四连杆式门座起重机臂架及平衡重系统优化设计
365
四四四四连连连连杆杆杆杆式式式式门门门门座座座座起起起起重重重重机机机机臂臂臂臂架架架架及及及及平平平平衡衡衡衡重重重重系系系系统统统统
优优优优化化化化设设设设计计计计
摘摘摘摘 要要要要：本文介绍了一种四连杆式门座起重机臂架及平衡重系统的优化设计方法。它将该系统设计归结为 10
维、5 个目标函数、19 个约束条件的数学模型，应用 MATLAB 求该数学模型的最优解。文中进行了实例计算，
其结果较用传统方法得出的结果有显著进步，可直接应用于实际生产。
关键词关键词关键词关键词：门座起重机；臂架；优化设计；MATLAB
四连杆铰接组合臂架（图 1）是目前应用较广泛的门座起重机水平变幅装置之一。在门座
起重机中，从取物装置中心线到起重机旋转中心线之间的距离，称为起重机的幅度。用来改
变幅度的机构，称为起重机的变幅机构。在现代生产中大多要求实现工作性带载变幅。为了
尽可能降低变幅机构的驱动功率和提高机构的操作性能，目前普遍采用下列两项措施：一、
载重水平位移：为使物品在变幅过程中沿着水平线或接近水平线的轨迹运动，采用物品升降
补偿装置。二、臂架自重平衡：为使臂架装置的总中心的高度在变幅过程中不变或变化较小，
采用臂架平衡系统（本文采用杠杆式活动对重）。优化设计方法，就是将多种影响因素（设计
要求）按照一定形式建立目标函数，并在各种约束条件下，直接求出目标函数达到最优时的
解，这个解就是我们所要求的最优化设计方案。另外本文将变幅拉杆也一起进行优化设计。
图 1 起重机四连杆臂架系统简图
第五届中国 CAE 工程分析技术年会论文集
366
下面详细介绍了如何建立优化设计所需的数学模型，基于 MATLAB 的优化设计计算方法
以及实例演示。
1111 优化设计的数学模型优化设计的数学模型优化设计的数学模型优化设计的数学模型
优化设计就是根据设计要求提出的多项指标建立目标函数，在满足结构、工艺、载荷及
其重量限制等约束条件下，选取设计变量，使目标函数取得最优值。因此，设计变量、目标
函数、约束条件是构成一个优化设计问题的三个重要概念。
图 2 所示为四连杆臂架系统，已知最小和最大幅度 minS 、 maxS ，起升高度 H（须注意分
别减去起重机回转中心、轨面到主臂架下铰点的距离），以及起重量 Q 等技术参数。要求设计
这个四连杆变幅装置，使变幅过程中由物品引起的臂架变幅阻力矩和臂架自重引起的相对于
臂架下铰点的前后力矩差尽量地小，变幅轨迹的最大高度差尽量地小，臂架势能变化也尽量
地小，而四连杆装置和平衡配重的重量轻，人字架顶点和变幅装置的位置要求落在规定的范
围内等要求。
图 2 四连杆臂架系统计算简图
图中需要优化的变量符号意义如下：
主臂架下铰点水平距离—变幅驱动机构铰点到—
————————————
—大拉杆长度—架下铰点的垂直距离—大拉杆下铰点到主臂—
架下铰点的水平距离—大拉杆下铰点到主臂—
—主臂架长度——象鼻梁后段长度—
—象鼻梁前段长度—象鼻梁中心线距离—象鼻梁中间铰点偏离—
14
1312111098
76
5
43
21
PQ;DQ;GP;DP;EG;OG
;
;
;
m
mmmmmm
mm
m
mm
mm
主臂架下铰点垂直距离—变幅驱动机构铰点到—15m
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367
1111.1.1.1.1 设计变量设计变量设计变量设计变量：：：：
这个四连杆变幅装置的设计可以归结为 16 个设计变量：
)(,~ 151 为平衡配重重量其中 QQ GGmm ，即
[ ] [ ]TT
Q xxxxxGmmmmx )16()15()3()2()1(15321 ,,,,,,,,,, LLLL ==
其中有些设计变量出于结构上的考虑，有一定的数值限制。如象鼻梁与臂架的铰接点 E
相对于其两端铰接点连线的下垂距离 1m ，一般是预先给定的，或为零，或有一定距离。还有
人字架顶部铰接点 D 和变幅装置位置点 R，也是或为定点，或规定其变动范围。从势能平衡
的观点来看，平衡重杠杆后段 12m 的尺寸越长，则变幅过程中平衡升降的距离就越大，平衡重
的重量就可以取得越小。但 12m 的长度，通常受到起重机尾部半径的限制，因此一般把 12m 取
为常量。至于其它变量在数值上则都没有明确的范围，但从几何关系上应在给定的幅度范围
内保证四连杆的构成。所以设计变量修改为：
[ ] [ ]TT
Q xxxxGmmmmmmmmmx )10()3()2()1(131110987432 ,,,,,,,,,,,,, LL==
（本文取 为定值151412651 ,,,,, mmmmmm ）
1.21.21.21.2 目标函数目标函数目标函数目标函数
为建立综合指标的四连杆臂架系统优化设计目标函数的表达式，先确定象鼻梁头部 C 点
的轨迹等表达式，然后确定变幅阻力矩、重量尺寸指标、杆件自重力矩、势能及平衡重等关
系式。
1.2.11.2.11.2.11.2.1 轨迹表达式轨迹表达式轨迹表达式轨迹表达式
由几何关系得：
min32maxmin24 coscos amSam =- （1）
min32min24 sinsin amHam =- （2）
将（1）式平方加（2）式平方得：
2
2min24min2max4
22
max
2
4 sin2cos2 maHmaSmHSm =--++
令： 342max41
2
2
22
max
2
4 2;2; dHmdSmdmHSm ===-++
则有： min2
2
2min22min231 sin1cossin adadadd -==-
展开并整理得： 0)(sin2sin)( 2
2
2
1min231min2
22
2
2
3 =-+-+ ddaddadd
解此一元二次方程可得最大幅度时主臂架摆角
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368
)))((arcsin( 2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
3
2
131
min26 dd
ddddddddad
+
-+-+==
同理可求得最小幅度时主臂架摆角
)))((arcsin( 2
5
2
3
2
5
2
4
2
5
2
3
2
3
2
434
max27 dd
ddddddddad
+
-+-+==
式中： 5min44
2
2
22
min
2
4 2; dSmdmHSm ==-++
在主臂架摆角形成内（ 726 dad ￡￡ ），把摆角分成 N 等分，得到（N+1）个幅度位置，每个
幅度位置主臂架摆角 ia2 为
1,2,1;)1( 262 +=D-+= Niaida i LL
式中： N
dda 67
2
-=D
以 ia2 为自变量，求出下列各量（以下省略 i，即 22 aa i写成 ）。
)cos();cos(sin
)sin(cos;sin
cos;;;0;0;cossin
sincos;2;2
2;)]sin(arcsin[);sinarcsin(
2arccos;)cos(2
;arctan
2arccos;arccosarccos
4289876324
987632424
246510224
102241039876110
29754
2
1
84
9
8
7
23
2
7
2
2
2
3
65414
2
1
2
42
2
6
2
514
5
6
25
84
2
9
2
8
2
4
4
3
1
2
1
1
aamxaaaammy
aaaamamxmy
amxmymxyxamamy
amamxaaaaaaaa
aaaaan
naam
ma
nm
mnmaaanmnmn
mmnam
maa
mm
mmmam
m
m
ma
GF
FE
EDDOOC
C
+=----+=
-----==
==-===-=
+=-=-----=
-=-+==
-+=+-+=
+=---=
-+=+=
pa
pa
pp
p
p
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369
—主臂架与垂直线夹角—；——；——；——
——；——夹角；—象鼻梁前段与水平线—
—主臂架的摆角—；—象鼻梁前后段的夹角—）（以上距离单位均为
的垂直距离到—点—的垂直距离；点到——
的水平距离——；——的水平距离；到瞬心—点—
的水平距离点到瞬心——的水平距离；—象鼻梁重心到瞬心—
—象鼻梁中心线距离——变幅拉杆长度；—；——
——；——架下铰点的距离；—大拉杆下铰点到主臂—式中：
9876
543
21
1312
11109
87
654
321
83
2
1
2
8
2
3
12
11
10
813
12
11
10
121012
1412119
199
1997
10
199
199
7
919
15272445810
32
247
1
6
3
318132
2
3
2
26
22
5244244
41
15
171611
41716115415
32
2
9
2
3
2
2
176
7
3
161514
1412614125
6
5
13121114
1210
2
13
2
12
2
10
13
6
5
1211106
6
5
1211105
310
2
11
2
3
2
10
12
5
3
8
11518
2
1
2
83428
DGD
DE
m
GPOGPD
DQnEUUG
TFT
ET
DGDE
]2arccos)sin(sin[arcsin
)]sinarcsin(sin[
sin;
)2sin(
)2sin(
cos
)2sin(
sin;arctan
)cos(cos)(;sin2cos
)sinarcsin(;cos2
)()(;sin)(;cos)(
sin
)sin(;
)2arccos();sinarcsin(;;
cos;sin;arctan2
)2arccos();arctancos(
)arctansin();2arccos(
)sinarcsin(;cos2);sin(
aEGaEOaEFa
OGaOGaa
aa
nn
nn
nn
nnn
nnn
mn
nmnam
mmn
am
mamn
amnm
aa
aaa
n
am
aa
anxx
yya
aamanmmnammann
an
maaammmmn
yyxxnanmyanmx
mna
aaanaaaaaa
nn
mnnaam
mamymx
ammyammxm
maaaa
mm
mmmam
maammy
m
maammxnm
mnma
an
maanmnmnaamy
RG
RG
RGRGTT
RR
QQ
p
p
G
DDD
DD
-++=
+=
=
++
---
=
++
=-
-=
--++=--=
--=-+=
-+-=+=+=
-++=-----=
-+===-=
-=--=----=
-+=---+=
---+-=-+=
=-+=+=
p
p
p
p
p
p
p
p
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370
（钝角）—大拉杆与水平线夹角—角；—变幅拉杆与水平线夹—
线的夹角（钝角）—象鼻梁中心线与水平—
——；——；—臂架与大拉杆的夹角—
可锐可钝与垂直线夹角——；——
——；——夹角；—象鼻梁前段与垂直线—
ba
a
EDGaDTaa
QaDQa
DPaGDOaa
19
18
171615
1413
121110
E
)(DP
G
DD
D
DD
1.2.21.2.21.2.21.2.2 变幅阻力矩表达式变幅阻力矩表达式变幅阻力矩表达式变幅阻力矩表达式
臂架的变幅阻力矩可以利用已经算得的吊钩移动轨迹并根据功能原理计算。设臂架从位
置 I 摆动到位置 II 的行程角为 2aD ，吊钩轨迹的高度变化为 CyD ，为了克服物品重量 Q 升高
CyD 所需的功，在臂架上须作用有力矩 变M ，且
C2 ** yQM D=Da变
由此得
2
C
aD
D= yQM 变
当 02 ?Da 时，
2
C
aD
D= yQM 变 即为精确值。因此当臂架摆角行程等分得足够小时，每相
邻两个幅度位置的钓钩高度差值为单位重量物品所引起的在该微量摆角行程上的臂架力矩。
1.2.31.2.31.2.31.2.3 重量尺寸指标重量尺寸指标重量尺寸指标重量尺寸指标
只考虑吊钩轨迹的高度差和臂架的变幅阻力矩还是片面的，因为从理论上讲，只要把四
连杆尺寸尽量设计得长，从很长的轨迹曲线中相对地截选一小段作为工作轨迹就行。所以以
往对已经满足上述两项指标的一系列四连杆尺寸组合，还得用简图形式从外观上对尺寸和比
例加以评定，为此应将重量尺寸也列为优化指标进行定量考虑。于是重量尺寸指标表示为：
为各杆件单位长度重量，，，，式中：
值时当重
54321
5maxmax551312111047342321 )S()()(
hhhhh
hhhhh nnmmmmmmmmW ++++++++=
例如，大连重工·起重集团有限公司 45T 门座起重机的象鼻梁长 18.07m，重 13908kg，
单位长度重量约 769.6735kg/m；臂架长 25.8m，重 27203kg，单位重量约 1054.3798kg/m；大
拉杆长 21m，重 5440kg，单位重量约 259.0476kg/m；平衡系统各杆件总长 23.6326m，总重
13281kg，单位重量约 561.9779kg/m；变幅拉杆长 7.39m，重 2690kg，单位重量约 364.0054kg/m，
即此臂架系统总重
kg
W
6252239.7*0054.3646326.23*9779.561
21*0476.2598.25*3798.105407.18*6735.769
=++
++=重
1.2.41.2.41.2.41.2.4 杆件自重力矩杆件自重力矩杆件自重力矩杆件自重力矩
根据“瞬心回转功率法”，计算各杆件自重载荷对主臂架下铰点 O 的力矩如下。
1.2.4.11.2.4.11.2.4.11.2.4.1 象鼻梁自重力矩象鼻梁自重力矩象鼻梁自重力矩象鼻梁自重力矩 2omM
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371
设象鼻梁重心在象鼻梁前段 CE 上，距 E 点 2
32 mm - 处，则
）—象鼻梁自重（—式中： kg)(G
**
321m2
4
4
722
mm
n
mnGM mom
+=
=
h
1.2.4.21.2.4.21.2.4.21.2.4.2 大拉杆自重力矩大拉杆自重力矩大拉杆自重力矩大拉杆自重力矩 7omM
设大拉杆自重之半 7mG 作用在 F 点，则
）—大拉杆自重之半（—式中： kg2G
**
73
7
4
4
877
m
n
mnGM
m
mom
h=
=
1.2.4.31.2.4.31.2.4.31.2.4.3 主臂架自重力矩主臂架自重力矩主臂架自重力矩主臂架自重力矩 4omM
）—主臂架自重（—式中： kg
cos*2/*
424
2444
mG
amGM
m
mom
h=
=
1.2.4.41.2.4.41.2.4.41.2.4.4 变幅拉杆自重力矩变幅拉杆自重力矩变幅拉杆自重力矩变幅拉杆自重力矩 5onM
设变幅拉杆自重之半 5nG 作用在 G 点，则
)(2
**
max55
5
10
4
955
kgnG
n
mnGM
n
non
—变幅拉杆自重之半—式中： h=
=
1.2.4.51.2.4.51.2.4.51.2.4.5 平衡重力矩平衡重力矩平衡重力矩平衡重力矩 oQM
设平衡重系统（包括对重、杠杆及小拉杆）的合成中心在 Q 点，则
[ ]
)(
)( 13121110413
12
11
kgG
mmmmGnn
nM
Q
QoQ
—平衡重重量—式中：
++++= h
这样，臂架系统自重力矩是 5472 onomomomozi MMMMM +++=
而四连杆变幅装置平衡重的不平衡力矩为
oQozio MMM -=D
1.2.51.2.51.2.51.2.5 势能关系式势能关系式势能关系式势能关系式
平衡重系统的主要功能就是使臂架系统各杆件中心升（降）所吸（放）的能量，等于平
衡重作相应降（升）所放（吸）的能量。因此，必须计算出各杆件及平衡重在各个幅度位置
的势能。
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以主臂架下铰点 O 所在水平面为零势面，可得任意幅度位置时各部分的势能为：
]cos2
)(sin[*
]2
)sin([2
sin*2*E
10
32
2422
1527
677
2
4
4m4
aa
aa
a
mmmGE
mmGE
mG
mm
mm
m
--=
-+=
=
象鼻梁
大拉杆
主臂架
[ ]
5274
19
5
1555
14126131211104
)sin2(*2E
)cos(*)(
nQmmm
nn
QQ
EEEEEE
anmG
ammmmmmGE
++++=
+=
-++++=
平衡系统的总势能为：幅拉杆在内的整个臂架这样，包括平衡重及变
变幅拉杆
平衡重 h
1.2.61.2.61.2.61.2.6 平衡重重量平衡重重量平衡重重量平衡重重量
QG
1.31.31.31.3 约束条件约束条件约束条件约束条件的表达式的表达式的表达式的表达式
在变幅装置的设计中，约束限制是多方面的，除结构布置及使用要求等方面以外，还须
按经验数据划定某些变量的变化范围，以保证其适用性。这样不仅可以避免计算过程中的超
界溢出现象，又可加快进行优化搜索，因此约束条件的建立在优化设计中是不容忽视的。
象鼻梁后臂 3m 与前臂的比值有经验数据，采用稍大的变化范围
232 55.028.0 mmm ￡￡ ，得：
055.0)(;028.0)( 232321 ￡-=￡-= mmxgmmxg
臂架和象鼻梁同水平线之间的夹角 2a 和 3a 的变动范围也有实践经验数据，这里也同样择
宽采用，即 °￡￡°°￡￡° 908,8030 32 aa 。得：
090)(;08)(;080)(;030)( 36352423 ￡°-=￡-°=￡°-=￡-°= axgaxgaxgaxg
对轨迹垂直高度和臂架阻力矩进行优化时，两者的搜索趋向相同，但它们的搜索方向与
对重量尺寸等作优化目标时是互相制约的，因此为了较均衡地考虑两者的影响，可将臂架阻
力矩列为优化目标，而将轨迹垂直高度作为约束考虑。如此可使问题简化，目标明确，同时
也能兼顾使用要求。
对每组尺寸都可计算其变幅轨迹的最高点 maxCy 和最低点 minCy ，并得轨迹高度差
minmax CC yyZ -= 。如规定
第五届中国 CAE 工程分析技术年会论文集
373
60
minmax SSZ -￡
则得： 060)( minmax
7 ￡--= SSZxg
另外，还得限制轨迹的高度位置，即不可过分偏离原定高度 H，因此须加约束：
070)( minmax
max8 ￡---= SSHyxg C
此外还得保证 EOEFDODF ,,, 及 GPGODPDO ,,, 构成四杆机构。也就是在最大幅度
时，三角形的两边之和应大于第三边；最小幅度时，三角形的两边之差应小于第三边。即
0)(;0)(
0)(;0)(
min1110121110max11
min731073max9
￡--=￡--=
￡--=￡--=
DGmmxgmmDGxg
DEmmxgmmDExg
铰点 G 的位置要合理。根据经验， DOGO的长度与 相近则比较可靠。即：
0)(;0)( 8min814max8813 ￡-=￡-= mmxgmmxg
再次，必须规定角度 13a 的变动范围。 21313
pp pf aa 则无意义，而 也引起杠杆结构布置
困难。所以
0)(;02)( 13161315 ￡-=￡-= pp axgaxg
还有，应要求臂架处于最小幅度时，平衡重不与机房碰撞。即： 0)( 14min1417 ￡-= aaxg
此外，在最大，最小幅度时，希望整个系统的不平衡力矩有趋于恢复臂架正常位置的作
用。若设载荷对主臂下铰点 O 引起的力矩有使臂架系统向大幅度方向运动的趋势为正，有向
小幅度方向运动的趋势为负，则在最大幅度时，不平衡系数应为负，在最小幅度时，不平衡
系数应为正。写成目标函数的形式,即：
重不平衡力矩，最小幅度时的杆件自分别为载荷在最大幅度，
；式中：；
minmax
min19max18 0)(0)(
oo
oo
mm
mxgmxg
DD
￡D-=￡D=
这样共得 19 个不等式约束条件，即
19,3,2,1,0)( LL=￡ ixg i 。
2222 基于基于基于基于 MATLABMATLABMATLABMATLAB 的优化设计计算方法的优化设计计算方法的优化设计计算方法的优化设计计算方法
MATLAB 优化工具箱可以求解此类问题。本文中共介绍了 5 个目标函数，所以采用多目
标规划 fgoalattain 函数进行优化。
（1） 将目标函数（上文介绍的）编制成函数 M 文件，如命名为 youhuamubiao.m。
（2） 将非线性不等式约束条件（上文介绍的）也编制成 M 文件，如命名为 youhuayueshu.m。
第五届中国 CAE 工程分析技术年会论文集
374
（3） 用下列程序语句调用 fgoalattain 函数进行优化计算
lb=[……]；%定义设计变量的下边界
ub=[……]；%定义设计变量的上边界
x0=[……]；%设置初始点
goal=[……]；%设置目标值
weight=[……]；%设置权重
options=optimset(‘display’,‘iter’,‘maxfunevals’,10000,
‘funvalcheck’,‘on’);%设置优化方案
用fgoalattain函数计算
[X，FVAL，ATTAINFACTOR，EXITFLAG，OUTPUT，LAMBDA]=fgoalattain(‘youhuamubiao’，
x0，goal，weight，[]，[]，[]，[]，lb，ub，‘youhuayueshu’，options)
3333 实例演示实例演示实例演示实例演示
本文以大连重工·起重集团有限公司的 45T 门座起重机为例，已知 45T 门座起重机的技
术参数： mHmSmS 154.12,5.32,5.8 maxmin === 。其它原始参数如下：尾部回转半径
6.0003m，象鼻梁中间铰点偏离象鼻梁中心线距离 0.78m，大拉杆下铰点 D 至主臂架下铰点 O
的垂直距离 10.8m，水平距离 3.4m，变幅机构铰点 R 至主臂架下铰点 O 的垂直距离 6.66m，水
平距离 3.1m。其它需要优化的尺寸见下表。将主臂架摆角变化范围划分成 32 等分，即：
32
67
2
dda -=D
优化计算结果见下表。其中第二行提供参数为需要优化的尺寸，第五行提供参数为根据
原始参数计算的目标函数原始值，第六行优化结果为使用 MATLAB 优化后的目标函数值。
设计变量值 设计方
法 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
提供参
数
13.6 4.47 25.8 21 7.596 18.894 2.98 6.15 8.502 40000
优化结
果
15.089 4.49 27.565 22.889 9.189 19.195 3.4 4.586 8.138 40000
目标函数值 设计方
法 变幅力矩 重量尺寸 自重力矩 势能 平衡重量
提供参
数
260741 62296 287010 5848 40000
优化结
果
116760（55%） 65091 299888 4240 40000
从表中所列数据可见，优化设计的结果较原始值有较大进步。其中变幅力矩为其中最重
要的参数，较原始值减小了 55%，势能也略有减小，达到了优化变幅机构的驱动功率和提高
机构的操作性能的目的。同时，由于在建立数学模型时考虑到各方面几何尺寸的限制，其优
化结果可直接用于设计制造。
参考文献参考文献参考文献参考文献：：：：
第五届中国 CAE 工程分析技术年会论文集
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[1]陆国贤 丁怡 四联杆变幅装置优化设计 1979
[2]陈强努 宋厚却 四连杆蝙蝠机构平衡重系统的优化设计 上海海运学院学报 1989
[3]黄鹤辉 陈晨 基于 MATLAB 的四连杆蝙蝠机构结构参数分析 《广西机械》 2003
[4]陈立周 张英会 吴清一 吴继康 《机械优化设计》 上海科学技术出版社 1982
[5]褚洪生 杜增吉 阎金华 MATLAB7.2 优化设计实例知道教程 机械工业出版社 2007
[6]陆国贤 倪庆兴 张荣康 马登哲 《门座起重机设计》 人民交通出版社 1985
作者简介作者简介作者简介作者简介：：：：
高顺德，男，1962 年 12 月生，研究生学历，从事起重运输机械专业，大连理工大学机械工程学院副院长， 2007
年 2 月评为教授级高级工程师。曾获得 4 项专利，发表 25 篇论文，担任 10 个学会理事长等职务。联系方式：
0411-84706753
王景波，男，1982.11.21 山东省栖霞县，毕业于连理工大学，硕士研究生，专业是机械设计及理论。手机：
13942861362 电子邮件 84089042@qq.com
四连杆式门座起重机臂架及平衡重系统优化设计.pdf
