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中小学统计及其课程教学设计

日期: 2008-12-29 10:51:47 浏览: 10 来源: 学海网收集整理 作者: 史宁中,孔凡哲,秦德

摘要:统计已经成为当今中小学数学课程的核心内容之一。统计学的研究基础是数据,依据数据进行分析和推断。统计教育价值的核心在于逐步养成尊重事实、通过数据来分析问题的习惯,培养理解和把握随机现象的能力。中小学统计课程设计、教学设计的主线应该是,体现从收集数据到统计推断的全过程,建立统计直观。

关键词:中小学统计;课程设计;教育价值;教学

 


当今中小学数学增加了统计学和概率论的内容,这些内容是一种“不确定性数学”内容,与传统的“确定性数学”内容有较大区别。

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这使得数学教育工作者以及在教学一线的广大教师普遍感到不适应。

统计的基本思想方法是什么?解决统计问题的基本途径是什么?中小学统计课程、教学中应当突出的重点是什么?中小学统计的教育价值是什么?带着这些迷茫和困惑,我们进行了较长时间的专题访谈和深入研讨。

访谈对象:史宁中教授(以下简称史教授)。

访谈形式:专题访谈,三人对话以及多人参加的讨论班式的访谈;辅以资料查询。

一、统计及其基本思想与方法

(一)什么是统计学

问:一般认为,“统计学”这个词源于拉丁语的“国情学”,原是国家管理人员感兴趣的事情。《大不列颠百科全书》对统计学下的定义是:“统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。”陈希孺院士认为:“统计学是有关收集和分析带有随机性误差的数据的科学和艺术。”

史宁中教授,作为统计学家,您是如何认识统计学的?

▲ 史教授:我们先来简单地回顾统计学的历史是有益处的。正如拉丁语所说,统计原本就是收集和分析国家管理中需要的各种数据,比如国民收入、各种税收。为了直观,人们才发明了各种报表、直方图、扇形图等等。可以看到,这种传统意义上的统计学现在仍然是非常重要的,这也是我们现在小学统计教学中的主要内容之一。后来到了14世纪左右,随着航海业在欧洲兴起,航海保险业开始出现。为了合理地确定保险金与赔偿金,需要了解不同季节、不同路线航海出现事故的可能性的大小,需要收集相关的数据,根据数据进行分析和判断,这被称为是近代统计学的发端。到了19世纪末、20世纪初,人们把数学、特别是概率论的有关知识引入到统计学,构建了统计学的基础。与古典统计学相比,虽然二者都是对于数据的收集和分析,但是却有本质的不同,因为后者进行分析的基础是“不确定性”,我们称之为“随机”。

到了现代,人们发现,对于大量数据的分析,采用随机的方法不仅方便而且准确。比如,对于国民收入,我们可以动用大量的人力来收集数据,但是谁都知道这样的数据不可能是准确的,远不如我们依据某种原则划分出地区和人群,然后抽样、加权求和准确。再比如,对于股票市场,一天交易之后,可以得到精确的交易总量,但是人们宁可用部分核心企业的股票交易量来反映股票的变化,这便是“恒生指数”“上证指数”等等。特别是到了21世纪,银行、保险、电信,以及材料科学、基因组学等新兴学科的实验中涉及大量数据,其分析更需要借助随机方法了。我想,大概就是因为这些原因,国家才决定在现在中小学数学的教学中加入统计学的内容。

因此,你们谈到的关于统计学的定义都是可以的。但是,要把握统计学的根本思想方法却是非常困难的。

问:那么,您认为统计学的基本思想方法是什么呢?

▲ 史教授:这是一个不容易回答的问题。对于统计学的掌握很大程度上依赖于“感悟”,需要较长时间的理解与实践。我们先来回顾一下中小学传统数学的教学内容。这些内容主要是对日常生活中见到的图形和数量的抽象,研究的问题是图形的变化与计算法则,研究的基础是定义和假设,研究的方法主要是归纳、递归、类比和演绎推理。

统计学则不同。如我上面谈到的,统计学是通过数据来进行分析和推断的。因此,统计研究的基础是数据。这些数据的特点是,对于每一个数据而言,都具有不确定性,我们需要抽取一定数量的数据,才可能从中获取信息。因此,统计学的研究依赖于对数的感悟,甚至是对一堆看似杂乱无章的数的感悟。通过对数据的归纳整理、分析判断,可以发现其中隐藏的规律。因为可以用各种方法对数据进行归纳整理、分析判断,所以,得到的结论也可能是不同的。而且,我们很难说哪一种方法是对的,哪一种方法是错的,我们只能说,能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。比如,我们希望知道某公司员工的收入情况,可以用平均数也可以用中位数,很难说哪个方法对哪个方法错。事实上,如果收入比较均衡,用平均数要好一些;如果收入比较极端,用中位数要好一些。当然,最好的方法是对收入情况进行分类,但是分类的方法又有好坏之分。我们可以看到,统计学关心更多的是好与不好,而中小学传统数学关心更多的是对与错。

因此,统计学的基本思路是,根据所关心的问题寻求好的方法,对数据进行分析和判断,得到必要的信息去解释实际背景。

(二)统计学的研究对象

问:我们对于统计学有了一定的了解。从您的谈话中我们感觉到,统计学似乎是包罗万象的。那么,统计学到底研究什么呢?

▲ 史教授:是这样的,统计学的应用面非常广,凡是涉及数据分析的都可以成为统计学的研究领域。特别是到了近代,人们希望更加精细地了解实际背景,更多地借助数据分析,甚至人文科学也是如此,并且逐渐形成了专业的研究领域,比如计量经济学、计量社会学、计量教育学、计量心理学等等。这些研究领域分析方法的基础大体是统计学。统计学并不研究某一个领域的具体内容,在本质上只是研究数据分析的方法,这包括创造新的方法,也包括分析方法的好坏、分析方法的适用条件。

问:你能否结合中小学统计的内容谈得更具体一些?特别是,在统计教学过程中,应当把握的基本原则是什么呢?

▲ 史教授:可以。在统计研究中首先遇到的问题是如何获取“好”的数据。所谓“好”的数据是指那些能够更加客观地反映实际背景的数据,而要获取得好的数据则要依赖于“好”的方法。根据数据的不同,方法主要分两大类,一是通过调查收集数据,二是通过实验制造数据。中小学统计教学中涉及的主要是前者,称为抽样调查(而后者通常被称为实验设计)。抽样调查又包含两个方面,一个是对已经存在的数据的收集,称之为抽样,比如市场的物价、学生的身高、企业的产值等等;另一个是需要我们了解才能够获取的,称之为调查,比如美国总统的民意支持率、人们日常消费的主要项目、中小学生喜欢的歌手等等。

根据问题的不同,所要采用的方法也可能不同,但是要建立两个基本原则。第一个基本原则是,采用能够获取“好”的数据的方法。为了获取好的数据,我们需要尽可能多地利用对于实际背景已有的先验知识。比如,希望知道学生的身高,先验知识是“年龄之间差别很大”。因此,最好是根据年龄段学生数的多少按比例抽取样本,我们称这种方法为“分层抽样”。可以看到,统计方法的直观想法是很明显的。如果对于实际背景一无所知,那么,一定要随意抽取样本,这便是“随机抽样”。比如,希望知道学生喜欢的歌手,因这些学生年龄之间差别可能不大,就可以采取“随机抽样”。当然,也可以用“分层抽样”,但是要麻烦得多。第二个基本原则是,采用简单的方法。能够基于上述两个原则的方法就是一个“好”方法。我们不要小看第二个原则,一个好的方法往往能够节省很多调查经费。这就是为什么咨询公司非常欢迎统计学家的原因。

问:刚才你提到了“样本”,许多教师对这个概念总是感到费解。

▲ 史教授:是的,这个概念很难把握。样本实质上就是数据,但是,统计学中涉及的数据往往是具有随机性的。还是回到“学生的身高”这个问题上来。在抽样之前,我们并不可能知道具体数据的大小,这些数据对于我们是随机的;为了讨论出一个好的方法,我们假想能够得到这些数据,并且假想这些数据的出现是依据某种规律的,这种规律就是数据出现的可能性的大小,我们称之为“概率”。比如,高年级学生出现大数据(高个子)的可能性要大于低年级学生,就是说,出现大数据的概率要大。但是,只有当抽样之后,我们才能得到真实的数据,才能进行实质的计算与分析。这样,我们所要研究的数据既具有随机性又具有真实性。为了方便起见,我们称这样的数据为样本。

问:根据你的阐述,统计学怎么有一些哲学式的思考呢?

▲ 史教授:你们理解到了根本。这是统计学与中小学传统数学的最大区别。传统数学可以根据假设和规定的原则进行计算或者推理,但是统计学往往要问你所采用的方法是不是有道理,是不是还有更为合理的方法。不过,传统数学是统计学不可缺少的工具。

问:是不是因为统计学需要计算呢?

▲ 史教授:不仅仅如此,判断统计方法的好坏很大程度上也是依赖传统数学的。

问:你能不能结合中小学统计课程、教学,谈得更具体一些?

▲ 史教授:可以。假如我们得到了数据,由于数据看起来是杂乱无章的,就需要进行必要的整理,整理的实质是对大量的数据进行“压缩”。根据问题的不同,压缩的方法也有所不同。比如,希望知道学生的平均身高,称之为“总体均值”。我们可以计算样本的平均数,然后用样本的平均数去估计总体均值。样本平均数就是对于数据的一种压缩方法。当然还可以用其他的方法,比如计算中位数,或者计算最大数和最小数的平均数。那么,哪一个方法要好一些呢?虽然我刚才谈了平均数和中位数的使用条件,但这仅仅是一种描述性的。对于数据压缩也有一个原则,就是不能失去我们所要研究问题的信息,满足这个条件的压缩后的值被称为“充分统计量”。这个原则的数学表达需要借助“条件概率”,涉及很深的数学。因此,统计学需要哲学的思考,也需要严格的数学推理。事实上,对于总体均值,上面的三个压缩后的量中只有样本平均数是充分统计量。直观地想,样本平均数以局部的特征估计总体的特征,可能要好一些。这是因为,虽然样本平均数依赖样本的选取也是随机的,但是我们可以想象,当我们反复取样本计算时,这些样本平均数应当在总体均值附近摆动。当然,我们还可以建立其他的准则来判别方法的好坏,只要这个准则是合理的。比如,我们可以验证,样本平均数是使“与所有数据差的平方的和达到最小”的数;样本中位数是使“与所有数据差的绝对值的和达到最小”的数。这两个准则都是有道理的。

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因此,作为教师,在统计课程实施的过程中,不仅仅需要知道如何去计算,还需要知道之所以这样计算的道理。只有这样,在讲课的时候才可能心里更有底,才可能根据学生的反应随时调节教学策略。再比如统计图表,是为了更直观地表达数据,这也是数据整理的一种形式。根据我们所要研究问题的不同,表达方式也可以有所不同。

(三)统计学研究方法的本质

问:严士健先生认为,统计学的研究方法与传统数学的研究方法有一个本质上的不同:统计学的研究方法是基于归纳,而传统数学是基于演绎。

▲ 史教授:我想,这是从思辨的角度来考虑的。一般来说,推理分为演绎和归纳。上面已经谈到,传统数学在本质上研究的问题是确定性的,基础是定义和假设,遵循约定原则进行严格的计算或者推理,因此更多的是演绎;统计学在本质上研究的问题是随机的,是非确定性的,通过较多的数据进行推断,也就是通过许多的个别来推断一般,可以认为是一种归纳。但是,正如我在上面也谈到过的那样,在许多情况下,哲学思考后的数学表达也是严格依赖于演绎的。

二、中小学统计课程设计的核心问题

(一)统计与概率课程设计的总体构想

问:《标准》《标准》指《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》。在总体目标中提出,要使学生能够“经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程,掌握统计与概率的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题;经历运用数据描述信息、作出推断的过程,发展统计观念”。在课程实施中,许多在教学一线的教师,甚至学科教学的专家都感到统计的内容安排不好把握,甚至对《标准》关于统计的设计提出了一些质疑。

作为统计学家,你认为如何设计中小学各学段的统计课程内容更合理呢?

▲ 史教授:对中小学统计课程内容的设计,我没有进行过专门的研究。我想,在讨论这个问题之前,首先要清楚的问题是,除了知识之外,统计学的教育功能是什么?或者说,统计学的教育价值是什么?

问:在中小学阶段,统计学的教育价值是什么呢?

▲ 史教授:我在上面都已经谈到了,现在再总结一下。主要有三点。首先,养成通过数据来分析问题的习惯。其实质是通过事实来分析问题,当遇到问题时,应当去调查研究,应当去收集数据,在此基础上进行的推断才可能客观地反映实际背景。其次,建立随机的概念。有些事情可能发生,有些事情可能不发生,这在日常生活中是大量存在的。即便如此,只要我们掌握的信息多了,也能够合理地推断实际背景。第三,学习如何去判断事情的主要因素。我已经谈到,统计学能够在一堆看似杂乱无章的数据中提炼信息、寻找规律,这就需要抓主要因素。比如我刚才谈到的股票市场的例子,核心企业就是主要因素。在统计学中,可能还有其他方面的教育价值,但在中小学阶段统计的教育价值主要就是这三点。

问:如何通过这三点来说明中小学统计内容的课程、教学设计呢?

▲史教授:教育价值,或者说教育功能是进行课程、教学设计的灵魂,是课程、教学设计的核心目标。如果中小学统计学课程、教学设计的核心目标是培养学生“通过数据来分析问题”,课程、教学设计的总体框架就应当是,体现从收集数据到分析推断的全过程,并以这个过程为主线,抓住要点,循序渐进。我们以小学统计为例, 在第一学段(1~3年级),可以侧重于统计直觉的培养。首先,应该对数有一定的理解和感悟,这主要是数的大小的比较,以及对于数的分类。后者对于学习现代数学和现代统计学都是重要的,但是过去我们很少接触。比如,我们可以让学生“建立一个原则,在这个原则下给全班同学分类”。显然分类方法是多种多样的,这个原则可以是男女、出生月份、家庭区域等等。再比如,把全国各省的GDP统计数据提供给学生,让学生根据GDP的多少对各个省进行分类,并讲出分类的标准。其实,这里也涉及抓主要因素的问题,分类的标准就是抓主要因素。

其次,学习一些抽样的方法,最好针对身边的事情。比如,同学们的身高、脚的大小、睡觉的时间等等。在这其中可以得到一些趣味性的结果。可以学习平均数,也可以学习统计表、直方图等等。

最后,可以学习分层抽样,并且通过比较,领会分层抽样的好处。因为有了数据的分类的基础,学习分层抽样就比较自然了。

在第二学段(4~6年级),可以有一些具有背景的理性的思考。比如,再进行学生身高的调查,然后与以前的数据比较,看身高的变化,其中可以得到许多有趣的学习:可以作直方图或折线图,然后比较;可以分类比较;可以通过斜率来分析变化率;甚至可以通过变化率来预测未来。除此之外,还要进行社会调查,比如市场物价调查,评估物价的上升还是低落,这里也涉及抓住主要因素的问题。

在这个阶段,可以渗透随机和概率的思想,分清楚有些事情可以直接判断可能性的大小,有些事情则需要调查估计可能性的大小。可以涉及加权平均。中位数和众数的学习一定要结合具体的案例进行学习,并且与平均数比较,这是因为中位数和众数在日常生活中用得不多。

最好有一个案例能够贯穿小学统计教学的全过程,比如我刚才谈到的身高的调查分析,让学生积累调查记录,逐年比较,从而对统计的学习有一个整体的了解。

(二)处理统计与概率关系的策略

问:在中小学数学课程教学中,应当如何处理统计与概率的关系?

▲ 史教授:概率论与统计学有很大的差别。虽然二者都研究随机现象,但概率论的研究基础还是定义和假设,这与传统数学很相似,而统计学的研究基础是数据,它的研究要借助概率论的结果。比如我刚讲到的“分清楚有些事情可以直接判断可能性的大小,有些事情则需要调查估计可能性的大小”,前者是概率计算,而后者是统计推断。在小学阶段,概率所涉及的形式化数学知识很少,只需要很好地理解分数。我曾经在前面的访谈中讲到,真分数有两个含义:一个是0与1之间的实数,一个是比率。后者可以理解为概率。如果再懂得一些代数知识,就能够理解概率中的逻辑运算和计算的基本原理。

中学的统计教学也涉及分数,也是借助比率的含义,也是表示事件发生可能性的大小。但是,在统计的计算中,分数是基于样本计算出来的,是与样本量的大小有关系的,在计算的过程中必须注意到这一点。比如,希望了解学生对某一项活动的支持率,一班有50人,10人赞同,支持率为;二班有45人,15人赞同,支持率为,那么总体支持率是否为(+)÷2=呢?不是的。应当考虑样本量的比例和,则总体支持率为,大约为。这就是加权平均,权为样本量的比例。当然也可以用来进行计算。两个计算都是合理的,因为都考虑到了样本量。但是前一个式子已经不需要样本的具体数据了,因而是更为深刻的。

从知识的角度来看,统计学的研究需要以概率论为基础。但从认知的角度看,统计比概率更为具体,概念和定义用得更少,因此,在小学阶段应当以学习统计为主,到初中阶段可以学习一些概率的初步知识,但是仍然要注意结合生活背景和实验背景,对概念的表达要以描述性为主,不要出现太多的专业术语。我想,概率的全面学习安排在高中阶段更为合适。

(三)统计与现代信息技术的整合

问:从课程改革实验区的情况看,计算器、计算机的日益普及为学生学习统计与概率提供了更加方便的工具。你是如何看待计算机在统计课程教学中的作用的呢?

▲  史教授:如我在上面谈到的那样,中小学统计的课程教学应当是一种直观的教学。什么是直观的教学呢?就是更多地依赖于学生的经验,特别是他们曾经亲身经历过的经验,从中去感悟、分析、理解、抽象,最后形成概念,学会判断。反复重复这个过程,直觉就建立起来了。直觉在本质上是不借助思维和理智的判断。而我们现在的教学,往往是从抽象开始的,没有重视从经验开始的前期过程,因而很难培养出学生的直觉。

在这个教学过程中,利用计算器、计算机是有益的,这不仅仅是因为计算便捷,更重要的是摆脱了严格意义下的数学计算,有利于培养学生对数据的直观感悟。

现代统计学是离不开计算机的,除了计算,更重要的是模拟实验。我不知道是不是可以在中小学阶段进行这种尝试。在一些经验的基础上,我们不一定每一次都去做非常实际的实验,而是可以在计算机上模拟实验,一方面可以省时省力,一方面可以把教学变得更富有探究性和趣味性。比如,我们可以设计一个袋子,里面有一定数量的白球和红球,让计算机来模拟摸球的实验,反复实验,看看模拟概率与计算概率的关系;还可以设计一个已知均值的总体,产生随机数来分析样本平均数与总体均值的关系;也可以模拟市场调查;等等。

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