GS算法在光波整形中的应用
GS算法在光波整形中的应用
摘要：
本文首先简单介绍了衍射光学元件（DOE）的产生，发展和基本特点，从中可以看出，衍射光学元件在现代光学器件中的主导地位。。第二部分，介绍了衍射光学元件设计的原理，方法和各种优化模型。第三部分，重点的讨论GS迭代算法的设计原理，利用GS算法进行光波的整形。我们利用菲涅尔衍射模型，设计了GS算法进行一维的衍射元件设计，其中，主要将高斯分布的光波整形为矩形分布的光波进行数值模拟分析。同时设计了二维衍射光学元件的设计，主要进行了两组数值模拟计算，第一组是，将二维分布的高斯光场整形为二维矩形分布光场，第二组是，将二维分布的高斯光整形为二维分布的超高斯光场分布。从模拟结果能够看出，GS迭代算法能够很好的实现光波整形。最后一部分是对后续研究的规划。希望能够对GS算法在衍射光学元件设计中进行更为深入的研究和分析，提出更好的改进和创新。
一，衍射光学元件简介
“二元光学（BOE，binary optical element）”这个概念是上世纪80年代中期，美国MIT林肯实验室维尔德坎谱（Veldkamp）领导的研究组在设计新型传感系统中提出来的。他当时描述说：“现在光学有一个分支，它几乎完全不同于传统的制作方式，这就是衍射光学，其光学元件表面带有浮雕结构；由于使用了本来是制作集成电路的生产方法，所用的掩膜是二元的，且掩膜用二元编码的形式进行编码，故引出“二元光学”的概念”
二元光学指的是基于光波的衍射理论，利用计算机辅助设计，并用超大规模集成（VLSI）电路制作工艺，在片基上（或传统光学器件表面）刻蚀产生两个或多个台阶深度的浮雕结构，形成纯相位，同轴再现，具有极高衍射效率的一类衍射光学元件。
图1-1是一个折射凸镜转变成演变成2兀模的连续浮雕结构的二元光学元件（平板透镜）过程。
图1-1 折射透镜向二元光学元件浮雕结构演变
对于这种连续浮雕结构，制作时并不容易，一般使用阶梯结构进行近似化处理。
从上面的的这个例子我们能够看出，利用浮雕结构制成的平板透镜，大大简化了器件的尺寸和质量。有利于小型、高效、阵列化光学元件的生产。
二元光学元件，实际上是一种衍射元件，我们称为DOE（diffractive optical element）。DOE通常是在光学材料基片表面上刻蚀出特定的深浅不一的浮雕结构，当光束投射到这样的元件上时，相位或者振幅就受到调制，从而实现不同的光学功能。DOE被广泛用于激光波面的校正、光束剖面的整形、光束阵列发生器、高密度存储、光谱优化、微型光信号等方面。DOE出了具有体积小，重量轻易复制等原因外，还具有以下独特功能和特点;
1) 衍射效率。
DOE是一种纯相位衍射元件，可以得到高的衍射效率，当制作亚纳米浮雕结构及连续相位面型时，衍射效率可达到100%；
独特的色散功能。
DOE是一种特殊的色散元件，色散特性不同于普通的光学元件。能够利用DOE的色散特性在折射光学系统中同时校正球差和色差，构成混合光学系统。
3) 更多的设计自由度。
传统的折射光学系统或镜头设计中，只能改变曲率或者使用不同的材料来校正相差。在衍射光学中，可以通过波带片的位置，槽宽与槽深，槽型结构的改变产生任意的波面，大大增加了设计的变量，从而能设计出许多传统光学器件所不能的新的全新功能光学元件，是光学设计的一次变革。
可选择更多的加工材料。
DOE是将二元浮雕转移至玻璃，电介质或金属的基底上，可选的材料范围很大。
特殊的光学功能。
可以利用DOE产生传统光学元件所不能实现的光学波面，如，非球面、环状面、锥面等，并可集成得到多功能的元件；使用亚波长结构还可得到宽带，大视场，消反射和偏振等特性。
二，衍射光学元件的设计原理
衍射元件的设计，主要是根据入射光场和需要得到的理想光场分布求得衍射元件表面的位相分布函数。这种思路，与进行衍射计算恰恰是相反的。可以看做是对衍射计算的逆计算。目前，对于衍射元件优化设计的算法主要有GS算法、模拟退火法、遗传算法、梯度搜寻法、输入——输出算法等等。其中的遗传算法和模拟退火法可得到全局最优解，但计算量大；GS算法、梯度搜寻法和输入——输出法收敛的速度快，但可能得到的是局部最优解。可以根据对器件分束比，光强分布性以及衍射效率等的要求，灵活的选取某种算法或几种算法组合进行优化设计。
三，GS算法进行衍射光学元件优化设计的原理
利用相位光学元件，可以使得单色相干光在某一个垂轴平面上获得任意的光强分布。设计该类元件，需要求解非线性菲涅尔积分方程。
假设光是单色相干的，并且可以用一个复振幅和菲涅尔变化进行描述。
所研究的算法是自适应的。因为每一次迭代的结果，不仅与理想光强分布进行比较，还与前一次迭代的光强进行比较。收敛的速度取决于一些权重因子或正则化参数的特殊因子，因此这些算法被认为是参数型的。在标量衍射理论中，光学元件表面的复振幅分布与观察屏上的复振幅分布服从菲涅尔变换：
1
其中： 2
是自由空间满足菲涅尔近似的脉冲相应函数，z表示观察屏距离DOE的距离。为波长为所对应的波数。
在薄元件近似（透明近似）时，不考虑光线折射，复振幅分布等于照明光的复振幅与DOE透过率函数的乘积：
3
假如DOE的透过率函数为：
4
就是要求解的位相函数。相关符号说明见下图。
图3-1 DOE辅助图像生成的示意图
求解可以简化求解下面这个非线性积分方程：
5
式中是成像区域上的理想光强分布；是照明光束的振幅分布；；是照明光束的相GS算法步骤如下：
选取初始迭代值；
根据公式1对进行积分变换
将得到的成像面上的复振幅分布函数按照如下规则用进行替换
6
式中
对做公式1的逆变换；
7
(5) 将计算出来的DOE复振幅按照如下规则用进行替换。
(u.v) 8
(u,v) 9
Q为DOE元件的孔径形状。
回到(2).
上述的迭代过程一直到和不发生明显的变化为止，其中：
10
11
对于10和11已经证明误差不会随着迭代次数的增加而增加，因此GS算法又称为误差减小算法。
上述的过程可以用下图来描述：
四，实验和数值计算
根据GS算法的思想，我们设计了两组实验进行激光束的整形。其模型如下图：
一束能量为高斯分布激光投射到A面上，A上有一个光阑M限制进入系统的光束大小。光阑后为DOE元件H，它可以把输入的平行激光进行菲涅尔变化成像在P上，这时P上的光场分布就是入射光的菲涅尔频谱。我们在已知入射光光场分布和P上的光场分布下，需要求得H的相位函数。从而根据H的相位函数制作DOE元件。实现激光光束的整形。
模拟数值实验分为两组：
第一组是，将一维高斯分布的激光整形为矩形分布，总共进行了五组模拟计算，考察不同的迭代次数下光波整形的效果。数据如下：
给出迭代次数为250和400时的图像数据：
迭代次数为250时：
入射光场的振幅分布 整形后的振幅分布
入射光场的亮度分布 整形后的亮度分布
迭代次数为400时：
入射光的振幅分布 整形后的振幅分布
入射光的亮度分布 整形后的亮度分布
由于篇幅原因，仅仅给出两个迭代次数下的结果。
第二组模拟计算：
1，将一个二维高斯光束整形为矩形光束
基本参数为：
变换前的振幅分布 理想的振幅分布
理想的亮度分布 整形后得到的亮度分布
求得的相位函数分布 入射的高斯光亮度分布
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