关于投资收益和风险问题的一些计算
关于投资的风险和收益问题的一些计算
摘要
投资总是期望以承担较低的风险获取较大的收益，而投资收益与投资风险总是并存的，如何将风险控制在可承受的范围内获取较大收益和在一定预期收益下要承担多少风险成为我们最为关注的问题。本论文主要讨论的就是投资中风险和收益的相关问题。
第一问，我们采用了组合分类讨论以及线形规划的方法建立目标模型。对股票、国债、地产和黄金四种投资项目进行组合分类讨论，形成十五种资金组合方式。欲使投资的收益率至少达到6.5%，采用概率统计的方法进行计算，可得知相对其他几种投资方式而言，选取股票、地产和黄金三种投资项目进行投资时承担的风险最小。在此种资金组合方式下，收益率至少为6.5%的概率为90%，可将总投资数额的40.476%用于投资股票，40.476%用于投资地产，剩下19.048%用于投资黄金。同时，收益率还有10%的可能达不到 6.5%，此时的收益率为5.93%。另外，通过运用matlab软件进行的相关计算，如果保证投资百分百赢利，可将资产的90.91%投资于股票，9.09%投资于地产，此种资金组合方式下的收益率可达到8.04%；如果投资亏损的概率为10%，可将资金全部投资于股票，此时，收益率为8.2%；如果投资亏损的概率为20%，可将资金全部投资于地产，此时，收益率为6.4%；如果投资亏损的概率为70%，可将资金全部投资于黄金，此时，收益率为2.8%。
第二问，我们采用对预期收益与风险的权衡进行数量化分析的方法建立目标模型。在对模型进行合理假设的前提之下，运用Excel、spss软件、Matlab软件，进行相关运算。得到这样的投资方法：投资组合预期收益率在[0，0.01]之间变化，当投资组合预期收益率为0时，投资西安饮食19.21万，ST九化7.52万，白鸽股份12.16万，南宁百货34.16万，百大集团10.15，国旅联合15.88万，用友0.92万；当投资组合预期收益率达到0.01时，投资酒鬼酒70.78万，百大集团29.22万。
关键词 风险 组合分类讨论 线形规划 二次规划 资金组合方式 投资组合预期收益率 投资组合收益率的方差
第一部分 问题的提出
投资风险与投资收益往往是并存的，我们较为关注的是如何在承担较低风险的前提下获取较大的收益和在一定预期收益下承担最小风险。投资者通常会在分析当年可能的经济形势之后，对所要投资的项目进行资金组合后再分类讨论，从而得到一种最优的资金组合方式。
今年可能的经济形式有A、B、C三种，三种经济形式可能出现的概率为0.7，0.1，0.2。在这三种不同的经济形势下，投资股票、国债、地产和黄金的收益率也有所不同，为保证今年投资的收益率至少为6.5%，我们应该怎样对投资资金进行资金组合，确定最优资金组合方式才能使今年的投资风险最小？如果考虑将风险控制在一个可以接受的范围之内，怎样进行投资才能使投资者获取最大的收益率？
另外，如果你拥有了一笔100万的投资资金，如何根据深市A股和沪市A股于3月9日所列出的前一个月涨幅前10 的二十支股票的成交数据，来确定你的投资方案？投资比例、投资收益、投资风险又将如何？
本文将对上述这些问题进行逐一的解答。
第二部分 模型的建立
一、问题的合理假设
1、在三种可能出现的经济形势下，只考虑收益率是否已经超过6.5%，至于超出了多少不做考虑，即只考虑当收益率超过6.5％时的概率。
2、当其中两种或其中几种资金组合方式的收益率超过6.5%的概率相同时，进行风险比较的依据是：（收益率小于6.5%时）实际收益率所能达到的值的大小，收益率较高的资金组合方式所承担风险较小。
3、将投资资金的总金额设为1，并且资金全部用于投资。
4、各种资金组合方式之间，收益率都是不相关的。
5、投资组合预期收益率E(r)在[0,0.01]之间变化。
6、没有开盘的日子忽略不计，不纳入计算范围。
二、符号说明
a—股票的投资金额，且a恒大于0；
b—国债的投资金额，且b恒大于0；
c—地产的投资金额, 且c恒大于0；
d—黄金的投资金额, 且d恒大于0；
S—投资资金的总金额；
x—收益率；
y—当收益率小于6.5%时的实际收益率；
m—收益率至少为6.5%的概率；
E(r)—投资组合预期收益率；
E( )—预期收益率；
—收益率；
—第i支股票在投资组合中所占的比重；
--第i支股票收益率与第j支股票的协方差（当i=j时， 表示方差）；
--为第u天的收盘价格；
i,j--股票支数（i=1，2，…，20;j=1,2,…,20）；
u—各支股票的开盘天数；
三、模型的建立
（一）、给定今年可能出现的三种经济形式及其发生的概率，根据题目要求，可提出四种资金组合方式：
1、第一类资金组合方式是在股票、国债、地产和黄金四种投资项目中只选取其中一种进行投资；
2、第二类资金组合方式是任选其中两种投资项目进行投资。有以下六种选择方式：股票和国债、股票和地产、股票和黄金、国债和地产、国债和黄金、地产和黄金；
3、第三类资金组合方式是任选其中三种投资项目进行投资。有以下四种资金组合方式：股票、国债和地产，股票、国债和黄金，股票、地产和黄金，国债、地产和黄金；
4、第四类资金组合方式是四种投资项目都选取进行投资。
（二）、深市A股和沪市A股于3月9日给出了前一个月涨幅前10的股票的成交数据。考虑在一定投资收益下，使投资风险达到最小。根据题目所列数据，如果有一笔100万的资金，准备在这20支股票中进行投资，可建立如下模型：
Min
s.t. E( )=E(r)
=1
模型建立的依据是对预期收益和风险权衡的数量化分析。风险的量度用收益率的方差来衡量，收益率的方差与风险的大小成正比关系。
定义
收益率
预期收益率 Ｅ()=
四、模型的求解
（一）、给定今年可能出现的三种经济形式及其发生的概率，四种资金组合方式的求解过程如下：
1、第一类资金组合方式
（1）选取股票进行投资
在A经济形势下（A发生的概率为0.7），
有 S=a=1
可知 x=9a%=9%>6.5%
在B经济形势下（B发生的概率为0.1），
有 S=a=1
可知 x=-a%=-1%<6.5%
在C经济形式下（C发生的概率为0.2），
有 S=a=1
可知 x=10a%=10%>6.5%
因此，选取股票一种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=-1%
（2）选取国债进行投资
在A经济形势下（A发生的概率为0.7），
有 S=b=1
可知 x=7b%=7%>6.5%
在B经济形势下（B发生的概率为0.1），
有 S=b=1
可知 x=5b%=5%<6.5%
在C经济形式下（C发生的概率为0.2），
有 S=b=1
可知 x=4b%=4%<6.5%
因此，选取股票一种投资项目进行投资时，
m=0.7 有0.1的可能是y=5%,有0.2的可能是y=4%
（3）选取地产进行投资
在A经济形势下（A发生的概率为0.7），
有 S=c=1
可知 x=8c%=8%>6.5%
在B经济形势下（B发生的概率为0.1），
有 S=c=1
可知 x=10c%=10%>6.5%
在C经济形式下（C发生的概率为0.2），
有 S=c=1
可知 x=-c%=-1%<6.5%
因此，选取股票一种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.1=0.8 y=-1%
（4）选取黄金进行投资
在A经济形势下（A发生的概率为0.7），
有 S=d=1
可知 x=-2d%=-2%<6.5%
在B经济形势下（B发生的概率为0.1），
有 S=d=1
可知 x=12d%=12%>6.5%
在C经济形式下（C发生的概率为0.2），
有 S=d=1
可知 x=15d%=15%>6.5%
因此，选取股票一种投资项目进行投资时，
m=0.1+0.2=0.3 y=-2%
2、第二类资金组合方式
（1）选取股票和国债进行投资
在A经济形势下（A发生的概率为0.7），
有
可知在这种经济形势下，无论a和b怎样分配，都有x>6.5%恒成立
在C经济形式下（C发生的概率为0.2），
有
可知在这种经济形势下，当 时，x>6.5%
说明：因为这三种经济形势中，A发生的概率最大，C其次，B发生的概率最小，所以在以上条件满足的情况下考虑B经济形势。
在B经济形势下，当 时，可知x=-a%+5b%=2.5%
因此，选取股票和国债两种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=2.5%
（2）选取股票和地产进行投资
在A经济形势下，
有
可知在这种经济形势下，无论a和c怎样分配，都有x>6.5%恒成立
在C经济形式下，
有
可知在这种经济形势下，当 时，x>6.5%
说明：因为这三种经济形势中，A发生的概率最大，C其次，B发生的概率最小，所以在以上条件满足的情况下考虑B经济形势。
在B经济形势下，当 时，可知x=-a%+10c%=2.5%
因此，选取股票和国债两种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=2.5%
（3）选取股票和黄金进行投资
在C经济形势下，
有
可知在这种经济形势下，无论a和d怎样分配，都有x>6.5%恒成立
在A经济形式下，
有
可知在这种经济形势下，当 时，x>6.5%
说明：因为这三种经济形势中，c形势下x>6.5%恒成立，A经济形式发生的概率大于B发生的概率，所以在以上条件满足的情况下考虑B经济形势。
在B经济形势下，当 时，可知x=-a%+12d%=1.95%
因此，选取股票和国债两种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=1.95%
（4）选取国债和地产进行投资
在A经济形势下，
有
可知在这种经济形势下，无论b和c怎样分配，都有x>6.5%恒成立
在B经济形势下，
有
可知在这种经济形势下，当 时，x>6.5%
说明：因为这三种经济形势中，A形势下x>6.5%恒成立，所以在以上条件满足的情况下考虑C经济形势。
在C经济形势下，当 时，可知x=4b%-c%=2.5%
因此，选取股票和国债两种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.1=0.9 y=2.5%
（5）选取国债和黄金进行投资
在A经济形势下，
有
可知 ,有x>6.5%
在B经济形式下, 时，x=5b%+12d%=5.39%<6.5%
在C经济形式下, 时，x=4b%+15d%=4.61%<6.5%
因此，选取股票和国债两种投资项目进行投资时，
m=0.7 有0.1的概率是y=5.39%，有0.2的概率是y=4.61%
（6）选取地产和黄金进行投资
在B经济形势下，
有
可知在这种经济形势下，无论c和d怎样分配，都有x>6.5%恒成立
在A经济形式下，
有
可知在这种经济形势下，当 时，x>6.5%
说明：因为这三种经济形势中，B经济形势下收益率大于6.5%恒成立，A与C相比，A形势发生的概率较小，所以在以上条件满足的情况下考虑C经济形势。
在C经济形势下，当 时，可知x=-c%+15d%=1.4%
因此，选取地产和黄金两种投资项目进行投资时，
m=0.7+0.1=0.8 y=1.4%
3、第三类资金组合方式
（1）选取股票、国债和地产三种投资项目进行投资
在B和C两种经济形势下，
有
此情况下方程无解。
利用线形规划知识，有
可知A和C经济形势的收益率达到6.5%时，当发生B经济形势所获得的最大收益率仅为2.5%
因此，选取股票、国债和黄金三种投资项目投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=2.5%
（2）选取股票、国债和黄金三种投资项目进行投资
在A和C两种经济形势下，
有
可知 时,x>6.5%
将此时a,b,d的值代入B经济形势，在B经济形势下，
有x=-a%+5b%+10d%=4.397%<6.5%
因此，选取股票、国债和黄金三种投资项目投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=4.397%
（3）选取股票、地产和黄金三种投资项目进行投资
在A和C两种经济形势下，
有
可知 时,x>6.5%
将此时a,c,d的值代入B经济形势，B经济形势下，
有x=-a%+10c%+12c%=5.93%<6.5%
因此，选取股票、国债和黄金三种投资项目投资时，
m=0.7+0.2=0.9 y=5.93%
（4）选取国债、地产和黄金三种投资项目进行投资
在A和B两种经济形势下，
有
可知 时,x>6.5%
将此时b,c,d的值代入C经济形势，C经济形势下，
有x=4b%-c%+15d%=3.88%<6.5%
因此，选取国债、地产和黄金三种投资项目投资时，
m=0.7+0.1=0.8 y=3.88%
4、第四类资金组合方式
选取同时投资股票、国债、地产和黄金时，
有
此方程组无解，同样利用线形规划知识，
有
根据此线形规划不等式组求解函数f=-a%+5b%+10c%+12d%的最大值
经Matlab程序运算，可得到的资金组合方式与选择股票、地产和黄金进行投资情况的结论一样。即 时, m=0.9 y=5.93%
（二）、同样采用组合分类讨论和线形规划的方法进行求解。
1、第一类资金组合方式
（1）、选取股票一种投资项目进行投资
n=10%
E=0.7*9%+0.1*(-1%)+0.2*10%=8.2%
（2）、选取国债一种投资项目进行投资
n=0%
E=0.7*7%+0.1*5%+0.2*4%=6.2%
（3）、选取地产一种投资项目进行投资
n=20%
E=0.7*8%+0.1*10%+0.2*（-1%）=6.4%
（4）、选取黄金一种投资项目进行投资
n=70%
E=0.7*(-2%)+0.1*12%+0.2*15%=2.8%
2、第二类资金组合方式
（1）、选取股票和国债两种投资项目进行投资
当n=0%时，求E（max）=0.7*（9a%+7b%）+0.1*(-a%+5b%)+0.2*（10a%+4b%）=8.2a%+6.2b%
此时，约束条件为，经Matlab程序运算可知，此时E=7.87%
当n=10%，求E（max）=0.7*（9a%+7b%）+0.1*(-a%+5b%)+0.2*（10a%+4b%）=8.2a%+6.2b%
此时，约束条件为，经Matlab程序运算可知，此时E=8.2%
......
按照此组合分类方法进行各情况下的线形规划运算，最终可知，如果保证投资百分百赢利，可将资产的90.91%投资于股票，9.09%投资于地产，此种资金组合方式下的收益率可达到8.04%；如果投资亏损的概率为10%，可将资金全部投资于股票，此时，收益率为8.2%；如果投资亏损的概率为20%，可将资金全部投资于地产，此时，收益率为6.4%；如果投资亏损的概率为70%，可将资金全部投资于黄金，此时，收益率为2.8%。
（三）、首先运用Excel得到各支股票每天的投资收益率(见附录1)；
然后，将得到的投资收益率数据运用spss软件和Matlab软件处理，分别得到各支股票的预期收益率（见下表）：
和二十支股票在开盘日的股票收益率之间的协方差（见附录2）
最后，运用Matlab程序，进行二次规划运算（Matlab编程见附录3），可得出结论。当投资组合预期收益率在[0，0.01]之间变化，得出下图所示的投资组合预期收益率－投资组合收益率方差图。由图知，当投资组合预期收益率越大时，投资组合收益率方差越大，所承担的风险也就越大。
第三部分 优化方案的确定
一、通过问题的分析提出，模型的合理假设，模型的建立求解，我们剩下的工作是要确定应该怎样投资如果希望今年的投资收益率至少是6.5%，应选择投资股票、地产和黄金三种投资项目，并且这三种投资项目按照股票占总投资金额的40.5%，地产投资占40.5%，黄金投资占19%的比例进行资金组合。这样的投资组合方式可使投资收益率达到6.5%的概率为90%，收益率未达到6.5%时的实际收益率为5.93%。
二、同样，通过问题的分析提出，以及合理假设计算，可得出结论：如果保证投资百分百赢利，可将资产的90.91%投资于股票，9.09%投资于地产，此种资金组合方式下的收益率可达到8.04%；如果投资亏损的概率为10%，可将资金全部投资于股票，此时，收益率为8.2%；如果投资亏损的概率为20%，可将资金全部投资于地产，此时，收益率为6.4%；如果投资亏损的概率为70%，可将资金全部投资于黄金，此时，收益率为2.8%。
三、投资的收益和投资的风险往往是互相排斥的，投资组合预期收益率越大,所承担的风险也就越大，通过分散投资可以调整收益和风险的关系，减少一部分的风险，于是分散投资成为了一种最为理性的选择。在对模型进行合理假设的前提之下，运用Excel、spss软件和Matlab程序，在考虑在一定的收益下，使风险控制在最小范围，得到这样的投资方法：投资组合预期收益率在[0，0.01]之间变化，当投资组合预期收益率为0时，投资西安饮食19.21万，ST九化7.52万，白鸽股份12.16万，南宁百货34.16万，百大集团10.15，国旅联合15.88万，用友0.92万；当投资组合预期收益率达到0.01时，投资酒鬼酒70.78万，百大集团29.22万。
第四部分 模型的评价
一、合理运用多种数学软件
运用了Excel、spss软件、Matlab软件对大量数据进行了处理，同时作了合理的分析假设，简化了数据处理，大大简化了计算的过程。
二、模型的不足
对于风险的定义不够清晰、精练；数据处理过程做了大量简化；对于所能承受的风险值的界定不够明确，具体。
三、模型的推广
对于投资者的投资理财问题的延伸推广起到了一定的导向作用，对于投资问题提出了新的思考，新的思路和新的判断方法。
[参考文献]：
[1]宋逢明，金融工程原理—无套利均衡分析，[M]，北京：清华大学出版社。
[2]阳明盛，罗长童，最优化原理、方法及求解软件，[M]，科学出版社。
[3]林雪松等，MATLAB7.0应用集锦，[M]，机械工业出版社。
[4]薛薇，SPSS统计分析方法及应用，[M],电子工业出版社。
关于投资收益和风险问题的一些计算.doc
