发散思维 灵活解题
发散思维 灵活解题
江苏省泰州市第二中学 陶惠民
有时我们在处理一些条件比较复杂的问题时，常常不知道如何下手。发生这种情况，主要是因为我们没有深入地挖掘问题中的条件，没有多角度地思考解决问题的方法。下面就一道解析几何题谈谈如何对问题进行挖掘和思考。
[问题]： 已知一条直线被两直线和截得的线段的中点是点,试求这条直线的方程.
[分析] 本题有三个条件，
(1)直线的方程
(2)直线的方程
(3)直线被直线,截得的弦的中点是。 如图1
思路一 从两点确定一条直线的角度出发想到求点或N的坐标
因为两点确定一条直线，而弦的中点已知，如果能求得弦的两个端点中某一个端点的坐标,那么由两点式方程的求法就可以求得直线的方程了。怎样求点或的坐标呢?
方法1 直接设出点的坐标由方程思想，布列方程式，求得点的坐标。
∵∴由条件(1),(2)有
①
②
又由条件(3)及中点坐标公式有
③
④
联立①,②,③,④可求得
易求得直线的方程为.
小结：本题设了4个未知数，布列了4个方程式，常规思路,但变量多,运算量偏大。
方法2 优化设点。方法1中未知量有4个，运算较为复杂。因为直线上点的坐标满足直线的方程，为了减少未知量,直接应用条件(1),可以设点.
同理应用条件(2)可以设点再由条件(3)及中点坐标公式有：
可求得: (余略)
小结：本题设了2个未知数，布列了2个方程式，变量减少，运算量减小。
方法3 灵活应用条件设点.
同方法2应用条件(1)可设点，这时可通过条件(3)由中点坐标公式设出点。再由条件(2): ∵,∴将点的坐标代入方程，可求得 (余略)
小结：本题灵活使用了条件，由条件(1)参数设点后，利用条件(3) 及中点坐标的特点，设出另一个点，设了1个未知数，布列了1个方程式，运算量进一步减小。
方法4 由平面几何知识发现点的位置，求出点的坐标。 如图2
设直线关于点对称的直线为，由平面几何知识易知：直线上的点关于点对称的点必在直线上，又点在直线上，∴直线与直线的交点必为点
略解 ∵直线关于点对称的直线方程为，
.∴联解方程 可求得 （余略)
小结：运用平面几何知识发现点既在直线上又在直线关于点对称的直线上，首先确定了点的位置，然后由代数法求得点的坐标，比较巧妙。
思路二 从求斜率的角度出发，联想到待定系数法
思路一中，因为已经知道一点，容易想到若再求出一点M的坐标，则由两点式就可以求出直线的方程。进一步思考： 两点能确定一条直线，一点及直线的斜率也可以确定一条直线的。本题已知点,可不可以求出直线的斜率，然后由点斜式来求直线的方程呢？
方法5 待定系数法（普通方程）
易知直线x=1不满足题设，不妨设直线的方程为，分别代入条件(1),(2)，可求得点、的横坐标 ,
由条件(3) ：
∴直线方程为
思考：既然可以设出直线的普通方程通过待定系数法求解问题，那么也可以设出直线的参数方程通过待定系数法来求解问题的。
方法6 待定系数法（参数方程）
设直线的参数方程为
分别代入条件(1)(2)求得：
由的几何意义及中点的特点可知： (余略)
思考： 从直线系的角度观察，可以发现直线是过直线和的交点的一组直线系中过点的一条特定的直线。
方法7 待定系数法（直线系方程）
由方法4可知，过点 (与的交点)的直线系方程可以设为：
∵直线过点，∴将 代入上式得 ，
∴直线的方程为
思路三 因点是线段的中点，由它的特殊性联想到曲线的中点弦问题
中点弦问题是圆锥曲线中的常见问题,它揭示了弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的内在联系,本题可以把两条相交直线和看成是二次曲线：
，这时，原命题等价转化为：求与曲线相交且以为中点的弦所在直线方程.
方法8 （中点弦问题）
将直线和看成曲线，其方程为：
依题意，设所求直线的方程为，
代入曲线的方程式并整理得：
设其两根为，则由或（舍去）
∴所求直线方程为
小结： 方法5,6,7为待定系数法，分别设出直线的普遍方程、参数方程和直线系方程,然后根据弦的中点的特点，布列方程式，求出待定系数，操作性强。
方法8则把二条直线看成是一条曲线方程，将直线间的问题转化为直线与二次曲线的问题,然后由弦中点的特点，利用韦达定理布列方程，简单、有效地解决了问题。
由此可见，深度挖掘问题中所隐含的条件,并灵活地运用基本知识，发散、多角度地思维，可以开拓思路解决实际问题。
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