用“点差法”巧解圆锥曲线问题
用“点差法”巧解圆锥曲线问题
江苏省高淳中等专业学校 喻国忠
解析几何是高考的重点内容，而圆锥曲线又是解析几何的重点、难点知识。这里面，直线与圆锥曲线的位置关系问题综合性强，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变，常常是打击学生们学习兴趣的罪魁祸首。
直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。解这类中点弦问题的常规做法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助根的判别式及韦达定理中根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算过程复杂，计算量偏大，解题效率低，尤其是对于基础较差、计算能力较弱的学生来说，很容易算错。而使用“点差法”来进行求解中点弦问题，往往可以使解题过程化繁为简，优化解题过程，出奇制胜。
所谓“点差法”，就是在求解 “中点弦”问题时用到的一种“代点作差”的解题方法，其特点是代点作差后可巧代直线斜率和中点坐标，进而通过“设而不求”以达到减少计算量的目的。使用“点差法”时，一般分三个步骤进行：设点、作差、检验。下面试举几例，感受“点差法”在解题过程中的妙用。
例1．求以椭圆内的一点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。
解法一：当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，
则，消去y得：
，，即，，从而直线方程为。
解法二：当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，
则 ，得，
，，
，即，从而直线方程为。
评注：“韦达定理法”主要是通过设线入手，利用方程思想解题，解法一中方程组的消元化简以及后面的整理计算较为繁琐，稍不注意就会算错，解题效率低。而解法二巧用代点做差，结合中点坐标公式，很容易求出所求直线的斜率，从而达到解题的目标，两法比较，高下立现。
例2．已知椭圆，求斜率为的平行弦的中点轨迹方程。
解：设弦的两个端点为，，弦的中点为，则
，得，，，即，所以，中点轨迹方程为（在已知椭圆内）。
评注：求轨迹的问题核心在于得出动点的坐标（x，y）所要满足的关系式，本题运用“点差法”解题，将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，从而得到动点坐标所要满足的约束条件，进而可求出动点的轨迹方程，方法巧妙，计算简便。
例3：若抛物线C: 上存在不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围。
解：当m=0时，直线，显然满足题意。
当时，设抛物线C上关于直线对称的两点分别为，，AB的中点为，则 ，得，，因为直线的斜率为m，故，
，又中点在直线上，于是，。
因为中点P必在抛物线C区域内，，即，解之得。综上，实数m的取值范围为。
评注：圆锥曲线中求参数的范围很多都是难点问题，在恰当的时候应用“点差法”，有利于挖掘参数满足的条件，更方便于求参数的取值范围。
从以上例子可以看出：在解析几何中，“点差法”作为“设而不求”的一种经典方法，有效避免了运算上的一系列麻烦，大大地降低了运算量，同时也使得解题的思路变得更简捷明了。当题目中出现曲线、直线的斜率、相交弦的中点时，这三个条件一般情况下是知二求一，巧妙应用“点差法”，将此类型的题模式化，可以又快又好地解决问题。
“点差法”虽好，但其在求圆锥曲线“中点弦”的问题当中，也有本身的“内伤”，往往容易忽视直线与圆锥曲线相交的前提条件，尤其是解双曲线这一类圆锥曲线的“中点弦”问题，请看下例。
例4：已知双曲线，经过点M(1 ,1)能否作一条直线，使与双曲线交于A,B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：设存在被点M平分的弦AB，且，，则， ，两式相减得，，，故直线AB方程为：，即。
(注：我们通常在这里匆匆结束，造成失误。)
但若将代入整理得方程，，则方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线。
评注：本题中双曲线属未封闭曲线，且点M在曲线外，则被点平分的弦可能不存在。“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交，因此还必须对所求得直线方程的存在性进行验证。如果忽视对判别式的检验，将得出错误的结果，请务必小心。
综上：在解析几何中，特别是在解“中点弦”问题时，“点差法”确实好用，避免了大量的运算，也简化了解题思路，但同时也务必要细心，要注意到其使用的局限性。只要我们平时认真观察，注意积累，注意通性通法，重视具有普遍意义的方法和相关的知识的学习，突出对主干知识、数学思想方法的领会，一定能发现更多的、更好的、有价值的数学资源，提高数学学习的效率。
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