时变摩擦因数对弧齿锥齿轮动力学特性的影响
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Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ Ｕｓｉｎｇ ＦＥＡ［Ｃ］／／Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ
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（编辑 张 洋）
作者简介：陆 艺，男，１９７９ 年 生。 中 国计量学院计 量 测试 工程
学院精密仪器研究所讲师。主要研究方向为精密测试技术、光电
信号处理。曲 颖，女，１９８３年生。中国计量学院计量测试工程
学院精密仪器研究所硕士研究生。罗 哉，男，１９７９年生。中国
计量学院计 量 测 试 工 程 学 院 精 密 仪 器研究所副教授。孔 明，
男，１９７８年生。中国计量学院计量测试工程学院精密仪器研究
所副教授。
时变摩擦因数对弧齿锥齿轮动力学特性的影响
王时龙 冯治恒 雷 松 萧 红
重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆，４０００４４
摘要：建立了弧齿锥齿轮多自由度非线性动力学模型，深入分析了时变摩擦因数对齿轮系统动力学
特性的影响。提出了齿轮啮合混合润滑模型，利用该模型计算了齿面啮合区域每个网格点的瞬时摩擦
因数。与摩擦因数经验公式法相比，该模型能更准确地预测摩擦因数。对比了时变摩擦因数、常数摩擦
因数和不考虑摩擦力三种情况下的动态啮合力和传递误差。研究结果表明，时变摩擦因数对弧齿锥齿
轮的动力学特性有重要影响。
关键词：弧齿锥齿轮；时变摩擦因数；混合弹流润滑；非线性动力学；动态响应
中图分类号：ＴＨ１１３．４ 文章编号：１００４—１３２Ｘ（２０１１）０２—０１４８—０５
Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ Ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ Ｆｒｉｃｔｉｏｎ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｎ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｓｐｉｒａｌ Ｂｅｖｅｌ Ｇｅａｒｓ
Ｗａｎｇ Ｓｈｉｌｏｎｇ Ｆｅｎｇ Ｚｈｉｈｅｎｇ Ｌｅｉ Ｓｏｎｇ Ｘｉａｏ Ｈｏｎｇ
Ｔｈｅ Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ，４０００４４
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ３－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍｕｌｔｉ－ＤＯＦ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒｓ ｗａｓ
ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｎ ｔｈｅ ｇｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｗａｓ
ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｍｉｘｅｄ ＥＨＬ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ａｌｓｏ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｔ ｅａｃｈ
ｃｏｎｔａｃｔ ｇｒｉｄ ｃｅｌｌ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｚｏｎｅ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｏ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｆｒｉｃｔｉｏｎ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｍｉｘｅｄ ＥＨＬ ｍｏｄｅｌ ｃａｎ ｐｒｅｄｉｃｔ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．
Ｌａｓｔｌｙ，ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｏ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ
ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃａｓｅ，ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｅｓｈｉｎｇ ｆｏｒｃｅｓ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓ ａｒｅ
ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｔｈａｔ ｓｌｉｄｉｎｇ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｈａｖｅ ｇｒｅａｔｅｒ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ
ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒ；ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｍｉｘｅｄ ｅｌａｓｔｏｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ
ｌｕｂｒｉｃａｔｉｏｎ（ＥＨＬ）；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ
０ 引言
弧齿锥齿轮副在工作过程中，齿面摩擦力的
大小和方向都会发生周期性的变化，因而形成一
种内部激励，并与齿侧间隙、时变刚度等非线性强
收稿日期：２０１０—０４—０６
基金项目：国家杰出青年科学基金资助项目（５０９２５５１８ ）；国家科
技重大专项（２００９ＺＸ０４００１－０８１）
耦合，使齿轮传动系统表现出复杂的非线性特性。
因此有必要研究齿面间摩擦力对弧齿锥齿轮动力
学特性的影响［１－３］。齿面摩擦力由滑动摩擦力和
滚动摩擦力组成。滑动摩擦力由相对运动的两个
接触齿面间的摩擦因数决定。因此，摩擦因数对
系统的动力学特性有显著影响。现有的摩擦因数
求解方法主要有以下３种：①自定义一个常数的
静摩擦力模型。这种模型过于简化，没有包含影
·８４１·
中国机械工程第２２卷第２期２０１１年１月下半月
响齿面摩擦的参数。②包含了齿面接触的一些参
数如滑动滚动速度、润滑黏度、接触曲率半径的经
验公式［４］，经验公式相对于常数的摩擦因数来说
精确一些。但是，这些经验公式在特定的润滑、工
作温度和速度等条件下才成立。③运用弹性流体
润滑动力学求解［５－６］。文献［７］中摩擦因数的预测
采用全膜润滑 ＥＨＬ 模型，该模型没有考虑到微
峰接触区域的边界润滑和载荷承载系数的影响，
因而所得结果小于实际齿轮啮合状态下的摩擦因
数。Ｖａｉｓｈｙａ等［８］建立了考虑摩擦力和时变刚度
的六自由度系统，利用谐波平衡法求解了单自由
度线性系统的周期解，并分析了参数对系统的影
响。Ｓｏｎｇ等［９］对直齿轮摩擦力的反向效果做了
深入的探讨。
本文以弧齿锥齿轮为研究对象，在综合考虑
齿轮副润滑状态、时变摩擦因数和误差激励的情
况下，为深入研究弧齿锥齿轮系统的非线性动态
特性，建立了混合润滑状态下的弧齿锥齿轮系统
非线性动力学模型。
１ 考虑摩擦的动力学模型
图１为求解齿轮系统动态响应的流程框图。
由于一个啮合周期内的时变啮合刚度和啮合阻尼
显著变化，因此齿轮动力学模型通常由周期性差分
方程描述。对弧齿锥齿轮而言，摩擦力的方向是周
期变化的，并且会在节点位置发生转向。在此基础
上，笔者用集中参数法建立了弧齿锥齿轮的多自由
度非线性动力学模型，如图２所示。模型综合考虑
了齿轮副的齿侧间隙、时变啮合刚度、齿轮副传动
误差、摩擦力误差等各种时变啮合参量。
图１ 求解弧齿锥齿轮动态响应流程图
图２ 多自由度弧齿锥齿轮齿轮动力学模型
因此，系统动力学方程如下：
ＩＥθ¨
Ｅ ＋ｋｔ１（θＥ －θｐｙ）＋ｃｔ１（θ
·
Ｅ －θ
·
ｐｙ）＝－ＴＥ （１）
ｍ１ｑ¨
１ ＋ （ｈＴ
１ －μｇＴ
１ ）ｆ（δｄ －ｅＬ）＋
Ｃ１ｂｑ·
１ ＋Ｋ１ｂｑ１ ＝Ｆ１ｅｘｔ （２）
ｍ２ｑ¨
２ － （ｈＴ
２ ＋μｇＴ
２ ）ｆ（δｄ －ｅＬ）＋
Ｃ２ｂｑ·
２ ＋Ｋ２ｂｑ２ ＝Ｆ２ｅｘｔ （３）
ＩＯθ¨
Ｌ ＋ｋｔ２（θＬ －θｇｙ）＋ｃｔ２（θ
·
Ｌ －θ
·
ｇｙ）＝－ＴＬ （４）
式中，ＩＥ、ＩＯ 分别为驱动主动轮和被动轮的转动惯量；θＥ、
θＬ 分别为原动机和负载的扭转振动位移；θｐｙ、θｇｙ 分别为主
动轮和从动轮的扭转振动位移；ｋｔ１、ｋｔ２ 分别为输入轴和输
出轴的扭转刚度；ｃｔ１、ｃｔ２ 分别为输入轴和输出轴的阻尼系
数；ＴＥ、ＴＬ 分别为主动轮和被动轮上的力矩；ｍｌ、Ｋｌｂ、Ｃｌｂ
分别为齿轮副的等效质量、刚度和阻尼；μ 为齿面摩擦因
数；ｅＬ 为加载传递 误 差；Ｆｌｅｘｔ 为加载在齿轮上的外力；下
标ｌ＝１，２分别表示主动轮和被动轮。
动态传递误差定义为
δｄ ＝ｈ１ｑＴ
１ －ｈ２ｑＴ
２ （５）
ｑｌ ＝ ［ｘｌ ｙｌ ｚｌ θｌｘ θｌｙ θｌｚ ］
ｈｌ ＝ ［ｎｌｘ ｎｌｙ ｎｌｚ λｌｘ λｌｙ λｌｚ ］
式中，ｘｌ、ｙｌ、ｚｌ 分别为沿Ｘ、Ｙ、Ｚ 轴的平移位移；θｌｘ 、θｌｙ 、θｌｚ
分 别 为 绕 Ｘ、Ｙ、Ｚ 轴 的 角 位 移； ［ｎｌｘ ｎｌｙ ｎｌｚ ］、
［λｌｘ λｌｙ λｌｚ ］分别表示齿面法向力和旋转半径。
动态传递误差δｄ 指齿轮处于理想啮合状态
时，由于齿面弹性变形而产生的相对位移。实际
上，由于齿轮副不可避免地存在各种误差，齿轮在
不受力时，就存在由轮齿啮合误差形成的静态传
动误差ε０，所以齿轮传动的实际传动误差是动态
传递误差和静态传递误差之和。同理，摩擦力可表
示为
ｇｌ ＝ ［ｖｌｘ ｖｌｙ ｖｌｚ τｌｘ τｌｙ τｌｚ ］ （６）
式中，［ｖｌｘ ｖｌｙ ｖｌｚ ］、［τｌｘ τｌｙ τｌｚ ］ 分 别为摩擦力和等效
旋转半径。
具有齿侧间隙时轮齿啮合力非线性函数：
ｆ（δｄ －ｅＬ）＝
Ｗ０ ＋ｋｍ （δｄ －ｅＬ）＋ｃｍ （δ
·
ｄ －ｅ·
Ｌ） Ｗｄ ＞０
０ Ｗｄ ＝０，－ｂｃ ＜δｄ ＜０
Ｗ０ ＋ｋｍ （δｄ －ｅＬ ＋ｂｃ）＋
ｃｍ （δ
·
ｄ －ｅ·
Ｌ ＋ｂｃ） Ｗｄ ＜０，δｄ ＜－ｂ
烅
烄
烆 ｃ
（７）
式中，Ｗｄ 为法向动载荷；ｋｍ 、ｃｍ 分别为齿轮副的平均啮合
刚度和平均啮合阻尼；Ｗ０ 为等效静态法向载荷。
２ 齿轮混合润滑模型
实际中，几乎所有的齿轮都工作在混合润滑
状态，即齿面啮合处于既有润滑油膜又有微凸体
接触的混合润滑状态。因此，齿面的压力由润滑油
膜和微凸体粗糙峰共同承担，故分为两部分计算。
总的压力 Ｎｔｏｔａｌ 和摩擦力Ｆｔｏｔａｌ 分别为
Ｎｔｏｔａｌ ＝ ＮＦＬ ＋ＮＢＬ （８）
·９４１·
时变摩擦因数对弧齿锥齿轮动力学特性的影响———王时龙 冯治恒 雷 松等
Ｆｔｏｔａｌ ＝ ＦＦＬ ＋ＦＢＬ （９）
式中，ＮＦＬ、ＦＦＬ 分别为全膜润滑状态下的压力和摩擦力；
ＮＢＬ、ＦＢＬ 分别为边界润滑下的压力和摩擦力。
混合状态下摩擦因数μＭＩＸ 由边界润滑状态下
的摩擦因数μＢＬ 与全膜润滑摩擦因数μＦＬ 组成：
μＭＩＸ ＝ Ｆｔｏｔａｌ
Ｎｔｏｔａｌ
＝ ＦＦＬ ＋ＦＢＬ
Ｎｔｏｔａｌ
＝μＢＬ（１－ｆλ）＋μＦＬｆλ
（１０）
式中，ｆλ 为在全膜润滑下承担载荷系数。
２．１ 油膜润滑区（全膜润滑）
在全膜润滑条件下，控制方程由 Ｒｅｙｎｏｌｄｓ方
程、膜厚方程、载荷平衡方程、润滑剂黏度 － 压力
－ 温度方程组成［１０］。参考 Ｘｕ等［７］ＥＨＬ 模型求解
全膜润滑状态下的摩擦因数μＦＬ：
μＦＬ ＝ｅｘｐ（ｆ（ＲＳ，ｐｈ，υ０，Ｓ））ｐｂ２ｈ ｜ＲＳ｜ｂ３ｖｂ６ｅυｂ７０ Ｒｂ８
（１１）
ｆ（ＲＳ，ｐｈ，υ０，Ｓ）＝ｂ１ ＋ｂ４｜ＲＳ｜ｐｈｌｇυ０ ＋
ｂ５ｅｘｐ（－｜ＲＳ｜ｐｈｌｇυ０）＋ｂ９ｅｘｐＳ （１２）
式中，ＲＳ 为滑滚比；ｐｈ 为法向压力；υ０ 为黏度；Ｓ为齿面粗
糙度；Ｒ 为曲率半径；ｖｅ 为相对滑动速度；ｂ１ ～ｂ９ 为 经 验
系数。
２．２ 微峰接触区（边界润滑）
边 界 润 滑 区 域 的 摩 擦 力 的 求 解 参 考
Ｇｒｅｅｎｗｏｏｄ－Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ模型［１１－１２］。边界润滑区
的等效摩擦力为
ＦＢＬ ＝ ∑
ｎ
ｉ＝１
∫∫ＡＢＬ，ｉ
τＢＬ，ｉｄＡＢＬ，ｉ （１３）
式中，τＢＬ，ｉ 为第ｉ个微凸体的接触剪切应力；ＡＢＬ，ｉ 为第ｉ个
微凸体接触区域；ｎ为微凸体接触区域内微凸体的个数。
微凸体摩擦满足库伦定律：
ＦＢＬ ＝μＢＬＮＢＬ （１４）
假设摩擦因数恒定并且每一个微凸体上的摩
擦因数都是相同的。因此，式（１４）可以写成
μＢＬ ＝ １
ＮＢＬ
∑
ｎ
ｉ＝１
∫∫Ａｃｉ
τｃｉｄ Ａｃｉ （１５）
边界润滑状态下的摩擦因数通常可以通过实验测
得，取μＢＬ ＝０．１３。
２．３ 混合润滑模型摩擦因数的求解
全膜润滑条件下的油膜承担载荷未知，根据
文献［１３］，全膜润滑条件下的摩擦因数与法向载
荷有如下关系：
μＦＬ ∝ Ｎ０．２
ｎ （１６）
同理可假设在混合润滑条件下的油膜承担载
荷与摩擦因数有如下关系：
μＦＬ ∝ Ｎ０．２
ＦＬ ∝ （Ｎｔｏｔａｌｆλ）０．２ （１７）
根据文献［１３］有
μＭＩＸ ＝μＦＬ （ｆλ）１．２ ＋μＢＬ（１－ｆλ） （１８）
Ｚｈｕ等［１４］ 以及Ｃａｓｔｒｏ等［１５］ 提出的混合润滑
状态下点接触载荷承载系数分别为
ｆλ，Ｚｈｕ ＝ １．２１λ０．６４
１＋０．３７λ１．２６
（１９）
ｆλ，Ｃａｓｔｒｏ ＝０．８２λ０．２８ （２０）
其中，λ为油膜厚度比，即接触表面间的平均油膜
厚度ｈ与综合均方根粗糙度σ的比值，它是区分润
滑状态的一个重要参数。载荷承载系数取决于油
膜厚度比，可由下式求出：
λ＝ｈσ－１ ＝ｈ（σ２
ｐ ＋σ２
ｇ）－１／２ （２１）
式中，σｐ、σｇ 分别为主动轮和被动轮的齿面等效粗糙度。
０．２≤λ≤２时，一般认为是处于混合润滑状
态；λ＜０．２和λ＞２分别对应着边界润滑状态和
全膜润滑状态［１６］。图３所示为载荷承载系数随着
油膜厚度比的变化。当油膜厚度比递增时，全膜润
滑承担的载荷系数逐渐递增。
图３ 载荷承载系数
３ 仿真结果与分析
弧齿锥齿轮基本几何参数如表１所示。主要
计算参数如下：扭矩Ｔｉｎ ＝５００Ｎ·ｍ，主动轮转速
ｎｐ 分 别 为 １０００ｒ／ｍｉｎ、３０００ｒ／ｍｉｎ、５０００ｒ／ｍｉｎ，
ｐｈ ＝２ＧＰａ，动力黏度υ０ ＝０．０１Ｐａ·ｓ，运动黏度
η＝１．３×１０－７ ｍ２／ｓ，Ｓ ＝０．０７μｍ，齿轮重合度为
ξ，１≤ξ≤２ 。利用有限元软件对齿面划分网格，
通过齿面加载接触分析得到一个啮合周期内的齿
面载荷分布、综合曲率半径、相对滑动速度、相对
滚动速度等信息，代入混合润滑模型求出一个啮
合周期内所有网格点的摩擦因数，再综合求出每
一步的平均摩擦因数。小齿轮一个啮合周期转过
的角度是２５．７°。
表１ 弧齿锥齿轮齿轮设计参数
主动轮齿数 １４
被动轮齿数 ４５
偏移量（ｍ） ０
主动轮螺旋角（ｒａｄ） ０．８０３
被动轮螺旋角（ｒａｄ） ０．５９１
主动轮节圆锥角（ｒａｄ） ０．２９５
被动轮节圆锥角（ｒａｄ） １．２６９
被动轮节圆半径（ｍ） ０．１６８
齿面宽度 （ｍ） ０．０４７８
主动轮类型 左旋
接触表面 被动轮凸面；主动轮凹面
如图４所示，一个啮合周期内，不同转速下的
摩擦因数不同。转速越低的情况下，摩擦因数变
·０５１·
中国机械工程第２２卷第２期２０１１年１月下半月
化范围越大，转速达到５０００ｒ／ｍｉｎ时，摩擦因数在
很小的范围内波动。对于弧齿锥齿轮而言，摩擦
力为空间力，在每个啮合周期中的方向是不断变
化的，且在节点处 发生 转向 （此 时不发生相对滑
动）。因此摩擦因数在节点处达到最小值。图 ５
所示为摩擦力方 向 在 一个啮合周期中的变化趋
势，可以看到摩擦力在节点处转向。因此对于弧
齿锥齿轮而言，摩擦力反向对其动力学特性方面
的影响与直齿轮类似。
图４ 不同转速下的摩擦因数变化趋势
图５ 一个啮合周期内摩擦力方向的变化
图６所示为转速范围在１０００～６０００ｒ／ｍｉｎ时
齿轮的平均摩擦因数。在混合润滑状态下，摩擦
因数随着转速的升高而逐渐减小。转速升高意味
着油膜厚比增大，全膜润滑承担的压力比增大，因
此摩擦因数逐渐减小。
图６ 平均摩擦因数在１０００～６０００ｒ／ｍｉｎ下的变化趋势
把经混合润滑摩擦模型计算出来的瞬时摩擦
因数代入系统动力学方程，求出系统啮合力。图
７所示为对比考虑了时变摩擦因数、经验摩擦因
数以及没有考虑摩擦力的动态啮合力变化情况。
从图７ａ中可以看到，时变摩擦因数对 Ｘ 方向上
的啮合力变化趋势影响较大，低转速时其影响较
为明显。这是因为在低速状态下，系统摩擦因数
变化范围较高转速状态要大。由图４可见，摩擦
因数在转速为１０００ｒ／ｍｉｎ时的变化范围明显大于
转速为３０００ｒ／ｍｉｎ和５０００ｒ／ｍｉｎ时的变化范围。
由此我们可以得到齿轮系统受到摩擦力的影响作
用显著的结论。因此，在齿轮动力学计算中，为了
真实地反映出摩擦力对系统响应的影响，应考虑
时变摩擦因数。图８反映了动态传递误差在时变
摩擦力作用影响下的变化趋势。对比使用经验摩
擦因数和不计摩擦力影响的仿真结果可以看到，
在啮合频率为 ７００Ｈｚ时，传递误差的波动较大，
而在其他频率下的变化不明显。可见时变摩擦因
（ａ）Ｘ 方向
（ｂ）Ｙ 方向
（ｃ）Ｚ 方向
图７ 动态啮合力在三个方向上的变化
·１５１·
时变摩擦因数对弧齿锥齿轮动力学特性的影响———王时龙 冯治恒 雷 松等
数对动态传递误 差 的 影响小于对动态啮合力的
影响。
图８ 传递误差在不同摩擦因数条件下的变化趋势
４ 结论
（１）建立了考虑时变摩擦力和摩擦因数的弧
齿锥齿轮的多自由度非线性动力学模型。该模型
在计算摩擦力时 考 虑 了载荷在啮合区的动态分
配，建立了非线性时变摩擦因数模型。
（２）通过混合润滑模型求解了啮合齿面上每
一个网格点的瞬时摩擦因数，综合考虑了相对滑
动速度、滑滚比、瞬时曲率半径、表面粗糙度、润滑
油黏度以及负载分布等因素，更好地反映出实际
工况，从而更准确地预测系统动态响应。
（３）啮合过程中，弧齿锥齿轮齿面摩擦力的方
向随着啮合过程不断变化，并且在节点处会发生
转向。因此，时变摩擦力和摩擦因数对弧齿锥齿
轮动力学特性的影响不能被忽视。时变摩擦因数
对动态啮合力的影响效果大于对动态传递误差的
影响。
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ｏｆ ｔｈｅ ２０００ ＡＳＭＥ Ｄｅｓｉｇｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ
Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅｓ．Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ，ＵＳＡ，２０００：６０１－６１０．
［９］ Ｓｏｎｇ Ｈ，Ｃｈｏ Ｓ，Ｓｉｎｇｈ Ｒ．Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｙｎａｍｉｃ
Ｆｒｉｃｔｉｏｎ Ｆｏｒｃｅｓ ｉｎ Ｓｐｕｒ Ｇｅａｒｓ Ｕｓｉｎｇ Ａｌｔｅｒｎａｔｅ Ｓｌｉｄ－
ｉｎｇ Ｆｒｉｃｔｉｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００８，３０９（３／５）：８４３－８５１．
［１０］ 黄立，胡 元 中，王 文 中．斜齿轮非稳态等温弹流润
滑数值分析［Ｊ］．润滑与密封，２００９，３４ （７）：２３－２７．
［１１］ Ｇｒｅｅｎｗｏｏｄ Ｊ Ａ，Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ Ｊ Ｂ Ｐ．Ｃｏｎｔａｃｔ ｏｆ
Ｎｏｍｉｎａｌｌｙ Ｆｌａｔ Ｓｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ
Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｌｏｎｄｏｎ．Ｓｅｒｉｅｓ Ａ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１９６６，２９５（１４４２）：３００－３１９．
［１２］ Ｒｅｅｓｅ Ｅ Ｊｏｎｅｓ．Ａ Ｇｒｅｅｎｗｏｏｄ－ Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ Ｍｏｄｅｌ
ｏｆ Ｓｍａｌｌ－ｓｃａｌｅ Ｆｒｉｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ
Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００７，７４（１）：３１－４０．
［１３］ Ｃａｓｔｒｏ Ｊ，Ｓｅａｂｒａ Ｊ．Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ Ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｍｉｘｅｄ
Ｆｉｌｍ Ｌｕｂｒｉｃａｔｉｏｎ：Ｇｅａｒｓ Ｖｅｒｓｕｓ Ｔｗｉｎ－ｄｉｓｃｓ［Ｊ］．
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ， Ｐａｒｔ Ｊ： Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｔｒｉｂｏｌｏｇｙ，２０００，２２１（３）：３９９－４０７．
［１４］ Ｚｈｕ Ｄｏｎｇ，Ｈｕ Ｙｕａｎｚｈｏｎｇ．Ａ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｐｒｏｇｒａｍ
Ｐａｃｋａｇｅ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ＥＨＬ ａｎｄ Ｍｉｘｅｄ
Ｌｕｂｒｉｃａｔｉｏｎ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，Ｆｒｉｃｔｉｏｎ，Ｓｕｂｓｕｒｆａｃｅ
Ｓｔｒｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｆｌａｓｈ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ
Ｍｅａｓｕｒｅｄ ３－Ｄ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ［Ｊ］．Ｔｒｉｂｏｌｏｇｙ
Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２００１，４４（３）：３８３－３０９．
［１５］ Ｃａｓｔｒｏ Ｊ，Ｓｅａｂｒａ Ｊ．Ｇｌｏｂａｌ ａｎｄ Ｌｏｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ
Ｇｅａｒ Ｓｃｕｆｆｉｎｇ Ｔｅｓｔｓ Ｕｓｉｎｇ ａ Ｍｉｘｅｄ Ｆｉｌｍ
Ｌｕｂｒｉｃａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｔｒｉｂｏｌｏｇｙ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ，
２００８，４１（４）：２４４－２５５．
［１６］ Ｍａｒｔｉｎ Ｋ．Ａ Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｆｒｉｃｔｉｏｎ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｇｅａｒ
Ｔｅｅｔｈ［Ｊ］．Ｗｅａｒ，１９７８，４９（２）：２０１－２３８．
（编辑 张 洋）
作者简介：王时龙，男，１９６６年生。重庆大学机械工程学院教授、
博士研究生导师。主要研究方向为计算机集成制造技术、先进制
造技术、数控机 床 及 计 算 机 协 同 监 控 技 术。发 表 论 文 ９０ 余 篇。
冯治恒，男，１９８０年生。重庆大学机械传动国家重点实验室博士
研究生。雷 松，男，１９８２年生。重庆大学机械工程学院博士研
究生。萧 红，女，１９７９ 年 生。重庆大学机械工程学院 博 士 研
究生。
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中国机械工程第２２卷第２期２０１１年１月下半月
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