一种新的小波消噪阈值选取方法
收稿日期 :2004 - 10 - 15 ;修回日期 :2004 - 11 - 01
作者简介 :戴朝华(1973 - ) ,男 ,湖南新化人 ,西南交通大学电气工程学院博士研究生 ,(E - mail) dchzyf @126. com。
文章编号 :1001 - 2265(2005) 06 - 0033 - 03
一种新的小波消噪阈值选取方法
戴朝华1 , 朱云芳2 , 陈维荣1
(1. 西南交通大学 电气工程学院 , 成都 610031 ; 21 西南交通大学 峨眉校区计算机系 , 四川 峨眉 614202)
摘要 :小波多尺度分解是一种有效的信号去噪方法。对于非平稳信号的消噪 ,主要是选取合适的小波及每层小波系数的阈
值。介绍了阈值计算的 SURE 阈值、多分辨率 SURE 阈值和平移不变阈值 ,以及硬取阈值、软取阈值估计子 ,同时 ,提出了一
种新的小波消噪阈值选取方法 ———半硬取阈值(SHT,SemiHard Thresholding) ,并利用电子测量中的 3σ准则和已有研究成果 ,
提出了相关参数的确定原则 ;并与硬取阈值、软取阈值进行比较。仿真结果表明 ,消噪效果有明显的改观。
关键词 :小波去噪 ; 硬取阈值 ; 软取阈值 ; 多分辨率 SURE; 平移不变
中图分类号 :TN91117 文献标识码 :A
A Novel Thresholding Algorithm of Wavelet De2noising
DAI Chao2hua1 , ZHU Yun2fang2 , CHEN Wei2rong1
(1. School of Electrical Engineering , Southwest Jiaotong University , Chengdu 610030 , China ; 2. Department of
Computer of Emei Campus , Southwest Jiaotong Umiversity , Sichuan Emei 614202 , China)
Abstract : It is an effective method to reduce the noise in signals by wavelet multiscale decomposition. The keys of reducing noise in non2
stationary signals are to select good mother wavelet and thresholds for each layer wavelet decomposition coefficients. Threshold calculation
methods , such as SURE , Multiresolution SURE , and Translation2Invariant thresholding , are introduced. Besides , estimate arithmetic op2
eraqtors , including hard2thresholding , soft2thresholding , are presented too. In addition , a new means of threshold selections , named as
SemiHard Thresholding , for wavelet denoising is first introduced , and the principles of deciding corresponding parameters are put forward
based on 3σ2rule applied in electronic measurement and relevant research achievement. Further more , the comparisons of it with hard2
thresholding , soft2thresholding , are carried out. The simulations are conducted about the applications of them in digital signal denoising ,
and the results shows the denoising effects are improved.
Key words : wavelet de2noising; hard threshold ; soft threshold ; multiresolution SURE; translation invariant
0 引言
如何消除信号中的噪声 ,是信号处理的永恒主题。在实际
工程中 ,所得到的信号多为非平稳信号 ,采用传统滤波方式 ,不
能有效地将信号高频和由噪声引起的高频干扰加以区分。由于
小波变换具有低熵性、多分辨率、去相关性和选基灵活性的特
点 ,使得小波变换能在小波域很好地实现信噪分离。继 Mallat
提出信号的模极大值消噪[1] 后 ,Donoho 等人提出了小波阈值消
噪法[2 ,3] ,此后很多人对此不断改进[8～11 ,14] 。本文通过对 Dono2
ho 硬取阈值和软取阈值的改进 ,提出了一种新的阈值估计方
法 ,并通过仿真试验表明该方法的优越性。
1 小波消噪
小波消噪可按以下三个步骤进行 :
(1) 分解。选择小波和小波分解的层次 , 计算信号 s ( n) 到
N 层的小波分解;
(2) 高频系数的阈值选择与量化。对于从第一层到第 N 层
的每一层 ,选择一个阈值 ,并且对高频系数用阈值收缩处理;
(3) 重建。根据第 N 层的低频系数和第一层到第 N 层的经
过修改的高频系数 ,计算出信号的小波重建。
如何将噪声很好分离 ,需要考虑选取适当的小波、确立最佳
的分解层数和选取合适的阈值;阈值选取和量化是最关键的。
2 阈值的计算
在基 B = { gm} 0 ≤m ≤N 下 ,从测量信号 X = f + W 估计 f 的
对角估计子可以写成
F = ∑
N - 1
m =0
dm ( XB [ m ]) gm (1)
其中 XB [ m ] =〈X , gm〉, W 为噪声 ,考虑到自然信号小波系
数的直方图可用广义高斯分布来模拟[1] ,假设 W 为方差为σ2 的
高斯白噪声。当 dm 是阈值函数时 , 这个估计的风险接近于用
oracle 估计子所获得的下界[1] 。
选取的阈值 T必须刚好大于噪声的最大水平 ,可以证明[1] ,
噪声的最大幅度有一个刚好低于σ 2logeN 的非常高的概率 ,
所以通常选取阈值 T = σ 2logeN 。至于噪声方差 ,当忽略有用
信号 f 的影响 ,可由{〈X ,ψl , m〉} 0 ≤m ≤N/ 2 的中位 Mx 来估计[1] :
?σ = MX
0. 6745 (2)
3 阈值的估计子
小波阈值去噪方法的核心是小波系数的估计。硬阈值和软
阈值在实际中得到了广泛应用。硬取阈值 (HT) 的实现是
dm ( x) = ρT ( x) = x 当 | x | > T
0 当 | x | ≤ T
(3)
软取阈值 (ST) 的实现是
·33·
2005 年第 6 期 ·设计与研究·
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dm ( x) = ρT ( x) =
x - T 当 x ≥ T
x + T 当 x ≤- T
0 当 | x | ≤ T
(4)
在硬阈值处理中 ,由于收缩函数的不连续性 ,会在恢复的信
号中产生一些人为的“噪声点”;而软阈值的连续性较好 ,数据处
理容易 ,但由于大的小波系数的减小使恢复的信号会损失一些有
用的高频信息。文献[7] 指出小波收缩消噪过程各个尺度的消噪
阈值按折线的方式递减; 根据李氏指数(Lipschitz Exponents) 的理
论可知对数变换域的均一李氏指数条件表示为 :
log( W2
jf ( a , b) ) ≤log2 K + jα
可以证明随机分布的白噪声信号的均一李氏指数为 - 1
2 - ε(ε
> 0) [13] ,也就是说噪声小波变换模值上界的衰减是符合指数规
律的[14] 。本文在此基础上 ,针对硬阈值和软阈值算法的缺陷 ,提
出一 个 新 的 估 计 子 — 暂 称 半 硬 取 阈 值 (SHT,SemiHard
Thresholding) ,实现如下 :
①线性半硬取阈值 :
dm ( x) = ρT ( x) =
x 当 | x | ≥ a
0 当 | x | < bL
a
a - bL
( x - bL ) 当 bL ≤| x | < a
(5)
②钟型半硬取阈值 :
dm ( x) = ρT ( x) =
x 当 | x | ≥ a
e- ( x- a) 2
bB 当 | x | < a
(6)
4 阈值的细化
4. 1 多分辨率 SURE 阈值
Stein 的无偏风险估计子 SURE 阈值为 :
T =
σ 2logeN 当 ‖X ‖2 - Nσ2 ≤εN
T 当 ‖X ‖2 - Nσ2 > εN
(7)
对于分段正则信号有一部分大系数 |〈f ,ψj , m〉| ,它随尺度
2j 增加而增大[1] ,而高斯白噪声的小波变换模极大值的平均稠
密度反比于尺度 2j[14] 。为利用此先验信息 , 将阈值选取自适应
于尺 度 2j 。在 每 一 尺 度 2j , 由 尺 度 2- j 个 噪 声 系 数 {〈X ,
ψj , m〉} 0 ≤m <2 - j 通过最小化风险计算出相应的自适应多分辨率
SURE 阈值 Tj ,然后 ,利用此阈值在每一尺度 2j 取阈值。
4. 2 平移不变取阈值
为了克服小波阈值去噪法得到的去噪版本出现振铃效应和
伪 Gibbs 效应等失真 ,Coifman 和 Donoho 通过一种循环平移的方
法 ,提出了平移不变 (TI) 小波变换。
TI 算法估计 f 的所有平移且在逆平移后对它们取平均。对
所有的 0 ≤p < N ,通过平移后的数据 Xp[ n ] = X[ n - p] 取阈
值后算得 f p的估计子
Fp = ∑
N- 1
m =0
ρΤ( Xp
B [ m ]) gm (8)
其中ρT( x) 为硬或软取阈值函数。通过逆平移以及求平均 ,
获得平移不变估计子
F[ n ] = 1
N ∑
N- 1
p =0
Fp[ n + p] (9)
4 仿真实验
本文对小波分析 (sym6 小波基 ,5 层分解) 的高频系数半硬
取阈值及其平移不变阈值、SURE阈值、多分辨率 SURE进行仿真
实验 ,并与传统的硬取阈值和软取阈值进行比较。原始信号与加
噪信号来自文献[1]。对于高斯噪声 ,根据 3σ准则[1 ,5 ,13] ,而阈值
T = σ 2logeN ,则自然联想到上式中 a 取 3 T 的 。通过下面的
仿真研究得知 ,事实上 a = 3 T 确实是较优值;线性半硬取阈值
中 bL = (1 ～ 1. 5) T、钟型半硬取阈值中 bB = (3 ～ 3. 5) T 时效
果较佳。文献[1] 指出 ,想得到可比较的 SNR 值 , 软取阈值的阈
值必须大约为硬取阈值的一半;对于本文提出的新方法 ,其阈值
与此相似 ,大概为 0. 4 ～ 0. 6 倍。以上诸参数的确定可以使用其
它的一些优化策略 ,本文按照最大信噪比原则进行启发式搜索
得到较优值。总之 ,阈值自适应于噪声方差 ,而调整参数自适应
于阈值。
各种消噪方法得到的信噪比(SNR) 值如表 1,部分处理结果的
视觉效果如图 1 ～ 8。可见 ,相对传统硬取阈值和软取阈值 ,本文提
出的半硬取阈值方法的信噪比有了明显提高 ,视觉效果也更好。
表 1 信噪比值的比较
阈值
估计子 硬取阈值 软取阈值 钟型半硬
取阈值
线性半硬
取阈值
固定阈值 22. 27(24. 44) 21. 36(21. 83) 23. 67(24. 97) 24. 20(25. 69)
SURE 22. 44(24. 92) 22. 57(25. 39) 23. 90(25. 88) 24. 04(25. 98)
多分辨率 SURE23. 90(25. 86) 24. 27(24. 63) 24. 47(25. 90) 24. 48(26. 38)
注 : ①加噪信号的信噪比 SNR = 13. 04 ; ②括号内为平移不变阈值
图 1 原始信号 图 2 含噪声信号
图 3 平移不变硬取阈值 图 4 平移不变软取阈值
图 5 平移不变半硬取阈值 图 6 多分辨率 SURE 平移
不变硬取阈值
图 7 多分辨率 SURE 平移 图 8 多分辨率 SURE 平
不变软取阈值 移不变半硬取阈值
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·设计与研究· 组合机床与自动化加工技术
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5 结论
由于噪声和有用信号的频率分布特点及小波变换的时频特
性 ,使小波信号消噪具有较好的优势 ,但应对噪声性质和信噪比
及具体信号进行分析采取合适的处理方法 ,本文对相关技术进
行了简要介绍和仿真实验。从视觉效果和信噪比来看 ,新方法
比传统的硬取阈值和软取阈值都有所改进。
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(编辑 李秀敏)
(上接第 32 页) 布局的调整 ,对其设备优化布局的研究显得尤为
重要。虽然目前人们提出了多种算法来优化设备布局 ,但是这
些算法多集中于将给定的机床分配到相应的工位以保证运送加
工材料的时间最小[6] 。由于可重构制造系统的设备布局不是推
倒现有系统 ,而是尽可能利用现有的制造资源 ,对可重构制造系
统设备布局的评价指标 ,除了运送加工材料的时间最小外 ,还需
要考虑原有资源的充分利用 ,最小的斜升时间 ,产品质量等一系
列要素。
(3) 制造系统车间层控制结构的研究 :为适应激烈的市场竞
争 ,控制系统应具有灵活性 ,能够在不产生较大扰动的情况下允
许添加和减少设备 ,满足不同生产的需要。合适的控制结构对
于一个制造系统来说 ,是至关重要的 ,由于可重构制造系统随着
生产的变化需要经常添加或减少设备 ,因此其控制结构必须具
有动态变化的能力。CORBA 是对象管理组织 OMG定义的公共
对象请求代理结构 ,它可以实现跨异构平台的互操作。Multi A2
gent 技术的发展为复杂系统的控制提供了一条新的途经 ,采用
Multi Agent 技术进行控制时 ,不追求单个的、庞大的、复杂的系
统结构 ,而是按照运行的要求 ,从功能上将系统划分为多个智能
体 ,形成 Multi Agent 系统 ,各个 Agent 之间相互通讯 ,彼此协调 ,
共同完成复杂的作业任务[7] 。以 CORBA、Multi Agent 技术为基
础 ,采用分布式控制结构 ,构建车间层的控制系统 ,是比较合适
的解决方案。
(4) 缩短斜升时间的故障诊断和过程监控 :所谓斜升时间 ,
指的是新建或重组制造系统运行开始后达到规划或设计规定的
质量和成本的过渡时间。由于可重构制造系统需要经常重组 ,
对缩短斜升时间的研究相对于其它制造系统更有必要 ,它也是
可重构制造系统的一个重要性能测度指标。从函数理论来看 ,
制造系统是市场需求的泛函 ,制造过程中的物流既是市场需求
的泛函也是产品生产过程的函数 ,描述产品和制造过程变换的
流动原理称为变流理论(the stream of variation theory) 。研究变流
理论可及时控制、检测物流河 ,使物流系统新建、变化后快速达
到和保持系统运行性能的技术经济指标。运用变流理论指导下
的过程工程、监视与诊断和因果分析 ,以及机床 (自) 诊断与(自)
校准系统降低斜升时间 ,快速调整、控制重组后的系统运行性
能[8] 。
3 前景展望
美国国家研究院经对世界 40 位专家咨询后 ,于 1998 年提
出的《2020 年制造业挑战预测》中把可重构制造系统列为 2020
年前制造业面临的十大关键技术之首 ,国内外学者付出了大量
的精力和时间对其进行研究 ,但是到目前为止 ,可重构制造系统
的理论研究虽已取得了一定的进展 ,但整个研究工作还没有形
成完整的体系 ,可重构制造系统的原型尚未制造出来[9] 。可以预
期随着研究的深入和各项相关技术的发展 ,制造系统将会产生质
的飞跃 ,可重构制造系统必将在许许多多企业得到推广应用。
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(编辑 李秀敏)
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