概率学方法在机械手动力学和运动学中的应用
概率学方法在机械手动力学和运动学中的应用
S.S. Rao*, P.K. Bhatti
Department of Mechanical Engineering, University of Miami, Coral Gables, FL 33124- 0624, USA
摘要：一个高性能，高速机械手必须能够高精度和可重复的去操纵对象。与其他任何物理系统一样，其中可能存在导致机械手运动不稳定的因素。这些因素包括制造和装配公差，还有联合执行器和控制器错误。为了研究这些因素对机器人末端执行力的影响，并更好地了解机械手的运动，在机械手运动学和动力学模型中采用了概率的方法。根据概率模型，制订了运动学和动力学性能标准，来提供机械手末端执行器动作精度的测量标准。这项技术可以用来计算机械手的运动学和动力学可靠性，对影响可靠性的各种操纵参数相关公差进行研究。并给出了数据举例来说明该程序。
关键词：概率方法 机械手运动学 动力学
1.引言
目前分析机械手不稳定因素的主要来源是制造业和装配业中所规定的公差与联合执行器和控制器中的错误。这些错误是随机的，可以假设遵循高斯分布。为了研究这些错误对机器人末端执行情况的影响，并更好的了解机械手的运动情况，设计了一种概率方法用来对机械手进行分析。虽然一些研究人员已经研究了概率模型的闭环机制，却并没有重视开链系统的概率分析，对机械手来说，这点尤为重要。Waldron 和 Kumar建立了一个模型，用来分析由于伺服回路中的随机误差而导致的机械手终端执行器的位置误差。他们利用这个模型来绘制了一个固定的概率轮廓，这样末端执行器的位置误差就会在分布在一个指定的范围内。Kumar 和 Prakash将这项工作加以扩展，使之可以应用在包括其他机器人几何参数的随机误差上。这项工作旨在开发一种概率方法以应用在机器手运动学和动力学上，提出新的性能标准。并对几何公差，手臂配置和操纵可靠性之间的关系进行讨论。
2.运动和动力可靠性
运动可靠性，可以定义为末端执行器的位置/或方向达到其在指定范围内所想要的位置/或方向的概率。这个指定的范围称为允许区，其形状和尺寸由机械手的用途而定。根据该区域的简单形状，还可以定义两个运动的可靠性，即定位的可靠性和定向的可靠性。动力可靠性，可以定义为末端执行器的方向/或速度沿着指定工作区中的轨迹在指定范围内达到所需方向/或速度的概率。在这个定义的基础上，还可以定义两种主要类型的动力可靠性-单一的动力可靠性（SPDR）和累积的动力可靠性（CDR）。SPDR可定义为末端执行器的方向/或速度与所需方向/或速度之间的最大偏差不超过规定值的概率。而CDR可以定义为末端执行器方向/或速度的每个点都沿着给定轨迹分布在理想方向/或速度的范围内的概率。换句话说，累积动力可靠性表示末端执行器在沿着给定轨迹的每个点处都在给定边界内的概率，而单一动力可靠性则表示末端执行器在沿着给定轨迹的任何一点都不会越过规定边界的概率。
除了上述两种类型，动力可靠性还可以进一步的分类，这取决于末端执行器的方向/或速度如何受到限制。根据自由度对末端执行器定位的限制，可将运动和动力可靠性的分类进一步扩展。这一程序还可以推广用来对末端执行器的速度制约进行分类。
3.机器手运动学
机械手运动学与机械手的装配空间密切相关（特别是联合变量与末端执行器位置和方向之间的关系）。作为时间函数，不考虑力与力矩构成这样一个机构。该机械手的链接和联合参数如图1。四个几何参数与每一个连接/结合处相关联，链接处d与联合角θi之间的距离决定了相邻连接之间的相对位置。而连接长度ai和扭转角αi决定了该连接的结构。对于一个转动联接，di，ai，αi是手臂参数，θi是联合变量。对于柱状联接，θi，αi，ai是手臂参数，而di为联合变量。
图1 连接和联合参数
作为长远（或直接）的运动学问题，即从已知的手臂关节变量参数确定末端执行器的位置和方向。Denavit-Hartenberg符号的使用解决了这个问题。这种技术使用链接附加坐标系，如图2所示的Stanford手臂。两个相邻链接的相对位置可以描述为一个4×4的同质变换矩阵，即D - H变换矩阵（公式1）。其中C和S分别代表余弦和正弦。
矩阵A将坐标系中的第i行和第i-1行结合起来。末端执行器的位置和方向可以表述为（公式2）
图2 Stanford手臂 (1)
(2)
其中n表示自由度，T称为手臂矩阵。n,s,a和p称为末端执行器的常规、滑动、接触、位置向量。
4．运动学可靠性的计算
运动学可靠性可以通过解析或数字化（使用模拟技术）的方法计算出来。在解析方法中，需要建立一个机械手运动学概率模型。可以假定，不考虑各个运动学参数和联合变量的分布，末端执行器的位置和方向符合联合正态分布，这是可以由概率论的中心极限定理推断出来的。为了表述联合正态分布函数的平均值，需要知道末端执行器位置和方向的方差和协方差。包含末端执行器位置和方向的各种运动学参数与联合变量的运动方程，就是用于这一目的。代入随机的运动学参数和联合变量的平均值，就可以得到末端执行器的平均位置和方向。偏导数可用于获取方差和协方差。一旦平均值，方差和协方差已知，我们就可以定义常规的联合概率密度函数，然后可以在期望（允许）区，确定运动的可靠性。
在模拟方法中，可用如下步骤来计算可靠性：
（a）识别系统的随机变量。在本例中，所有的运动学参数和联合变量构成随机变量。
（b）找到随机变量的概率分布。在本例中，所有的随机变量假设按照常规（高斯）分布。
（c）用相关的概率分布给每一个随机值生成一个随机变量。
（d）使用（c）步骤生成的随机变量，通过评估系统性能来进行数值的计算试验，即末端执行器的位置和方向。
（e）检查性能测量，即检查末端执行器的位置和方向是否在允许的范围之内，并验证实验的成功与否。
（f）在允许范围内大量重复实验步骤（c）至（e），并通过以下公式计算运动学可靠性
(3)
5.机械手动力学
一般机械手的运动方程可表示为
(4)
其中，M是对称矩阵惯性，h是离心力和科氏力向量，c是重力向量，τ（t）是结合效率向量，q（t）、、是结合位置，速度，加速度向量。
惯性矩阵的元素M可由下计算出来
(5)
(9)
Denavit-Hartenberg 转换矩阵 （10）
（11）
离心力和科氏力的各要素可由等式（10）获得。
（12）
（13）
（14）
重力向量参数可由下式确定
（15）
重力行向量在基本坐标系的表示方法由下式给出
（16）
（17）
由于等式（4）过于复杂，积分数值化为
（18）
（19）
（20）
初始条件为已知。
6.动力可靠性的计算
在联合力向量误差中，Δτ（t），可以假设为具有Markov性质的随机过程的高斯向量。当随机过程的未来值只取决于其目前值，而不是以往的演变过程，那么这个过程称为markov过程。
（21）
（22）
这表示，系统参数x（t）的变化是时间函数x（t）在时间t的值，而与x以前的值无关。由于Markov过程也具有相同的性质，它可以用来模拟动力系统的随机参数。Markov过程已成功地用于模拟许多随机物理现象，如粒子运动，结构振动和控制系统。
该机械手的动力学模型可以用来改变输入Δτ（t）/输出随机向量的过程，这些随机过程可以再进一步转换，利用运动方程，获得末端执行器的的位置，速度和加速度的概率密度函数。这些密度函数可以沿着指定范围内的轨迹积分，以确定所需的动力可靠性。由于非线性动力学方程的复杂性，这种方法不用于计算动力可靠性，模拟方法一般用如下方法计算动力可靠性。
生成一个时间序列的随机向量来模拟过程Δτ（t）。
对这个系列的每个时间间隔，利用相关的概率分布生成每个运动学和动力学变量的随机值。
整合动力学方程。
使用运动学模型，确定末端执行器沿轨迹的位置，速度和加速度。
检查操作措施，即末端执行器在每个轨迹点处的位置/速度是否在允许区内。
步骤（a）-（e）构成了一次实验。进行了大量的实验，计算出动力可靠性的两种类型为：
CDR=合格轨迹点数/总轨迹点数 (23)
SPDR=合格的轨迹线数/总轨迹线数 (24)
一阶自回归向量过程一般用来表示在模拟程序的步骤（a）中的随机关节力矩向量，如下所示：
（25）
（26）
图3平面两杆机构
7.1举例说明
7.1.例1：两杆机构
一个两杆杆机械手（图3）的可靠性计算。该机械手的各种运动学和动力学参数可认为服从高斯分布的随机变量，并与均值和标准偏差有如下关系：
cm， cm，cm， cm，
kg， kg， kg，
kg， kg-cm2，
kg-cm2， kg-cm2，
kg-cm2， N-cm，
N-cm
其中1和2为连杆长度，m1和m2为连杆质量，I1和I2是通过质心并垂直于纸平面的中轴连接惯性, τ1和τ2为联合扭矩。每个杆的质心假定在杆的几何中心处。
在模拟联合转矩向量时，在等式（25）和（26）中取参数f为0.7。σ1、σ2假定为5 N*cm。图 6显示了由这一方法所生成的输入联合转矩，以2秒为周期，正在研究的机械手运动方程可以表示为：
（27）
（28）
其中C和S分别代表余弦和正弦。
图4 两杆机械手末端执行器位置的联合密度函数（例1）（分析结果）
通过分析和数值化方法给出的该机械手的联合密度函数。分别如图4和5。这个两杆机械手的运动可靠性，由上万次的实验模拟计算得出，如表1所示。
等式（27）和（28）以两秒钟的时间间隔来积分，使用的时间步长为0.01秒。末端执行器位置的最大允许偏差为平均0.04厘米，不同的初始条件集合（初始关节角度值；速度值）下的CDR和单一动力可靠性由表2列出。CDR和SPDR的计算各进行了1000次的实验。可以观察到SPDR明显比CDR要低，这是在意料之中的，因为SPDR对末端执行器的位置偏差限制更为严格。同样也可以看到，CDR和SPDR在末端执行器的开车位置不同时（或不同的轨迹），变化都非常的大。然而，SPDR的变化要比CDR多一些。
图5 两杆机械手末端执行器位置的联合密度函数（例1）（模拟结果）
图6 两杆机械手关节力矩的时间历程
在表2的例1中，末端执行器的轨迹如图7图8所示。显示了末端执行器位置的x、y坐标系中平均误差的偏差。有趣的是，在x轴的偏差大于在Y轴的偏差。此外，y轴的偏差在时间为零时非常的小，但随着时间变化在不断增大。
7.2例2：Stanford臂
图2中的Stanford臂，是一个6自由度机械手，除了第三个关节是一个棱柱联合外其他全都是转动连接。与该机械手相关的各种运动学和动力学参数的平均值和标准差由表3-5给出。该机械手在7种不同标准差的情况下的运动学可靠性（）如图9所示。这些数据可用来指定制造公差和执行器规格，使末端执行器的执行力达到期望的水平。
对于动力可靠性，随机结合力向量由一个六维一阶向量自回归方程（等式（25）（26）中n=6，φ=0.7）表示。这些结合向量的典型时程如图10所示。累积动力可靠性也是对不同的最初联合变量和结合向量的计算，结果如表6所示。所有举例的关节初速度设定为零。末端执行器位置的允许范围平均是0.2厘米。运动方程以时间步长为0.01秒间隔2秒进行积分，每种情况下进行100次实验。
表1
两杆机械手的运动学可靠性
7.3参数φ对动力可靠性的影响
代表输入关节力矩随机生成过程中的参数φ对联合扭矩初始过程有明显作用，如图11所示。这些图表显示了表2-例1中的两杆机械手的第一个关节力矩的时间历程，其中φ分别为-0.9和-0.3。当为0.9时，随机波形看起来是扁平的，扭矩值振荡十分迅速。随着φ值的增加，波形变得稀疏，以及振荡在一定的时间间隔内数量减少。同时也计算了表2-例1在不同φ值时的累积动力可靠性，结果如图12所示。这表明，随着φ值的增加，动力可靠性在不断降低。当φ值为正时，可靠性的降低则更为明显。这可以从图11所示的扭矩矩情节上得到解释。与正值相比，当φ为负值时，扭矩值可以在平均值附近保持更长的时间。
7.4公差对动力可靠性的影响
表2
两杆机械手的动力学性能
图7 两杆机械手末端执行器坐标的时间历程
图8 两杆机械手末端执行器的位置在x y轴方向误差的时间历程
为了研究各种参数的公差与动力可靠性之间的关系，分别用7种不同的标准差计算了表2-例1中的两杆机械手的累积动态可靠性。结果如图13所示。所有参数的标准差沿水平方向均匀增加。正如所料，动力可靠性随着标准差的增大而逐渐降低。当值较高时，他们之间的关系是非线性的，而当可靠性的值在0.9以下时，他们之间的关系是近线性的。
图9 Stanford臂运动学可靠性与公差的关系
8.结束语
建立一个机械手运动学和动力学的概率模型来统计机械手运动学和动力学参数的随机误差。不同的机械手参数均服从高斯分布，以及联合向量根据
表3
Stanford手臂的运动学参数
表4
Stanford手臂的动力学参数
图10 Stanford臂第1、2、3联合作用力的时间历程
表5
Stanford手臂质量中心的位置
图11 φ值不同时两杆机械手第一关节力矩的时间历程
Markov随机过程建模。运动学和动力学可靠性指数可用来做评估机械手操纵性能的指标。该分析方法的特点是采用了更多的计算方法和仿真技术数字化，使其能够更方便地计算出机械手操纵性能的评估标准。如果进行足够多的实验，模拟
表6
Stanford手臂的累积动力学可靠性
图12 两杆机械手φ值与动力可靠性的关系
技术的结果将更加可信。数值举例就是平面两杆机械手和Stanford臂。最后，可以得出各种参数的公差和可靠性之间的关系。
图13 两杆机械手公差与动力可靠性之间的关系
概率学方法在机械手动力学和运动学中的应用.doc
