底部框架_抗震墙结构在平稳随机干扰下的响应
四川建筑科学研究
Sichuan Building Science
第 34卷 第 1期
2008年 2月
收稿日期 : 2006212214
作者简介 :郑 宇 (1975 - ) ,男 ,山东济宁人 ,硕士研究生 ,工程师 ,
主要从事结构工程的研究。
E - ma il: zhengxinyu56@163. com
底部框架 —抗震墙结构在平稳随机干扰下的响应
郑 宇 1 ,王月明 1 ,吴 芳 2 ,毛 杰 3
(1. 西南科技大学土木工程与建筑学院 ,四川 绵阳 621010;
2. 西南科技大学基建处 ,四川 绵阳 621010;
3. 民航飞行学院广汉分院 ,四川 广汉 618307)
摘 要 :研究了底部框架 —抗震墙结构在平稳随机干扰下的响应 ,通过考虑底部框架和上部砌体协同工作 ,推导给出了求解
该结构形式随机响应的方法 ,为解决此类结构抗震设计提出了有益建议。
关键词 :底部框架 —抗震墙 ;平稳随机干扰 ;协同工作 ;多自由度体系 ;阻尼矩阵
中图分类号 : TU311. 3 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 1933 (2008) 01 - 0124 - 03
The response of multi2story masonry building with frame2shear walls
under smooth random disturbance
ZHENG Yu1 , WANG Yuem ing1 ,WU Fang2 ,MAO Jie3
(1. Southwest University of Science and Technology, M ianyang 621010, China;
2. Southwest University of Science and Technology,M ianyang 621010, China;
3. Civil Aviation Flight University of China Guanghan Sub2College, Guanghan 618307, China)
Abstract: The paper investigated the response ofmulti2storymasonry buildingwith frame2shearwalls under smooth random disturbance,
and developing the computing method through calculating the concert between uppermasonry and the bottom frame2shearwalls, so will
improve the seism ic checking computation method.
Key words:multi2story masonry building with frame2shear walls; smooth random disturbance; concert; multi2degree of freedom system;
damp matrix
0 引 言
底部框架 —抗震墙房屋是指底部一层或两层为
框架 —抗震墙结构、上部各层为砌体结构承重的房
屋。GB50011 - 2001《建筑抗震设计规范 》将底部为
一层框架 —抗震墙房屋称为底层框架 —抗震墙房
屋 ,而将底部两层为框架 —抗震墙房屋称为底部两
层框架 —抗震墙房屋。
底部框架砖房是由两种承重体系和抗侧力体系
组成 ,上部为砖墙承重 ,纵、横墙间距较小 ,具有一定
的承载能力 ,各层抗侧刚度通常也较大 ,但变形和耗
能能力较差 ;底部一层或两层框架具有较好的承载
能力、变形和耗能能力。由于框架抗震墙部分的抗
侧刚度比上部砖墙小得多 ,这样 ,房屋刚度沿高度方
向会有一突变 ,形成上刚下柔结构 ,这对抗震来说是
不利的。研究其在地震作用下的响应和其作用原
理 ,对该结构形式的建筑设计是很有帮助的。
1 结构随机振动模型
底部框架 —抗震墙结构在水平地震动作用下 ,
从总体上看是处于一种剪切变形状态 ,在通常的分
析工作中 ,可以假定墙的竖向刚度或柱的轴向刚度
是很大的 ,楼面和屋盖是刚性的。这样就基本实现
了楼板和屋盖都只在各自所在的平面内运动 ,且每
个楼层以致整座房屋都处在一种剪切变形状态之下
的运动模式。当该体系结构对称规整 ,水平地震动
沿房屋的一个对称轴方向作用时 ,楼板和屋盖将只
沿该对称轴方向运动 (各只有一个自由度 ) ,在底部
框架和上部砌体的分界面上 ,底部与上部结构抗侧
刚度有较大差异 ,但其在正常使用状态应满足初始
边界条件 ,即在两种不同结构的交界面上应满足协
调变形 ,这就是利用子结构法构建阻尼矩阵的基础。
下面就将每一楼层作为一个分析单元处理 ,楼层的
质量 (包括墙、柱等 )都集中到相邻楼板和屋盖上 ,
于是 ,这种结构体系的房屋的基本力学模型如图 1
421
所示的串联多自由度体系模型。
图 1 串联多自由度体系模型
Fig. 1 M ulti2degree in series of freedom system
2 随机运动方程的建立与求解
2. 1 建立随机运动方程
体系的运动方程可以写成 :
?M X¨ + …C X· + …KX = F ( t) (1)
式中 ?M ———体系的质量矩阵 ;
…C———体系的阻尼矩阵 ;
…K———体系的刚度矩阵 ;
X ———体系的位移矢量 ,即
X = [X1 , X2 , ?, XN ]T
F ( t) ———体系上的荷载矢量 ,即
F ( t) = [ F1 ( t) , F2 ( t) , ?, FN ( t) ]T
在初始时刻 , t0 = 0,假定体系处于静止 ,即有初
始条件 X (0) = X· (0) = 0,考虑随机过程服从正态分
布 ,为平稳随机过程。其质量矩阵 ?M = [M i ]是很好
构造的 ,刚度矩阵为 :
…K =
K′1 + K′2 - K′2
- K′2 K′2 + K3 - K3
· · ·
·
· ·
- KN - 1 - KN KN
(2)
式中 K′i ———底部为一层、二层框架的抗侧刚度 ,
i = (1, 2) ;
Kj ———上部砌体抗侧刚度 , j = (2, 3, ?,N ) 。
当底部为一层框架时 : K′2 = K2
式中 K′i = K′fi + K′wi , K′fi为框架柱的侧移刚度 ; K′wi
为抗震墙的侧移刚度。
假定体系的质量矩阵 ?M 和刚度矩阵 …K都是实
对称的正定结构 (一般的结构体系均满足这一条
件 ) ,首先解频率方程 :
| …K -ω2 ?M | = 0 (3)
可求得各振型圆频率的平方 (ω2
1 ,ω2
2 , ?,ω2
N ) ,
然后 ,将各振型频率 ωj 代入振型方程 :
( …K -ω2
j ?M )Φj = 0 (4)
可以求得各振型矢量 :
Φj = [φ1j ,φ2j , ?,φN j ]T j = (1, 2, ?, N )
各振型矢量组成的方阵 :
Φ = [Φ1 ,Φ2 , ?,ΦN ] = [φij ] i, j = (1, 2, ?, N )
由确定性的振动理论知 ,振型满足以下正交条件 :
ΦT
i ?MΦ j =
0 i≠j
M i i = j
ΦT
i …KΦ j =
0 i≠j
Ki i = j
在经典阻尼的情况下 :
ΦT
i …CΦ j =
0 i≠j
Ci i = j
2. 2 阻尼矩阵的构建
现在的问题是 ,结构体系底部与上部砌体结构
阻尼存在明显差异 ,经典阻尼的假设不再成立 ,如何
构建起结构层间阻尼矩阵 ? 考虑其协同工作原理 ,
即认为底部框架结构顶部与砌体结构交界面上具有
相同的位移矢量 ,采用子结构法 ,构建其阻尼矩阵 ,
具体形式如下 :
…C =
C′1 + C′2 - C′2
- C′2 C′2 + C′3 - C3
· · ·
· · ·
- CN - 1 - CN CN
(5)
式中 [ C′i ] ———底部框架结构阻尼矩阵 ;
[ C ] ———上部砌体结构阻尼矩阵。
C′i = [ Cf ] (C′i , Cj 的意义和上述刚度矩阵相同 ,
下标 f代表底部框架部分 ) ,底部框架和砌体部分阻
尼组合形式为 :
Cf
C
式中 [ C ] = a0 [M ] + a1 [ K ] (62a)
[ Cf ] = a0f [M f ] + a1f [ Kf ] (62b)
下面 ,介绍 [ C ]和 [ C′i ]的构建过程 ,以 [ C ]为
例 :
令 ζi 为相应于第 i阶振型的阻尼比 ,则有
Ci =ΦT
i ?MΦ i = 2ζiωiM i
Ki =ΦT
i …KΦi =ω2
i M i
(7)
将式 (62a)分别左乘振型的转置 {Φ }T
i 和右乘振型
{Φ}i 得 :
521 2008 No11 郑 宇 ,等 :底部框架 —抗震墙结构在平稳随机干扰下的响应
Ci = a0M i + a1 Ki (8)
式中 Ci ,M i , Ki 分别是第 i阶振型的阻尼系数、振
型质量和刚度 ,其表达式为 :
Ci = {Φ}T
i …C{Φ} i
M i = {Φ}T
i ?M {Φ} i
Ki = {Φ}T
i …K{Φ} i
将式 (7)代入式 (8)得 :
ζi = a0
2ωi
+ a1ωi
2
现在 ,给出两个自振频率 ωi 和 ωj ,就可以写出 a0 和
a1 的解析表达式 :
a0
a1
= 2ωiωj
ω2
j -ω2
i
ωj -ωi
- 1
ωj
1
ωi
ζi
ζj
(9)
从而就可以得到 Ci ,这样 ,就可以构建出结构体系
的总阻尼矩阵。
阻尼比随频率 ωn 的变化规律曲线如图 2所示。
图 2 阻尼比随频率 ωn 的变化规律曲线
Fig. 2 Frequencyωn under d ifferent dam ping ra tio
采用以上公式 ,经过简单的运算 ,就可以得到进
行结构动力反应计算所需要的阻尼矩阵。频率段
[ωi ,ωj ]的选取要涵盖结构的自振频率和场地的卓
越周期 ,不能简单地选取结构的前两阶振型 ,否则 ,
可能导致偏于不安全。
2. 3 结构的随机响应
将 F ( t)写成分量的形式 :
Fj ( t) = - ∑
N
k = 1
m jk F ( t) = rj F ( t) (10)
式中 rj = - ∑
N
k = 1
m jk
则由时域分析法可求得结构的位移为 :
X i ( t) = ∑
N
j = 1
φij ∫t
0
hj ( t - s) Fk ( s) ds
= ∑
N
j = 1
∑
N
k = 1
1
M j
φijφkj ∫t
0
hj ( t - s) Fk ( s) ds (11)
式中 h ( t - s)为体系单位脉冲响应函数 :
h ( t) =
1
ωd
exp ( -ζω0 t) sinωd t t≥0
0 t < 0
式中 ωd =ω0 1 -ζ2
求出位移后 ,可得位移反应的均值为 :
mX i
( t) = ∑
N
j = 1
∑
N
k = 1
1
M j
φijφkj ∫t
0
hj ( t - s) m Fk ( s) ds (12)
互相关函数为 :
RX iX j
( t1 , t2 ) = ∑
N
k, l, m, n = 1
1
M kMm
φikφlkφjmφnm ∫t1
0
∫t2
0
hk ( t1 -
s1 ) hm ( t2 - s2 ) RF lFn
( s1 , s2 ) ds1 ds2
(13)
进而 ,就可以计算其动内力反应。
3 结 论
(1)本文考虑底部框架 —抗震墙结构底部框架
和上部砌体的协同工作 ,即考虑其在地震动作用下
底部和上部协调变形 ,建立了协同工作下随机振动
力学模型 ,符合实际工况。
(2)通过建立子结构法 ,建立了底部框架 —抗
震墙结构形式体系的阻尼矩阵 ,给出了考虑协同工
作具体解决随机振动响应的方法 ,进而为改进该结
构体系的抗震设计方法提供了有效工具。
参 考 文 献 :
[ 1 ] 王亚勇 ,戴国莹 . 建筑抗震设计规范算例 [M ]. 北京 :中国建
筑工业出版社 , 2006.
[ 2 ] 张相庭 ,王志培 ,黄本才. 结构振动力学 [M ]. 上海 :同济大学
出版社 , 2005.
[ 3 ] 刘晶波 ,杜修力. 结构动力学 [M ] . 北京 :机械工业出版社 ,
2005.
[ 4 ] 朱镜清 . 结构抗震分析原理 [M ]. 北京 :地震出版社 , 2002.
[ 5 ] [英 ] 纽兰 D E. 方 同 ,黄嘉璜 ,等译 . 随机振动与谱分析概
论 [M ]. 北京 :机械工业出版社 , 1982.
[ 6 ] 周福霖 . 工程结构减震控制 [M ]. 北京 :地震出版社 , 1997.
[ 7 ] 欧进萍 ,王光远. 结构随机振动 [M ]. 北京 :高等教育出版社 ,
1998.
[ 8 ] 殷学刚 ,陈 淮 ,蹇开林. 结构振动分析的子结构方法 [M ]. 北
京 :中国铁道出版社 , 1991.
[ 9 ] 沈聚敏 ,周锡元 ,高小旺. 抗震工程学 [M ]. 北京 :中国建筑工
业出版社 , 2004.
[ 10 ] 方 同 ,薛 璞. 振动理论及应用 [M ]. 西安 :西北工业大学出
版社 , 2002.
[ 11 ] [英 ] 威尔逊 R,等. 周正威 ,译. 工程结构的振动 [M ]. 上海 :
同济大学出版社 , 1992.
[ 12 ] 王文亮 ,杜作润. 结构振动与动态子结构方法 [M ]. 北京 :复旦
大学出版社 , 1985.
[ 13 ] 闵华玲. 随机过程 [M ]. 上海 :同济大学出版社 , 1987.
621 四川建筑科学研究 第 34卷
底部框架_抗震墙结构在平稳随机干扰下的响应.pdf
