航运策略优化设计
航运策略优化设计
作者：汤志高 王继利 曹莹颖
【摘要】本文综合考虑航空公司和乘客双方利益，通过建立多目标 0-1 非线性
整数规划模型求解最优飞机安排与购买方案。
第一问，从供方角度对客机综合性能评价。首先利用飞机固有性能参数组
成指标 1(单位时间载客公里数)；然后 引入单位油价 p 结合耗油量与操作费用构
造指标 2(单位时间飞行费用)；再通过指标 1/2 综合评价各飞机性能(性价比)；
最后总结出燃料消耗对飞机综合性能影响显著，所以随着国际市场航空油价的
涨跌，应该使用不同耗油量的飞机完成运输任务，降低成本。
通过对所有航线的乘客量与公司运输能力统计，结合方便快捷的原则，确
定运输方案不存在单架飞机重飞和中途停机加油。在上述前提下加入利润因子，
以总收益（收入－成本费用－浪费里程费用）最大为目标，飞机飞行距离上限
为约束，建立 0-1 非线性整数规划模型，Lingo 软件求解，飞行方案（见 6.3）。
第三问，采用分类比较的方法对波音、麦道两个公司各类产品综合比较，
得出波音公司各类产品均较优的结论。
航空公司运输能力必须通过运输才能够体现，但题中没有给出具体需求，
本文对第二问模型扩充，建立能够加入新航线和新购买飞机数的 0-1 非线性整
数规划模型，对整体航线运输方案最优化配置和确定最佳购买机型。
最后，本文虚拟给出 4 种有代表性的航线扩充后的运输与购买方案，具体
求解结果（见 7.2.3），体现了模型的实用性、通用性与可扩展性。
关键字：0-1 非线性整数规划
1 问题重述
随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。各航空公司拥有各种不同的民航
客机，相互之间存在着激烈的竞争。表 1 给出了目前在我国民航业运营的各种客机的性
能参数，假设你现在是某航空公司的策划者，请回答以下问题：
（1） 试根据表 1 的数据综合评价各客机的性能。
（2） 如果你的公司目前承担表 2 中的运输计划，请制定满足旅客需求（方便快捷）
同时又节约成本的最佳飞行方案。（即在每条航线上布置何种客机、布置多少）
（3） 试整体比较波音公司（B 型号）和麦道公司(MD 和 MC 型号)生产的客机的性能。如果你
的公司需要新买进两袈客机以扩充运输能力并提高旅客的满意程度，你会选择何种客机，为什么？
3 模型假设
[1] 假设航空公司资金充足；
[2] 假设飞机不存在缺货；
[3] 假设飞机安全系数为 100%；
[4]
[5] 不考虑不同型号飞机对旅客满意度的影响；
4 符号说明（略）
5 问题一模型的建立与求解
本问要求根据给出的各种客机的性能参数，对各客机的性能进行综合评价。
5.1 模型分析
题中表 1 列出了各种客机的拥有座位数、航速、飞行距离、燃料消耗、操作费用 5
个性能参数，其中拥有“座位数”、“航速”、“飞行距离”3 项反映了飞机的故有基本属
性性能，而“燃料消耗”、“操作费”2 项则反映了飞机的经济性能，衡量一架飞机的性
能就要综合这两种性能进行考虑，由此引入性价比概念如下：
飞机的性价比 = 飞机固有属性性能
单位时间单位距离的费用
其中，分子：飞机固有属性性能，从座位数、航速、飞行距离方面进行考虑；
分母：飞机经济性能，从燃料消耗、操作费用方面进行考虑。
一、飞机固有属性性能的计算
对飞机固有性能的描述主要从拥有座位数、航速、飞行距离三方面考虑，其中，飞
机拥用座位数越多载客量越大，航速越快运输效率越高，飞行距离越远则载客航程越远，
所以飞机座位数越多，飞行速度越快，飞行距离越远则飞机固有属性性能越好。
以 if 表示第i 种客机的飞机固有属性性能， in 、 iv 、 id 分别表示第i 种客机的拥有座
位数、航速、飞行距离，则飞机的固有属性性能可表示为：
i ii i f nv d= (1.1)
二、单位距离费用的计算
题中表 1 中提供了各种客机的飞行距离（以 id 表示）及飞行速度（以 iv 表示），
当飞机以匀速飞行全距离时，所需时间为：
i
i
i
dt v= (1.2)
题中表 1 中还提供了各种客机每小时的耗油量（以 io 表示）及每小时的操作费用
（以 ic 表示），由于现实中油价随着世界原油市场的调整而不断波动，由此无法精确给
出油价的定值，若以 p 表示当前油价（根据现实而定，目前为 2.16 美元/加仑），则飞
行 it 时间所耗费用为：
() i ii t po c × × +
则第i 种客机每单位距离费用为：
() i ii
i
t po c
s
× × + (1.3)
将 (1.1) 带入 (1.3) 得第i 种客机每单位距离费用为：
ii
i
i
po cg v
× += (1.4)
5.2 模型Ⅰ的建立
以飞机的性价比为评价标准，建立评价飞机综合性能的评价模型如下：
飞机性价比计算表达式：
i
i
i
fx g= (1.5)
将 (1.1)、(1.4) 带入 (1.5) 得第i 种客机性价比：
2
i ii
i
ii
nd vx po c= ×+
符
号
说
明
ix 第i 种客机性价比
in 表示第i 种客机的拥有座位数
iv 表示第i 种客机的航速
is 表示第i 种客机的飞行距离
io 表示第i 种客机每小时的耗油量
ic 表示第i 种客机每小时的操作费用
p 表示当前油价（根据现实而定，目前为 2.16 美元/加仑）
5.3 模型Ⅰ求解
由于不同飞机的耗油量不同，而油价的波动直接影响飞机的耗油费用，进而影响飞
机的经济性能，所以在建立模型时油价以参数形式表示，下面分别给出油价为 2.16（当
前价格）以及 1.5 ；4.2（美元/加仑）时每种类型的飞机性能排名。
根据题目中提供数据，求解出当油价为 2.16（美元/加仑）时每种类型的飞机性能
排名如下：
排名 1 2 3 4 5 6
机型 B747-100 L-1011 B767-300 B767-200 A310-300 DC-10
排名 7 8 9 10 11 12
机型 A300 B4 B757-200 MD-80 B737-300 B727-200 DC-9-50
排名 13 14 15 16 17
机型 B727-100 B737-100 F-100 DC-9-30 DC-9-10
油价为 1.5（美元/加仑）时每种类型的飞机性能排名如下：
排名 1 2 3 4 5 6
机型 B747-100 L-1011 DC-10 A300 B4 A310-300 B767-300
排名 7 8 9 10 11 12
机型 B767-200 B757-200 B737-300 B727-200 MD-80 DC-9-50
排名 13 14 15 16 17
机型 B727-100 B737-100 F-100 DC-9-30 DC-9-10
油价为 4.2（美元/加仑）时每种类型的飞机性能排名如下：
排名 1 2 3 4 5 6
机型 B747-100 B767-300 L-1011 B767-200 A310-300 DC-10
排名 7 8 9 10 11 12
机型 A300 B4 B757-200 MD-80 B737-300 B727-200 DC-9-50
排名 13 14 15 16 17
机型 B727-100 B737-100 F-100 DC-9-30 DC-9-10
由以上三表对比可知，不同油价下飞机性价比好似并无较大不同，但这是在非常小
航程前提下做的比较，在实际使用中飞机主要费用变化将集中于耗油量，由此，在后文
中选购飞机时必须考虑油价影响。各种油价下飞机性价比见附表一。
6 问题二模型的建立与求解
6.0 模型假设
[1] 假设一条航线上的旅客乘坐同一航班
假设分析：由于题中并未给出旅客乘坐的具体时间，那么从对所有旅客公平角
度分析不能将旅客进行分批运送，由此假设一条航线上所有乘客都需要同时起飞，当旅
客人数超出飞机载客量时，将会出现部分旅客买不到票的情况。
[2] 假设飞机对一批旅客仅运送一次
假设分析：现实中会出现飞机往复飞行载客的情况，而本题中由于无法得知返程时
的载客情况及各种费用情况，而且多次运送就有时间差，这样显然会影响后运送的乘客
满意度，而且现实中乘客也会乘坐其它航空公司的飞机，所以这里假设飞机对一批旅客
仅运送一次。
[3] 假设飞机中途不停
假设分析：当航线较远时可能出现飞机中途落下临时加油的情况，而飞机的中途停
机显然要下一批到站的乘客并上一批乘客，根据现有资料这部分人员交换是无法计算
的；另一方面，中途停机显然会延长到站时间及造成许多不便，由此，根据题中要求“方
便快捷”角度考虑应中间不停机；另外，中途停机会造成乘客的不满，显然不利于航空
公司的发展。
6.1 模型分析
本文要求根据表 2 的运输计划，制定在尽量满足旅客需求及方便快捷的同时又节约
成本的最佳飞行方案。
由此飞行方案的设计应从以下三方面考虑：
? 航空公司获利最大
? 最大限度满足旅客需求
? 旅客乘坐飞机方便快捷
下面将从上述三方面进行分析并建立关于飞机分配的最优化模型。
一、目标分析
本问题主要讨论为航空公司安排飞行方案，那么首先应站在航空公司角度分析，应
使航空公司在飞机安排后获利最大。
对于一个航班而言其票价是一定的，那么为了增加利润应使所设定座位数尽量接近
该线路上需要乘机的旅客数，这样一方面降低了运输成本，另一方面让尽量多的旅客搭
乘了飞机则提高了旅客的满意度，事实上由于每架飞机的固定运行成本是不变的，这样
安排实质上时使飞机利用率最大，即利润最大，由此，本模型目标为航空公司利润最大。
每趟利润 = 每趟飞行收入 ? 每趟飞行的固定成本
其中，每趟飞行收入等于该趟飞机票价乘以每趟实际载客人数。
（1）每条航线机票价格的计算
对于每条航线无论用何种客机飞行其起点、终点不变，所以票价应该不随使用飞机
型号的不同而改变，而票价的制定主要与飞机运行的成本有关，由问题一 (1.4) 知：
第 j 种客机单位距离费用为：
jj
j
j
po cg v
×+=
那么由已知机型可得各种飞机单位距离平均费用为：
17
1
17
j
j
g
g ==
∑
以 ig 表示第i 条航线的平均成本，则：
i i g dg= ×
票价是在成本的基础上加入利润率即可，以λ 表示航空公司的利润率，以 iG 表示第
i 条航线单趟飞行的飞机票价，则：
(1 )iiGgλ= +
（2）每趟实际载客人数的计算
题中公司共有 15 架飞机，事实上这些飞机不一定全部用上，引入 0-1 变量 ijf 表
示是否使用某架飞机，其中：
1 ......
0 ......ij
ijf ?= ?
?
第条航线用第架飞机
否则
以 jn 表示第 j 架飞机拥有的座位数，即该架飞机的最大载客量，对于一条线路而
言，其最大载客量为该线路上所有飞机的最大载客量的代数和，即第i 条线路上的最大
载客量为：
15
1
ij j
j
fn
=
×∑
由于飞机每次飞行可能满载也可能缺客，在计算每趟收入时应该使用每趟实际载客
人数，满客时实际载客人数为第i 条线路上的最大载客量，缺客时实际载客人数为该线
路上旅客数，以 im 表示第i 条线路上的旅客人数，以 ir 表示每趟实际载客人数，则：
15
1
min ,i i ij j
j
r m fn
=
? ?= × ? ?
? ?
∑
则所有航线每趟飞行的实际收入为：
5
1
() i i
i
G r
=
×∑ (2.1)
（3）每趟飞行固定成本计算
根据题中要求，飞机飞行的固定成本主要由操作费用及耗油费用两部分组成，由问
题一 (1.4) 知：
第 j 种客机单位距离费用为：
jj
j
j
po cg v
×+=
那么对第i 条航线而言，以 ib 表示所有飞该航线的飞机固定成本，则：
15
1
i ij i j
j
b f dg
=
= ∑
则所有航线每趟飞行的固定成本为：
5
1
i
i
b
=
∑ (2.2)
（4）每趟飞行利润计算
根据利润的计算公式，所有航线每趟飞行的利润为所有航线每趟飞行的实际收入减
去每趟飞行的固定成本，目标为所有航线每趟飞行利润最大，由式 (2.1)、(2.2) 得：
5
1
() i i i
i
Max G r b
=
= × ?∑
其中， iG 表示第i 条航线单趟飞行的飞机票价
ir ：表示每趟实际载客人数
ib ：表示所有飞该航线的飞机固定成本
二、约束分析
由于不考虑重飞的情况，那么限定了每架飞机仅能在一条航线上飞，又由于不考虑
中间转机的情况，那么任意航线上所安排的飞机的飞行距离应长于该航线的距离，由此，
可得下面两个约束条件：
（1）每架飞机仅飞一个航线
ijf 表示第i 条航线是否使用第 j 架飞机，实质上 ijf 为 ij× 的 0-1 阵，其纵列相加
表示第 j 架飞机飞的航线数，则每架飞机仅能飞一条航线可表示为：
5
1
1ij
i
f
=
≤∑
（2）所安排飞机必须能一次飞完全程
若所安排飞机的最大飞行距离小于航线里程，则飞机无法飞到终点站就必须停机，
这不符合中途不停机要求，为了保证中途不停机，则所选定飞机的最大飞行距离必须大
于该航线的总里程数。
以 id 表示第i 条航线的里程数， js 表示第 j 架飞机的最大里程数，则所安排飞机
必须能一次飞完全程可表示为：
ij i j f d s≤
6.2 模型Ⅱ的建立
基于模型分析，以航空公司利润最大为目标，建立最优化模型如下：
5
1
() i i i
i
Max G r b
=
= × ?∑
{ }
5
1
......( 1 5) ......(1)
. . 1 ......( 1 15) ......(2)
0,1 ......(3)
ij i j
ij
i
ij
fd s i
st f j
f
=
? ≤=
?? ≤=?
?
? ∈?
∑
?
?
模
型
说
明
obj 航空公司获利最大
(1) 所安排飞机必须能一次飞完全程
(2) 每架飞机仅飞一个航线
(3) 0-1 变量 , 表示是否使用某架飞机，“=1”时表示用
符
号
说
明
iG 表示第i 条航线单趟飞行的飞机票价
ir 表示每趟实际载客人数
ib 表示所有飞该航线的飞机固定成本
js 表示第 j 架飞机的最大里程数
id 表示第i 条航线的里程数
ijf 表示第i 条航线是否使用第 j 架飞机
下
标
i 第i 条航线 (i =1,2,…,5)
j 第 j 架飞机 ( j =1,2,…,15)
6.3 模型Ⅱ的算法与求解
使用 lingo 软件编程求解（油价 2.16 美元/加仑，利润率 100%），程序见附录
航线 1 2 3 4 5
飞机编号 2 1，3，4，6 7 5,8,9 10，11，12,14
飞机编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
型号 DC-10 B747
100
A300
B4
A300
-B4
B767
-300
B767
-300
B757
-200
MD
-80
MD
-80
DC-9
-30
DC-9
-30
DC-9
-30
B727
-100
B727
-100
B727
-100
7 问题三模型的建立与求解
本问要求整体比较波音公司（B 型号）和麦道公司(MD 和 MC 型号)生产的客机的性
能。若公司需要新买进两袈客机以扩充运输能力并提高旅客的满意程度，选择何种客机。
7.1 模型 Ⅲⅰ的分析与建立
7.1.1 模型分析
本模型建立的主要目的是整体评价波音公司和麦道公司生产的客机的性能，为购进
两架飞机提供决策性意见。
购买飞机主要为调整目前不合理的飞行安排同时扩大运输能力，即需要开辟新航
线。对飞机性能的比较主要从需求的角度出发，即根据航空公司需要的飞机类型对两家
飞机生产公司的各种机型进行比较，那么需要将已有飞机进行分类比较。
通过问题一的分析，对飞机固有属性，即拥有座位数、航速、飞行距离三个角度进
行整体评价。结合现实情况，根据飞机用途不同对飞机分类如下：
? ?
? ???
?? ??
?
? ?? ????
????
?
?
??
?? ?? ?? ??
大型机
拥有座位数中型机
小型机
特快机
飞机性能 航速普快机
常速机
长途机
飞行距离中途机
短途机
7.1.2 模型Ⅲⅰ的建立
根据以上分析，令 ijx 表示第i 类飞机第 j 种机型的性价比， in 表示第i 类飞机的种
类数。则通过计算第i 类飞机的性价比平均值确定出该类飞机的性价比为：
1
in
ij
j
i
i
x
X n
==
∑
根据求解出的每一类飞机的性价比，运用加权求和的方法确定每个公司生产飞机的
综合性价比。由于每一类飞机的量纲相同，故权值 iλ 相同，即：
1
3iλ =
则每个公司的飞机的综合性价比为：
3
1
i i
i
YXλ
=
= ∑
即对波音公司和麦道公司的飞机性能整体评价模型如下：
3
1
1
/
i
i i
i
n
i ij i
j
YX
X xn
λ
=
=
? =???
? =??
∑
∑
符
号
说
明
Y 所有飞机的综合性价比
iX 每一类飞机的综合性价比
iQ 每一类飞机的综合性价比权值
in 第i 类飞机的种类数
ijx 第i 类飞机第 j 种机型的性价比
7.1.3 模型Ⅲⅰ的求解
根据以上建立的模型针对模型分析中的分类情况对两家公司的飞机性能分别进行
综合评价如下：
? 机型大小分类评价
飞机机型大小主要取决于拥有座位数的多少，根据拥有座位数的多少将题中各机型
分类如下：
拥有座位数范围
小型机 中型机 大型机
120n < 120 240n < < 240n >
波音机型 B727-100
B737-100
B767-200
B757-200
B727-200
B737-300
B747-100
B767-300
麦道机型 DC-9-30
DC-9-10
MD-80
DC-9-50 B747-100
根据机型大小对两家公司的飞机性能综合评价列表如下：
小型机 中型机 大型机 综合
波音机型 2507608 7260205 19147995 9638603
麦道机型 1539122 3806600 10650289 5332004
? 机速快慢分类评价
根据现实中飞机对航线按时间进行购买的情况，对于空线的使用就有一定的时间限
制，另外根据旅客需求不同，对飞机快慢进行分类如下：
航速范围 常速机 普快机 特快机
400
波音机型 B737-100
B757-200
B727-200
B737-300
B727-100
B747-100
B767-300
B767-200
麦道机型
DC-9-50
DC-9-30
DC-9-10
MD-80 B747-100
根据机速快慢对两家公司的飞机性能综合评价列表如下：
常速机 普快机 特快机 综合
波音机型 2111840 4761724 17064430 7979331
麦道机型 2113088 4352178 10650289 5705185
? 航程远近分类评价
根据航线长短不同，应购买与航线长度相合适的飞机，短途机不可能用于长途飞行，
而若用长途机去跑短途显然浪费资源，对此，需根据飞行距离对飞机分类如下：
最大航程范围 短途机 中途机 长途机
500s < 500 1200s < < 1200s >
波音机型 B737-100
B757-200
B727-200
B737-300
B727-100
B747-100
B767-300
B767-200
麦道机型 DC-9-30
DC-9-10
MD-80
DC-9-50 B747-100
根据机速快慢对两家公司的飞机性能综合评价列表如下：
短途机 中途机 长途机 综合
波音机型 2111840 4761724 17064430 7979331
麦道机型 1539122 3806600 10650289 5332004
根据不同角度得到的评价结果绘出条形直方图对比如下：
大型 中型 小型 综合
特快 普快 常速 综合
短途 中途 长途 综合
评价结果
通过比较两家公司不同机型的性价比，可以看出波音公司各种类型的飞机都要优于
麦道公司的同类型飞机。波音公司的飞机综合性价比明显优于麦道公司的飞机。
7.2 模型 Ⅲ ⅱ的分析与建立
7.2.1 模型 Ⅲ ⅱ的分析
本模型建立目的为在波音公司的各种机型中购买两个合适的客机，以扩充公司的运
输能力并提高旅客的满意程度。
那么在选择机型时就要从扩充运输能力及提高旅客满意度两方面进行考虑，由问题
二的结果可知，在对航线安排结束后仍有 16 人未乘上客机，这部分人显然是不满意的，
那么从提高满意度角度考虑应使最终购进飞机并从新安排后能将所有旅客运完。
另一方面，由于飞机在安排结束后仍有剩余，那么为了提高运输能力有必要开辟新
航线，在开辟新航线后为了达到利润最大的目的应对所有飞机进行重新编排。
一、目标分析
基于问题二的分析，本问仍以航空公司利润最大为目标，需要在加入新飞机后计算
“每条航线机票的价格” 、“每趟实际载客人数” 、“每趟飞行固定成本” 从而得出
“各航线飞行利润”。
（1）每条航线机票价格的计算
基于问题二的分析，票价应该不随使用飞机型号的不同而改变，而票价的制定主要
与飞机运行的成本有关，由问题一 (1.4) 知：
第 j 种客机单位距离费用为：
jj
j
j
po cg v
×+=
那么由已知机型可得各种飞机单位距离平均费用为：
17
1
17
j
j
g
g ==
∑
以 ig 表示第i 条航线的平均成本，则：
ii g sg= ×
票价是在成本的基础上加入利润率即可，以λ 表示航空公司的利润率，以 iG 表示第
i 条航线单趟飞行的飞机票价，则：
(1 )iiGgλ= +
（2）每趟实际载客人数的计算
对于原来的 15 架飞机，基于问题二的分析，以 jn 表示第 j 架飞机拥有的座位数，
即该架飞机的最大载客量，对于一条线路而言，其最大载客量为该线路上所有飞机的最
大载客量的代数和，即对于原来的 15 架飞机而言，第i 条线路上的最大载客量为：
15
1
ij j
j
fn
=
×∑
对于后来加上的两架飞机，以 j
ikx 表示新购的第 j 架飞机为波音公司的第 k 种机型
是否飞第i 条航线，以 kN 表示波音公司第 k 种机型拥有的座位数，则对于后加的两架飞
机而言，第i 条线路上的最大载客量为：
28
11
j
ik k
jk
xN
= =
∑∑
由此第i 条线路上总的最大载客量为：
15 2 8
1 11
j
ij j ik k
j jk
fn x N
= = =
+∑ ∑∑
由于飞机每次飞行可能满载也可能缺客，在计算每趟收入时应该使用每趟实际载客
人数，满客时实际载客人数为第i 条线路上的最大载客量，缺客时实际载客人数为该线
路上旅客数，以 im 表示第i 条线路上的旅客人数， iR 表示第i 条线路上每趟实际载
客人数，则：
15 2 8
1 11
min , ( )j
i i ij j ik k
j jk
R m fn x N
= = =
??= +??
??
∑ ∑∑
设新增航线 l 条，则所有航线每趟飞行的实际收入为：
5
1
()
l
ii
i
GR
+
=
×∑ (3.1)
（3）每趟飞行固定成本计算
根据题中要求，飞机飞行的固定成本主要由操作费用及耗油费用两部分组成，由
问题一 (1.4) 知：
第 j 种客机单位距离费用为：
jj
j
j
po cg v
×+=
在计算每趟飞行的固定成本时，与第二问有所不同，由于当新增飞机后需要对所有
航线进行调整，这样可用新买的飞机对原有利用率不高的飞机进行替换以增大所有飞机
利用率。
若用长途飞机去飞短途，显然飞机的里程利用率低，这样相当于损失了飞机原本可
以多飞的里程，造成隐含损失，在计算成本时应将这一部分损失计算进去，那么可用飞
机所能飞的最远距离计算飞机成本。
对于原有的 15 架飞机而言，以 iB′ 表示第i 条航线的固定成本， ijf 表示第 j 架飞
机是否飞第i 条航线， js 表示第 j 架飞机的最大航程，则：
15
1
i ij j j
j
B f sg
=
′ = ∑
对于新增的两架飞机，以 iB′′ 表示新增飞机第i 条航线的固定成本， kS 表示第k 种
机型的最大航程， j
ikx 表示新购的第 j 架飞机 为波音公司的第k 种机型是否飞第i 条航
线， kg 表示第 k 种客机单位距离费用则：
28
11
j
i ik k k
jk
B x Sg
= =
′′ = ∑∑
则所有航线（原有 5 条航线上新增 l 条航线）每趟飞行的固定成本为：
5
1
( )
l
ii
i
B B
+
=
′ ′′+∑ (3.2)
（4）各航线飞行利润
根据利润的计算公式，所有航线每趟飞行的利润为所有航线每趟飞行的实际收入减
去每趟飞行的固定成本，目标为所有航线每趟飞行利润最大，由式 (3.1)、(3.2) 得：
5
1
( )
l
i ii i
i
Max G R B B
+
=
′ ′′ = ×? ?∑
其中， iG ：表示第i 条航线单趟飞行的飞机票价
iR ：表示每趟实际载客人数
iB′ ：表示第i 条航线的固定成本
iB′′ ：表示新增飞机第i 条航线的固定成本
l ： 表示新增航线数
二、约束分析
为确保旅客乘坐飞机方便快捷，每架飞机最多只能飞行一次，且不允许中途停机。
即每架飞机既要满足飞行次数限制，又要满足直达要求。对两限制条件分别分析如下：
（1）每架飞机飞行次数约束
ijf 表示第i 条航线是否使用第 j 架飞机，实质上 ijf 为 ij× 的 0-1 阵，其纵列相加
表示第 j 架飞机飞行的航线数，则每架飞机最多仅能飞一条航线可表示为：
5
1
1ij
i
f
=
≤∑
对于新购买的飞机，每架飞机仅能飞行一次，即每架新购飞机的飞行限制可表示为：
58
11
1
l
j
ik
ik
x
+
= =
=∑∑
（2）所安排飞机的直达约束
每架飞机必须满足直达要求，即要求每架飞机的最大直达航程不小于实际航程。以
id 表示第i 条航线的实际里程数， js 表示第 j 架飞机的最大直达航程数，则所安排飞
机必须能一次飞完全程可表示为：
ij i j f d s≤
对于新购买的飞机，也要满足飞机飞行的直达要求，可限制如下：
j
ik i k xd S≤
7.2.2 模型 Ⅲ ⅱ的建立
基于模型分析，以新增行线后航空公司总利润最大为目标，建立最优化模型如下：
5
1
( )
l
i ii i
i
Max G R B B
+
=
′ ′′ = ×? ?∑
{ }
5
1
58
11
...... 1 (5 ), 1 15 ......(1)
1 (5 ), 1,2...... ......(2)18
1 ...... 1 15 ......(3)
..
1 ...... 1,2 ......(4)
0,1 ...... 1 (5 ), 1 15 ......(5)
ij i j
j
ik i k
l
ij
i
l
j
ik
ik
ij
fd s i l j
i l j xd S k
fj
st
xj
f i l j
x
+
=
+
= =
≤ = +=
= +=?≤ ? =?
≤=
= =
∈ = +=
∑
∑∑
??
?
?
?
??
{ } 1 (5 ), 1,20,1 ...... ......(6)18
j
ik
i l j
k
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
? = +=?? ∈ ? =? ??
?
?
obj 航空公司获利最大
(1) 原有飞机所安排的航线必须能一次飞完全程
模
型
说
明
(2) 新增飞机所安排的航线必须能一次飞完全程
(3) 原有飞机每架仅能飞一个航线
(4) 新增飞机每架仅能飞一个航线
(5)、(6) 0-1 变量 , 表示是否使用某架飞机，“=1”时表示用
符
号
说
明
iG 表示第i 条航线单趟飞行的飞机票价
iR 表示每趟实际载客人数
iB′ 、 iB′′ 表示原有第i 条航线的固定成本；表示新增飞机第i 条航线的固定成本
js 、 kS 表示第 j 架原有飞机的最大里程数；第 k 架新增飞机的最大里程数
ijf 、 j
ikx 表示是否使用某架飞机，“=1”时表示用
l 表示新增航线数
id 表示第i 条航线的里程数
7.2.3 模型 Ⅲ ⅱ的算法与求解
可以开设几条虚拟航线（下表），使得模型求解具有一定实际意义。
虚拟航线组 1 虚拟航线组 2 虚拟航线组 3 不添加航线
平均人数 飞行距离 平均人数 飞行距离 平均人数 飞行距离 平均人数 飞行距离
现
有
航
线
1 350 2900 350 2900 350 2900 350 2900
2 1050 1200 1050 1200 1050 1200 1050 1200
3 205 900 205 900 205 900 205 900
4 500 620 500 620 500 620 500 620
5 400 400 400 400 400 400 400 400
虚
拟
6 250 800 400 700 600 800
7 200 700 500 1300 400 2500
8
将上述虚拟航线组数据带入模型 3 使用 LINGO 求解（油价 2.16 美元/加仑，利润率
100%）,得到如下结果：
虚拟航线组 1 虚拟航线组 2 虚拟航线组 3 不添加航线
Obj 186956.2 208423.9 229928.7 169595.2
飞机编号 购买飞
机编号 飞机编号 购买飞
机编号 飞机编号 购买飞
机编号 飞机编号 购买飞
机编号
现
有
航
线
1 2 2 2 1
2 1,3,4,6 3,4,5 2 1,3,5,6 1,3,4,6
3 4 4 7 7
4 13,15 8,9,14,15 8,9,14,15 8,9,14,15
5 10,11,12 10,11,12 10,11,12 10,11,12 8
虚
拟
6 7 7 4 4
7 4 1,6 1
表内编号对应飞机型号见下表：
飞机
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
型号 DC-10 B747
100
A300
B4
A300
-B4
B767
-300
B767
-300
B757
-200 MD-80 MD-80 DC-9
-30
DC-9
-30
DC-9
-30
B727
-100
B727
-100
B727
-100
购买飞机
编号
(波音公司)
1 2 3 4 5 6 7 8
型号 B747
-100
B767
-300
B767
-200
B757
-200
B727
-200
B737
-300
B727
-100
B737
-100
结果分析
首先从不添加航线求解结果看，盈利相比第二问有所提高，但并不明显，这主要是
由于本来各航线已经充分满足了旅客的需求，调换飞机后旅客增加有限。
从虚拟的航线最后安排结果和购买的飞机可一看出，在资金充足的情况下航空公司
应该开尽量长的航线，购买飞机尽量性能高。
但是做为现有空闲的飞机也要尽量安排新航线使其最大效益的运输。
综合上述几点，本文认为航空公司应该申请 1 条较长航线与一条中等航线，并通过
模型确定购买合适的机型使公司整体效益最佳。
附录：
根据题目中提供数据求解出当油价为 2.16（美元/加仑）时每种类型的飞机性价比
列表如下：
机型 B747-100 L-1011 DC-10 A300 B4 A310-300 B767-300
性价比 24975441 13810688 10650289 9908818 11793821 13320548
机型 B767-200 B757-200 B727-200 MD-80 B737-300 DC-9-50
性价比 12897300 8421301 3754513 4352178 3967705 3261021
机型 B727-100 B737-100 F-100 DC-9-30 DC-9-10
性价比 2903377 2111840 1818380 1736537 1341706
当油价为 1.5（美元/加仑）时每种类型的飞机性价比列表如下：
机型 B747-100 L-1011 DC-10 A300 B4 A310-300 B767-300
性价比 30066798 16611915 12688632 11594679 13889954 15684996
机型 B767-200 B757-200 B727-200 MD-80 B737-300 DC-9-50
性价比 15264049 9870206 4505635 5147872 4623272 3849393
机型 B727-100 B737-100 F-100 DC-9-30 DC-9-10
性价比 3477154 2488698 2133586 2045343 1589161
当油价为 4.2（美元/加仑）时每种类型的飞机性价比列表如下：
机型 B747-100 L-1011 DC-10 A300 B4 A310-300 B767-300
性价比 16394554 9078737 7116638 6836417.9 8042436 9086684
机型 B767-200 B757-200 B727-200 MD-80 B737-300 DC-9-50
性价比 8718768 5792882 2477774 2945129.9 2758641 2214707
机型 B727-100 B737-100 F-100 DC-9-30 DC-9-10
性价比 1922713 1438534 1248341 1184003.9 905763.7
航运策略优化设计.pdf
