公路测量自由设站法的应用及其图形分析
公路测量自由设站法的应用及其图形分析
余国金 吴国荣
（江西省交通设计院 南昌 330002）
摘 要：利用全站仪自由设站测边交会确定待定点的坐标，方法简便，在公路测量工作中得到
较好地应用。为提高测量精度，研究待定点的精度与交会图形之间的关系，本文在推导出全站
仪自由设站测边交会精度估算公式的基础上，对其有利图形进行了分析，并通过实例证明：当
采用对称交会(β1=β2)，且交会角?>90o时，交会图形最为有利。
关键词：交通工程;全站仪；自由设站；测边交会；精度分析；最有利图形
0 前 言
目前公路工程无论是测设还是施工放样都普遍使用全站仪，为了充分发挥全站仪功能，更好地提高公路控制测量工作效率和精度，笔者通过高速公路测设的大量实践，提出全站仪测边交会定点法的应用及其精度分析。
公路沿线大多为丘陵山区，受植物、地形、地物等因素影响、往往通视条件不佳。公路测设一般利用GPS定位技术完成首级控制网的建立，部分GPS点之间互不通视，在布设二级控制点或加密控制点时，采用全站仪自由设站测边交会测定待定控制点的坐标，是一种便捷高效的方法，尤其是公路测设和施工放样过程中，经常需要加密大量的控制点，该方法更能显示出其优越性。该方法不需要已知点之间相互通视、不必考虑大气折光对测角的影响，且大多数全站仪都有该方法的固化程序模块等优势。因此在公路测设和施工放样工作中，可解决点间不通视、减少砍树、保护生态、作业便捷、提高工效等问题。但待定点的精度与交会图形之间的关系值得探讨和研究，本文在推导出全站仪自由设站测边交会精度估算公式的基础上，对其有利图形进行了分析，得出相应的结论和建议，以指导该方法在实践中更好地应用。
1 精度分析
如图1所示：A、B为两个首级GPS控制点，坐标分别为（XA, YA），（XB，YB），两点之间的距离为S0, P为需加密的待定控制点，在P点上设置全站仪，测距离S1和S2，即可确定P点之坐标（XP，YP）。为讨论方便，建立如图1所示的坐标系统，即以A为坐标系原点，AB方向为Y轴，与之垂直方向为X轴，则交会点P的坐标计算数学模型为：
（1）
在△PAB中利用余弦定理有：
即：
（2）
对（2）式进行全微分，并整理后得
（3）
对（1）式进行全微分得
（4）
将（3）式代入（4）式并整理后得
（5）
利用误差传播定律可得P点的点位中误差
（6）
即
（7）
从上式可以看出，全站仪自由设站测边交会的精度，不仅与S1和S2的测量精度有关，而且与交会角?有关。文献[1]认为，当交会角?=90°时，交会点精度最高，但笔者认为这一结论值得进一步探讨。
2 最有利图形分析
众所周知，全站仪精度的数学模型可表达为：
（8）
式中：a2为固定误差部分，b2s2为比例误差部分，S为所测的距离值，由（7）、（8）式知：
（9）
在△PAB中，利用正弦定理有
（10）
将（10）代入（9）式并整理后得：
（11）
从（11）式可以看出：当已知边长度S0和距离精度一定时，全站仪自由设站测边交会的精度取决于图形β1、β2?之值，若?为定值，当（sin2β1+sin2β2）有极小值时Mp有极小值。
令：A=sin2β1+sin2β2=sin2β1 +sin2(β1+?) （12）
对上式求一阶导数，并令其等于零得：
A’=sin2β1+sin2 (β1+?)=0 （13）
即 sin2β1-sin2β2=0
也即 β1=β2
也就是说，对于一定的?角，当β1=β2即对称交会时，交会图形最为有利：
为进一步判定最佳交会精度，对（12）式求二阶导数得
A”=2cos2β1+2cos2 (β1+?)=4cos2β1 （14）
由上式知：
（1）当cos2β1>0时，Mp有极小值，即?＞90°且对称交会，使待定点P的点位中误差最小，交会图形最为有利。
（2）当cos2β1<0时，Mp有极大值，即?<90°且对称交会，使待定点P的点位中误差最大，交会图
形最为不利。
（3）当?=90°时，交会点P的点位中误差恒为，但不是最小值，这和文献[1]的结论不相一致。
3 最有利图形实例分析
对称交会时，β1=β2，式（11）变为
（15）
用测距精度为1+1ppm的TC2003全站仪测定距离S1和S2，已知点A、B之间的距离S0=1km，将有关数据代入（15）式可计算出对称交会不同交会角?对应的交会点的精度列于表1。
表1 自由设站对称交会P点精度
从表1可以看出，当对称交会（β1=β2=40o），交会角?=100o时，交会最为有利，实例计算结果和理论分析得出的结论是一致的。
4 结 语
1、 在全站仪自由设站测边交会中，交会点的精度不仅和已知点之间的距离、测距的固定误差和比例误差有关，而且和交会图形密切相关。
2、当采用对称交会(β1=β2)，且交会角?>90o时，交会图形最为有利。
3、 尽管全站仪有高精度测距的特点，但交会精度因交会角?的过大或过小而有较大的损失。因此，在实际测量工作中，应根据已知点的距离和使用的仪器精度根据式（15）通过计算比较得出最佳交会角。
4、对于要求精度高的交会点，应充分考虑已知点对交会结果的影响，以确保交会点的精度，满足实际测量的需要。
参考文献：
[1]肖建虹，李明.全站仪测边交会精度分析[J].地矿测绘，2003，19（2）：32~33
[2]华锡生，黄腾.精密工程测量技术及应用[M].南京：河海大学出版社，2002
[3]周西振.前方交会法测定变形监测点最佳交会图形的探讨[J].勘察科学技术，2002（3）：53~35
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