstiffness.Sotheminehoists ystemisanoscillator ys ystemwithslowl yvar ying pa2
rametersifthemassofsteelro peistakenintoaccount.Themulti plescalesmethodofKuzmak 2Lukewasfirstl y
appliedtoobtainthe periodicit yconditionofsolutionsofstron glynonlinearoscillatorswith generallynonlinear
sprin g,andthenJacobianelli pticfunctionswereusedtoex presstheleadin gordera pproximatesolutionsof
quadraticandcubicnonlinearoscillators.Secondl y,theobtainedresultswerea ppliedres pectivelytominehoist
systemswithslowl yvar yingmassandwith quadraticorcubicnonlinears prin g.Finall y,thetheoreticalresults
wereusedtodealwithcertainminehoists ystems,andcom parisonsofas ymptoticsolutionswithnumericalso 2
lutionsoftwoexam plesshowedtheefficienc yofthe proposedmethod.
Keywords nonlinearoscillation,minehoists ystem,multi plescalesmethod,slowl yvar ying parameter
33第 4 期 蔡建平等 :矿井提升系统的强非线性振动
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
矿井提升系统的强非线性振动.pdf
