在UnigraphicsNX5.0环境下渐开线曲线的生成与应用
在UnigraphicsNX5.0环境下渐开线曲线的生成与应用
摘 要：本文详细说明了在UG的CAD模块中，使用表达式功能生成渐开线曲线的方法，并介绍了渐开线在齿轮参数化造型时的应用。
关键词： 表达式 渐开线曲线 齿轮 参数化设计
The generation and application of Involute curve under the ground of UnigraphicsNX5.0
chenli
(Xuzhou Electromechanical Engineering Higher Vocational School, jiangsu)
Abstract: This article described in detail in the CAD module of UG, which use the expression function to generate methods of involute curve, and introduced the applications of involute in gear parametric modeling.
Keywords: UG software expressio Involute curve gear parametric design
UG（Unigraphics）NX是Unigraphics Solution公司推出的集CAD/CAM/CAE为一体的三维机械设计平台，广泛应用于航空、航天、汽车和造船等领域。UG是一个交互式的计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助制造系统（CAM）。是一个全三维、双精度的造型系统，使用户能够精确的描述几何形体或曲线，通过这些形体及曲线的绘制，就可以对产品进行设计、分析和制图。
在UG软件中，对于二维和三维曲线的生成有多种生成方法和工具，例如利用基本曲线命令和高级曲线命令可以生成直线、圆弧、椭圆、样条曲线、抛物线、双曲线及螺旋线等。但当需要制作特殊曲线时，如齿轮的渐开线、三叶、四叶玫瑰线及阿基米德螺旋线等，就没有命令可以直接生成了， 然而UG提供了具有生成以方程式表达的曲线功能，且该曲线还具有相关性，即如果方程式变化时，曲线也会跟着变化。
但如何根据曲线方程生成曲线呢？并不是将曲线的参数方程输入表达式中就可以生成想要的曲线的。为此，笔者做了一些分析与研究。
一、渐开线曲线的生成
现在我们以渐开线为例说明公式曲线的生成过程。
第一步是要将曲线的参数方程进行转化，这一步是至关重要的，如果没有这一步，则后续工作便无从谈起。下面我们首先讨论一下渐开线的形成及其方程。
渐开线的形成
如图1所示，当一直线BK一圆周作纯滚动时，直线上任一点的轨迹AK就是该圆的渐开线。这个圆称为渐开线的基圆，它的半径用rb表示。直线BK为渐开线的发生线，角度θk为渐开线AK段的展角。
图1
2．渐开线的方程
如图1所示，A为渐开线在基圆上的起点，K为渐开线上任意点，它的向经用rk 表示。当用此渐开线作为齿轮的齿廓并且与其共轭齿廓在K点啮合时，则此齿廓在点K所受正压力的方向（即齿廓曲线在该点的法线）与齿轮绕O点回转时K的速度方向线（沿α k方向）之间所夹的锐角，称为渐开线在点K的压力角，以α k表示。由图1可见r k= rb/cosα k, 又因tgα k=BK/rb=rb(α k+θk)/rb= α k+θk,故得 θk=tgα k-α k
由上式可知，展角是压力角的函数，又因该函数是根据渐开线的特性推导出来的，故称其为渐开线函数，综上所述,可得渐开线的极坐标参数方程式为:
r k = rb/cosα k,
θk= tgαk -αk
当用直角坐标来表示渐开线时，其参数方程转化为：
x=rbsint-rb×tcost
y= rbcost+rb×tsint
式中：t为渐开线在K点的滚动角，
t=θk+α k；
rb为基圆半径。
3．将参数方程转化为UG表达式
对于上述渐开线的参数方程需要转换为UG的格式即转换为表达式，转换的结果如下：
t=0 // UG内部系统变量，t=0~1
rb=20 // 基圆半径
xt= rb*sin(360*t)-2*3.14*rb*t*cos(360*t) // 直角坐标横坐标
yt= rb*cos(360*t)+2*3.14* rb*t*sin(360*t) //直角坐标纵坐标
在格式转换时有三点需要注意：
（1）必须首先定义一个变量t，这是UG系统内部变量，其取值范围为0~1，在定义时可定义为0或1，与参数方程中t的含义不同，在参数方程中t表示角度；
（2）角度应转换成变量形式（360*t）；
（3）参数方程中“rb×t”中的t应转化为弧度，即为“2*3.14*rb*t”形式。
4．输入公式
转换完成后，须将以上表达式输入到UG的表达式中，其界面如图2
图2
首先，要选择菜单中的“工具”——“表达式”，打开“表达式”对话框然后就可以输入公式了。其输入方法为：将公式一行一行地逐个输入到对话框中间的空白处。每输入一行，点击一次“√”如果出错，可以再选中该行进行删除、修改。公式在对话框中空白处修改完毕后，必须再一次点击“√”，其结果才可以更新，所输入的公式可以按输入顺序、字母排序等顺序进行排序。当所有公式输入完毕，单击“确定”即可，注意选择类型：
t 的类型为“恒定的”
rb的类型为“长度”，单位为“mm”
xt的类型为“长度”单位为“mm”
yt的类型为“长度”单位为“mm”
5．绘制渐开线曲线
单击“插入”——“曲线”——“规律曲线”或直接单击“曲线”工具栏的规律曲线图标，如图2所示，会弹出一个对话框,如图3。 提示条提示选择规律选项，选择“根据方程”项，选择完毕后，又会弹
图2 图3
出一对话框，提示栏提示输入参数表达式，按系统默认t即可。之后，弹出的对话框类似于上一对话框，提示栏提示输入函数表达式，按其默认xt，这样x就定义完成了。对于y的定义与x定义完全相同，只是其函数表达式为yt。Z的定义有所不同，当绘制二维平面曲线时，z在选择公式操作时，应选“恒定”，规律值为“0”。当绘制三维曲线时，z的定义同x或y相同。当全部输入完整后，就可以在绘图区看到渐开线曲线的形状了，如图4。
图4
二、渐开线在齿轮参数化造型的应用
齿轮传动作为重要的机械传动形式，具有瞬时传动比恒定、传动效率高、传动功率范围广、寿命长等优点，但在啮合传动过程中，对齿轮的齿廓设计、制造精度有很高要求，将会引起传动过程中的震动、噪音，使得传动不稳定，降低传动质量。由于齿廓曲线多为渐开线曲线，我们可以利用UG所提供的完美曲线造型功能，利用上述方法实现渐开线曲线的绘制，从而实现齿轮三维模型的绘制。
1．齿轮的参数化设计的思路
齿轮的参数化设计就是利用UG中的表达式功能，并利用渐开线方程和齿轮几何尺寸相关的计算公式，建立生成渐开线曲线及其他相互关联的曲线，并通过特征操作实现齿轮完全参数化设计，精准地建立齿轮的三维模型。根据设计需要，利用更改表达式中齿轮参数，就可以实现新的数据驱动三维模型，从而提高齿轮的设计效率。
在UG中齿轮的参数化设计过程可分为：1）利用表达式建立相关联的表达式；2）利用草图选项中的相关功能选项在草图中绘制出齿轮的基本曲线（基圆、分度圆、齿根圆和齿顶圆）；3）使用基本曲线功能中的规律曲线选项，通过方程式并利用已经建立的表达式绘制出渐开线；4）将渐开线曲线添加到草图中，绘制出单个轮齿的齿廓曲线，并建立相关约束；5）使用特征操作完成渐开线齿轮的三维建模，实现渐开线齿轮的参数化控制自动造型，利用上述步骤完成齿轮的三维造型
2．齿轮基本参数的设置及造型
因为齿轮的几何尺寸和形状取决于齿轮的六个基本参数：齿数Z、模数m、压力角α k、齿顶高系数ha、顶隙系数c、齿轮厚度h。按照UG中的要求，所有的变量必须预先定义，表达式必须使用“参数表达式变量”，故在对齿轮进行三维建模之前首先要对以上六个基本参数赋予初值，建立一系列的表达式如下所示：
t=0 // UG内部系统变量，t=0~1
m=2 //齿轮模数
z=50 //齿轮齿数
ak=20 //压力角
ha=1 //齿顶高系数
c=0.25 //顶隙系数
h=16 // 齿轮厚度
r=m*z/2 // 分度圆半径
ra=r+m*ha // 齿顶圆半径
rf= r-m*（ha+c） // 齿根圆半径
rb=r*cos(ak) // 基圆半径
a=360/(4*z)
b=360/z
xt= rb*sin(360*t)-2*3.14*rb*t*cos(360*t) // 直角坐标横坐标
yt= rb*cos(360*t)+2*3.14* rb*t*sin(360*t) //直角坐标纵坐标
利用齿轮参数化设计的思路与方法进行操作，就可以得到齿轮的三维模型如图5所示。
图5
三、结论
由此可见，利用UG软件中表达式的功能，能够绘制特殊要求的，同时绘制结果比较精确，这样能够更好地进行数控加工、虚拟装配仿真和机构运动分析，从而可知模型设计的合理性。
参考文献：
[1] 谢海东 基于UG的齿轮三维精确建模与运动仿真 广东轻工职业技术学院学报，2006，（12），
[2] 白剑锋 基于UG的渐开线圆柱齿轮参数化设计 现代制造技术，2006，（2），
[3] 数学（第一册） 苏州大学出版社
作者简介：陈丽（1969.4-），性别：女，江苏省徐州市人，副教授，在职研究生，以从事教学19年，在期刊杂志中发表论文十几篇，研究方向：机械工程。
作者通讯方式：电话：0516—2067282，Email：mayundi@126.com" mayundi@126.com
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