maju1115$微分方程中积分因子的求法
微分方程中积分因子的求法
摘 要：全微分方程可以通过积分求出通解。那么就非全微分方程来说，积分因子有特别重要的意义。本文主要就积分因子的两种求法作简单介绍。
关键词：积分因子； 全微分方程； 微分方程； 方程
1 引言 首先给出两个定义：
定义1：
对称形式的方程
（1）
若 P,Q, 在某一个单连通区域G 内有定义并且连续， 且
则称方程（1）为全微分方程.
定义2：
用积分因子法把方程化成新的全微分方程，若方程（1）两边乘上 得 （2）
若方程（2）满足 ，则称 为方程（1）的积分因子。
我们知道，如果一阶微分方程 （1） 不满足全微分方程的条件但在乘以一个积分因子后，能成为全微分方程。则可按全微分方程求解。因此，寻找积分因子解一些全微分方程就显得十分重要。对于一些简单的全微分方程可以通过观察的办法来求得积分因子。但对于一些比较复杂的微分方程用观察的办法则是很困难的。对此，我们就“如何寻找积分因子”的问题做尝试性的探索，探讨。归纳出“指数函数法”和“分组法”。
2 主要结论
2.1指数函数法
我们知道，求微分方程（1）的积分因子一般归纳为求一阶偏微分方程
即
(3)
的解，而解方程（3）一般不比解方程（1）容易。但是对于具有某种特殊式的积分因子，方程（3）可以化成容易求解的常微分方程。从而求出方程（1）的积分因子。下面寻求方程（1）具有形如的积分因子的条件，其中给定函数。
将代入方程（3）注意到 便得
（4）
（5）
(5)是方程（1）具有积分因子的条件。此时有分别求出（取c=1）得
（6）
其中
2.1.1 特殊结论
在应用上面的方法求积分因子时要设法选取满足条件（5）的函数代入（6）式中 并用 代替进行计算，以下是的一些特殊情形：
（1）取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
（7）
且 （其中
（2）取方程（1）具有形如的积分因子的条件是:
（8）
且 （其中
(3) 取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
(9)
且 (其中)
(4) 取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
(10)
且 (其中)
(5) 取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
(11)
且 (其中)
(6) 取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
(12)
且 (其中)
(7) 取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
(13)
且 (其中)
(8) 取方程（1）具有形如的积分因子的条件是：
(14)
且 (其中 )
2.1.2 应用举例
例1 求方程的积分因子.
解： 由（2）存在形如的积分因子 .
例2 求方程的积分因子.
解： 由（3） 存在形如的积分因子.
例3 试用积分因子解法解线性方程 .
解： 该线性方程可化成： 这时令M=p(x)y+Q(x) N=-1 则有
因而，线性方程有只与x 有关的积分因子. 以乘方程两边得
或
因此，方程的通解为
或
.
2.2分组分别求因子法
有些比较复杂的微分方程，直接求积分因子较困难。对此，可将方程的一边先分组分别求各组的积分因子，由此再求出全微分方程的积分因子，即通过观察法进行“分项组合”而求出积分因子。下面通过例子说明。
例4 将 改写为
设 分别是上述方程左边部分的积分因子,即是: 选择使则就是整个原函数的积分因子.
例5 求解微分方程 （1+xy）
解 两边同乘以 得：
从而可求通解为：
注：只要方程有解存在，则必定有积分因子存在。并且不是唯一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。如方程 可以有不同的积分因子 , 等。
参考文献：
[1] 阮炯 常微分方程---方法导引 [M]. 上海：复旦大学出版社， 1991.8
[2] 王高雄等 常微分方程（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社， 1983.9
THE SOLUTION OF INTEGRATIAG FACTOR IN DIFFERENCE EQUATION
Abstract: The total difference equation can work out the equations by integral.As far as the difference equation ,integratiag factor is very important. This article introduce two kinds of solution about integratiag factor.
Keywords : Total difference equation ; Difference equation ; Equation; Integratiag factor
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