浅谈完全平方公式的变形与应用
浅谈完全平方公式的变形与应用
鲁甸县职业技术高级中学 涂云深
鲁甸县文屏镇中学 陈正会
完全平方公式（a±b）2=a2±2ab＋b2是中学阶段一个极重要的知识点，其用途涉及到代数式的值，因式分解，一元二次方程根与系数之间的关系等内容，内涵丰富，覆盖面广，较难全面地熟练的掌握，特别是对它的变形及应用，许多同学感到非常困难，这里结合实例探索一下它的不同情况下的应用：
一、在求代数式的值中的应用：
例一、已知代数式a＋b=3，ab=2，求代数式a2+b2的值。
分析：①比较a＋b和a2?＋b2 ，a2?＋b2 中出现了平方，将a＋b=3 两边平方可出现平方，故找到解决问题的突破口，把a＋b=3平方后得a2+2ab+b2=9 近而得到a2＋b2=9－2ab 利用ab=2即可求出 a2＋b2 的值，过程如下：
解： ∵a＋b=3 ∴a2＋b2=9－4=5
∴a2＋2ab＋b2=9
a2＋b2=9－2ab
又∵ab=2
通过上例可知，要根据a＋b及ab，求a2＋b2有下列过程：
a＋b=m(a＋b)2=m2(即a2＋b2＋2ab=m2)
a2＋b2=m2－2ab
ab=n（已知）
比较条件和结论，可得到下例变形模式
若a＋b=m ab=n(m,n已知) 则 a2＋b2=m2－2n
(两数的平方和等于两数和的平方与积的2倍的差)，掌握这种变形可帮助我们提高计算进度。
二、在一元二次方程根与系数的关系中的应用：
例2、已知x1, x2是方程2x2＋3x－5=0的两根，求x1－x2的值。
解：∵x1,x2是方程2x2＋3x－5=0的根
∴x1＋x2=,x1x2=
又∵(x1－x2)2=x12－2x1x2＋x22
=x12＋2x1x2＋x22－4x1x2
=(x1＋x2)2－4x1x2
∴(x1－x2)2=()2－4×()=＋10=
∴x1－x2=±
上述例题中，相当于已知x1＋x2=m（m,n已知常数）求x1－x2的值，其过程为：(x1＋x2)=mx12＋2x1x2＋x22=m2x12＋x22=m2－2x1x2x12－2x1x2＋x22=m2－4x1x2→两边同时减去2x1x2
(x1－x2)2=m2－4x1x2
x1x2 =n
x1－x2=
用 a,b,m,n 分别表示比例中的各量，比较条件和结论可表示为
已知a＋b=m（m为已知常数） ab=n(n为已知常数)
则a－b=
此过程说明了a＋b和a－b的转化是通过完全平方公式进行转化的，熟悉这一过程后，再遇到类似问题，就不难了。
三、在公式运用中注意隐藏条件 ab=1
例、已知x1,x2是方程x2－3x＋ρ=0的两根 ，且x1,x2,[x2>x1 ]互为倒数，求ρ的值及为根的方程。
解：由题意可知：
x1＋x2=3 x1x2=ρ=1
==x2－x1
又∵(x2－x1)2=(x2－x1)2－4x1x2=9－4=5
∴x2－x1=
又∵x2>x1
∴x2－x1=
∴=x2－x1=
故以为根的方程为：
x2－x－1=0
此例题中间x1,x2互为到数来代替3x1x2=1这个条件，使题目的难度相对增加，在解题中，凡遇到到数问题，我们通常要把它用数学式表达出来，才能找到其与题目的关系。
综上所述，我们解决上述问题中的关键问题可归纳为：已知a＋b=m,ab=n(m,n是已知常数)求a2＋b2的问题，我们只需记住下列规律即可：
若a＋b=m ab=n (m, n已知) 则
a2＋b2=m2－2n (a－b)2=m2－4n
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