转动惯量问题的计算
转动惯量问题的计算
李晓云 张向荣
摘 要： 随着科学技术的迅猛发展，转动惯量作为一个重要的工程参数，在越来越多的领域受到重视。均质刚体，可根据其对称性来确定惯量主轴以及中心惯量主轴，运用惯量张量，可方便地计算通过其坐标原点的任意轴的转动惯量。
在普通物理力学的刚体力学部分中，总要遇到刚体对轴的转动惯量的计算问题。而高等数学的进度远远满足不了力学课的要求，这就给计算刚体对轴的转动惯量带来了一定的困难。
关键词： 转动惯量 惯量主轴 对称性 平行轴定理 垂直轴定理
引 言
刚体转动惯量的正确表示是研究刚体运动的非常重要的内容之一。刚体的转动惯量与刚体的总质量、形状和转轴位置有关，对于形状简单且规则的刚体，可以通过计算求出其绕定轴的转动惯量，而对于形状复杂的刚体，它的转动惯量可根据公式计算。对于几何形状不规则、 质量分布不均匀的物体( 例如枪炮的弹丸、电动机的转子等) ，计算它们的转动惯量非常困难， 通常用实验的方法来确定。为了实现光电测量设备较精确的离线仿真和理论计算，需要准确地知道控制对象的数学模型，而通过转动惯量求得的机械时间常数是这一模型的重要组成部分。
转动惯量是物理学及工程力学中经常遇见的问题。转动惯量是表征转动物体惯性大小的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数，因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。
一、转动惯量的简介
1.1 技术现状分析
关于转动惯量的研究由来已久，现在所取得的成果就是前人一点一滴积累来的。本文将在此基础上，本着循序渐进的原则，对转动惯量及测量方法进行研究。
近年来，伴随着高新技术的日新月异，对物体转动惯量，尤其是对非均质、不规则物体转动惯量的深入性研究已经对未来的航天、航空、军事及精密仪器制造等高精尖行业产生了深远的影响。
1.2 主要研究
本课题要求研究物体转动惯量的常规计算方法。若要对转动惯量的测试方法进行研究，则必须先要透彻的理解它，继而方能进行深入的工作。于是本章将就转动惯量本身的实质问题进行一些理论上的探讨。本文的难点在与选择惯量主轴问题，以及研究的方向。同时运用高等数学进行计算。同时，在理论上对转动惯量进行分析。
二、转动惯量的理论研究
想要研究转动惯量，我们就必须清楚它的来源及实质性问题，本章将在理论上介绍转动惯量的实质，同时对它加以研究。
2.1 转动惯量
转动惯量：转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数，因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义．转动惯量的大小不仅与刚体的质量有关，还与转轴位置和质量分布有关
2.2 转动惯量的物理意义
转动惯量的物理意义：转动惯量反映出物体转动状态下的惯性：转动惯量大的物体的角速度更难于被改变。当然，转动惯量与质量也有很大不同：转动惯量不仅与质量分布有关，也与转轴的位置有关，也就是说，转动惯量的要求更多一些。
2.3 转动惯量的应用
转动惯量是定量描述刚体绕定轴转动时惯性大小的量度，弹体的转动惯量对弹体的初始扰动、飞行稳定性和其它外弹道特性( 如射击散布) 等都有影响。因此测量弹体的转动惯量可以检验弹体成品是否符合设计要求，还可以为弹体的研究设计、飞行姿态计算、射击结果分析及不平衡度计算提供原始数据，同时也可以为弹体形状的优化提供信息。还有在奥运会中的花样滑冰中运动员要做在空中快速转的动作时，总是先张开双臂，然后在起跳旋转的瞬间收缩双臂就可以做到快速旋转。这就是运用角动量守衡，角动量＝转动惯量＊角速度，收缩双臂转动惯量减小，角速度就增加，所以在运动员做在空中旋转的动作时，手臂都是收缩状态。还有应用就是飞机里的万向仪。
三、均质刚体惯量主轴的确定
惯量主轴以及中心惯量主轴的确定对于简化刚体转动惯量的据算具有重要的意思。在一般情况下，中心惯量主轴的方向的求法是相当复杂的。但对于对称的均质刚体，它们的惯量主轴可根据对称性，依据下面的原则来方便地判定出。
3.1 对称一
如刚体有质量的对称轴，则该轴是中心惯量主轴之一。
如图一所示，设轴为质量对称轴，则不论原点在轴上哪一点，在此刚体内如有一个质量为，坐标为的点，就必有另一个质量为，坐标为的点，与之对应，故这刚体与轴相关的两个惯量积，。
3.2 对称二
如刚体有质量对称平面，则与此对称平面垂直的轴都是在此轴与对称面的交点的惯量主轴，其中通过质心的轴式一根中心惯量主轴。
如图2所示，若坐标面为刚体的质量对称面，刚体内如有一个质量为，坐标为的点，必有另一个质量为,坐标为的点与之对应，使惯量积，。故轴是刚体在点的一根惯量主轴。
需要注意的是，惯量主轴是对某一点而言的，同一根轴对轴上某一点是惯量主轴，而对另一点却不一点是惯量主轴。
四、转动惯量的计算方法
本章我们引入两个反映转动惯量性质的定理，利用此定理去计算转动惯量。惯量特征--- 质心 转动惯量，质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。 转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
4.1 平行轴定理
刚体转动惯量与轴的位置有关。若二轴平行，其中一轴过质心，则刚体对另一轴的转动惯量有下列关系：
其中：为刚体质量，为刚体对过质心轴的转动惯量，为刚体对质心轴平行的另一轴的转动惯量，为两轴间的垂直距离。现证明如下，图中，与轴与纸面垂直，带撇坐标系表示质心坐标系，刚体对轴的转动惯量为：
用表示刚体总质量，根据质心坐标系，有, 。和分别表示质心在质心坐标系中的坐标，因这一坐标系原点正在质心，故，上式中间两项消失。即刚体对轴的转动惯量，而。 于是得（1）式，由定理可知，在刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。
4.2 垂直轴定理
设刚体为厚度无穷小的薄板，建立坐标系，轴与薄板垂直，坐标面在薄板平面内，如图，刚体轴的转动惯量为：
等号右方两部分顺次表示刚体对轴和轴的转动惯量，即：
因此，无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另二直角坐标系轴的转动惯量之和，称垂直轴定理，注意本定理对于有限厚度的板不成立。 五、实例分析
例1均质等截面细杆质量为，长为，已知其对于过中心且与杆垂直之轴的转动惯量为，求对过端点且与杆垂直之轴的转动惯量。
。
例2 均质等厚薄圆板的质量为，半径为，板的厚度远小于半径，求对过圆心且与板面内之轴的转动惯量。
解：因板的厚度远小于半径，故可视作无穷小厚度的板，可应用垂直轴定理，建立直角坐标系，原点在圆心，、轴在板面间，根据对称性，，由垂直轴定理，有：
例3：均质细圆环对过中心且垂直于环面轴的转动惯量。（设线密度为）
解：建立坐标如右图所示，设其体密度为，在圆柱体上垂直于其轴线截取厚度为的薄圆盘。
结论
本文从转动惯量的理论知识入手，就转动惯量的计算方法进行了分析，并给出了两种计算转动惯量的方法。这两种方法从理论入手，运用高等数学手段对转动惯量进行研究，并通过例题对这种计算方法加以解释。同时运用这种方法要注意其限制条件，垂直轴定理对于有限厚度的板不成立。同时这些计算方法都是通过质元来计算的，有一定的误差，不过这种误差很小，小于0.05。取得了阶段性的成果。
本课题给出的方法需要运用高等数学中的积分，理论与数学结合，这样便于大家理解。
本人通过对该课题的深入研究，加深了对转动惯量及计算方法的理解，而且在论文中涉及了刚体中心轴的确定，这样也增加了本人的知识。理论与数学的结合是物理研究方面不可缺少的，我们在学习物理知识的同时，也要加深对数学的学习。
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