电力变压器铁心柱截面的优化设计
电力变压器铁心柱截面的优化设计
陈晔 (1) 何荣坚(2) 郑可逵(3)
1．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班 512005
2．韶关学院2002级计算机系科学与技术本（3）班 512005
3．韶关学院2002级数学系信息技术教育（2）班 512005
[摘要]:针对变压器铁心柱截面优化设计，建立数学模型并用matlab函数constr编程与搜索法求解，有计算速度快，稳定性好等特点，铁心利用率比较原设计图纸算法可提高3.8%左右，具有一定的实用价值。对于直径为800mm的铁心柱，原设计级数为17级，通过对模型求解，发现级数为12级时，仍能达到96%的铁心截面积利用率，则可减少10级叠片的叠压，因此可在生产设计时考虑采用12级的叠片设计方案。
关键词:铁心利用率;非线整数性规划;搜索领域;尾数调整
1 问题的提出
电力变压器设计中一个很重要的环节就是铁心柱的截面如何设计。变压器铁心截面在圆形的线圈里。为充分利用线圈内空间，心式铁心柱截面常采用多级阶梯型结构，如图1：各小阶梯（又称为“级”）均为矩形。截面在圆内是上下轴对称的，阶梯的每级都是由许多种宽度的硅钢片迭起来的，如何构造各个小矩形，使几何截面积最大？这就是电力变压器铁心柱截面积的优化问题。
为了改善铁心柱内部的散热，在某些相邻阶梯形之间留下一些水平空隙，放入冷却油。油道的位置应使其分割的各部分铁心柱截面积近似相等。因此在确定各级的设计后，还要考虑油道的设计。
2 符号约定
铁心柱截面积
第级宽度的一半
第级的厚度
各级面积
尾数，为5或10
外接圆直径
外接圆半径
油道分开各部分的面积
3 问题的分析与模型的建立
我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸，根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效益的同时降低变压器成本。所以以往在设计大直径多级铁心柱时，工厂一般采用作图法，即在图纸上经过反复核算，画出较好的铁心截面积设计方案，实际上与最优解的偏差较大；近年来由于计算机的应用及数学软件的发展，产生了建立数学模型并利用计算机使用多种方法求解的思想。本文的重点主要在计算机求解与数据分析。
对于变压器铁心柱的级宽，都可以通过已知的直径算出相应的厚度，因此可以转化为以各级的宽度为变量的数学模型。由于现有的各直径铁心柱的级数都是参照生产经验，认为要达到一定的级数才能满足一定的几何截面积，而没有科学的精确的求解过程。因此设想通过对模型的计算所得出的数据，只要在满足一定的几何截面积的前提下，如果能减少级数，便可减少生产成本。
3.1模型1
由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5或10的倍数（单位：毫米）。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。令为铁心利用率。对直径d，以（）为其各级的宽度， （）为相应的厚度。面积函数为，x与y的关系为 ,可得以下模型
各级宽度必须为的倍数
第一级厚度必须大于26mm
第n级宽度大于20mm
各级宽度逐级递增
此模型为非线整数规划。
3.2模型2
油道处于相邻两级间，取油道间的面积。
令
……
油道为时，将铁心柱截面分为部分，即，，……，，,要求各部分面积必须近似相等，则各级面积应与近似相等，即：
4 模型的求解
4．1．模型1的求解
当铁心柱直径一定时，级数愈多，截面积愈大，但级数多，则硅钢片的规格就多，制造工时也就多，因此需要综合考虑铁心利用系数于制造工艺问题，在工程实践种铁心柱直径与级数的经验对应关系如下表1：
表1 铁心柱截面级数的选择
本文以d=800mm为例，给出两种铁心柱截面积优化的方法——搜索法与运用matlab求解非线性规划的方法。再以此例，对比d=800mm时n=11，12，……，17的数据，对铁心柱的级数进行优化。
4.1.1 matlab求解非线性规划
在matlab中运用constr函数[3]，可求解出非线性规划目标函数中各未知数的最优解，（程序见附录1）但结果为小数，需要编程进行调整。由于对宽度的尾数限制，要对附录1中运行出来的数据进行处理。要求以5为倍数时，当尾数为（0，2.4）与（7.5，0）范围内，令其为0，在（2.5，7.4）范围内时，令其为5；要求以10为倍数时，则四舍五入。得出d=800mm，即面积为502650时，各级的宽度、厚度及面积与铁心利用率如下：
4.1.2 搜索法
由于各级铁心柱最小级要求在20mm以上，第一级宽小于795，考虑铁心柱是一对称图形，因此在求解中只计算1/4圆的面积即可。由于d=800mm的经验级数是15-17级，因此对于宽度以5的倍数时搜索法如果直接以5mm为步长进行搜索运行的时间将相当长，所以先以20mm为步长搜索出宽度大概所处的范围，再在其领域进行搜索，求出截面积最大的最优解。第一级的搜索范围为（10，397.5），由于各级的宽度是逐级递减的，所以第二级为（12.5，395），第n级为（10+2.5n，397.5-2.5n）。这样得出来的数据无须人工调整为5的整数倍，且精确度非常高，但是对于级数较多的铁心柱来说，运行所需时间相当长。（程序见附录2,只给出领域搜索部分的程序）。数据与matlab求解非线性规划相吻合。
对比两种方法，matlab求解非线性规划运行速度快，但是数据必须经过调整；搜索法时间非常长，但无须进行数据调整，对比两种方法的结果没有差别。因此建议采用matlab求解非线性规划的方法。
由于原17级铁心柱利用率较低，为93.48，因此考虑在减少级数的同时，如果能达到一定的铁心利用率，便可降低制造成本。通过计算后发现，n=12级时，其利用率仍大于96%，因此，如选用12级，整个铁心柱的制造成本将大大降低。下表给出级数为11-16时各级的宽度与厚度及其利用率。
级数为16时 （单位：mm）
级数为15级 (单位：mm)
级数为14级时 （单位：mm）
级数为13级时 （单位：mm）
级数为12级时 （单位：mm）
级数为11级 （单位：mm）
下表为各直径下的宽度与厚度等数据表
直径: 200mm 级数: 8级 外接圆面积: 31416 面积: 27890 利用率: 88.78%
直径: 400mm 级数: 12级 外接圆面积: 125660 面积: 11910 利用率: 95.42%
直径: 600mm 级数: 14级 外接圆面积: 282740 面积: 272490 利用率: 96.37%
直径:1000mm 级数: 18级 外接圆面积: 785400 面积: 765740 利用率: 97.5%
直径:1200mm 级数: 22级 外接圆面积: 1131000 面积: 1106265 利用率: 97.82%
下表以d=800 1000 1200为例，计算出的各项指标与原铁心柱制造指标比较，
由以上各表数据可看出，的铁心柱直径越大，优化结果越好。
4.2 油道位置的确定
为油道平均分割各铁心柱截面各部分的的面积，且之间近似相等，即允许与绝对分割面积间存在误差。先令此误差取较大的一个数，累加各级截面积，当累加的和在此误差内时，便在所加的级数间设置一油道，如果设置完所有油道还有剩余面积，或不能设置完油道，则在程序运行过程中逐渐减少。由于油道厚度为6mm，直接增加油道会对铁心柱的圆形形状产生较大的影响，所以在确定油道位置后，选择较小的一级，减小，令，加入油道，则不影响铁心柱形状，且由于对分割的面积影响不大。(程序见附录3)以d=800mm,级数为12级,为例,确定最佳的油道设置方案及分割后各级的面积如下表:
5 模型的评价
本文对电力变压器铁心柱截面积优化设计给出的算法达到了对其优化的目的，在d=800mm的算例中级数按原设计要求为17级时提高截面积利用率3.8%。从节约能源的角度出发，对大型变压器来说，将利用率提高1%也将产生可观的经济效益。当级数设计改为12级时，相对原利用率也提高了2.5%，对整个变压器来说，减少10级的叠片叠压将大大的提高生产效率及减少成本。Matlab的编程计算具有计算时间快，优化效果好的特点，对大直径的铁心柱优化效果明显。给出的算法以生产工艺要求为前提，具有使用性。
参考文献:
[1].姚恩瑜、何勇、陈仕平.数学规划与组合优化[M].杭州.浙江大学出版社.2001 [2].汪国强.数学建模优秀案例选.广州.华南理工大学出版社.1998
[3].王沫然.MATLAB6.0与科学计算.北京.电子工业出版社.2001
[4].张树侠等.数据建模及预报.哈尔滨.哈尔滨工程大学出版社.1999
附录
7.1附录1
funf='f=-1*(x(1)*sqrt(400^2-x(1)^2)+x(2)*(sqrt(400^2-x(2)^2)-sqrt(400^2-x(1)^2))+x(3)*(sqrt(400^2-x(3)^2)-sqrt(400^2-x(2)^2))+x(4)*(sqrt(400^2-x(4)^2)-sqrt(400^2-x(3)^2))+x(5)*(sqrt(400^2-x(5)^2)-sqrt(400^2-x(4)^2))+x(6)*(sqrt(400^2-x(6)^2)-sqrt(400^2-x(5)^2))+x(7)*(sqrt(400^2-x(7)^2)-sqrt(400^2-x(6)^2))+x(8)*(sqrt(400^2-x(8)^2)-sqrt(400^2-x(7)^2))+x(9)*(sqrt(400^2-x(9)^2)-sqrt(400^2-x(8)^2))+x(10)*(sqrt(400^2-x(10)^2)-sqrt(400^2-x(9)^2))+x(11)*(sqrt(400^2-x(11)^2)-sqrt(400^2-x(10)^2))+x(12)*(sqrt(400^2-x(12)^2)-sqrt(400^2-x(11)^2))+x(13)*(sqrt(400^2-x(13)^2)-sqrt(400^2-x(12)^2))+x(14)*(sqrt(400^2-x(14)^2)-sqrt(400^2-x(13)^2))+x(15)*(sqrt(400^2-x(15)^2)-sqrt(400^2-x(14)^2))+x(16)*(sqrt(400^2-x(16)^2)-sqrt(400^2-x(15)^2)));' ;%最大面积的目标函数
fung='g=[x(2)-x(1)+5;x(3)-x(2)+5;x(4)-x(3)+5;x(5)-x(4)+5;x(6)-x(5)+5;x(7)-x(6)+5;x(8)-x(7)+5;x(9)-x(8)+5;x(10)-x(9)+5;x(11)-x(10)+5;x(12)-x(11)+5;x(13)-x(12)+5;x(14)-x(13)+5;x(15)-x(14)+5;x(16)-x(15)+5];';%宽度逐级递减的约束条件
fun=[funf fung];
x0=[180 185 190 195 200 205 210 215 225 225 230 235 240 245 250 255]; %初始值
options=[];
vlb=[85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10]; %下界
vub=[395 390 385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330 325 320]; %上界
[x,options]=constr(fun,x0,options,vlb,vub);
y=zeros(1,16);
x=x.*2;
x=(round(x./10)).*10; %以10为倍数的宽度
for i=1:16
yy=sum(y',1);
y(i)=sqrt(800^2-x(i)^2)-yy;
end
y=round(y);
x
y
s=x.*y;
sum(s',1)
(ans)/((400^2)*pi)
7.2附录2
max=0;
hh1=395;
yy1=(400^2-hh1^2)^(1/2);
ss1=hh1*yy1;
for b=1:6
hh2=385+(b-3)*5;
yy2=(400^2-(hh2)^2)^(1/2)-yy1;
ss2=hh2*yy2;
for c=1:6
hh3=375+(c-3)*5;
yy3=(400^2-(hh3)^2)^(1/2)-yy1-yy2;
ss3=hh3*yy3;
for d=1:6
hh4=365+(d-3)*5;
yy4=(400^2-(hh4)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3;
ss4=hh4*yy4;
for e=1:6
hh5=355+(e-3)*5;
yy5=(400^2-(hh5)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4;
ss5=hh5*yy5;
for f=1:6
hh6=345+(f-3)*5;
yy6=(400^2-(hh6)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5;
ss6=hh6*yy6;
for g=1:6
hh7=335+(g-3)*5;
yy7=(400^2-(hh7)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6;
ss7=hh7*yy7;
for h=1:6
hh8=325+(h-3)*5;
yy8=(400^2-(hh8)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7;
ss8=hh8*yy8;
for i=1:6
hh9=315+(i-3)*5;
yy9=(400^2-(hh9)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8;
ss9=hh9*yy9;
for j=1:6
hh10=305+(j-3)*5;
yy10=(400^2-(hh10)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9;
ss10=hh10*yy10;
for k=1:6
hh11=285+(k-3)*5;
yy11=(400^2-(hh11)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10;
ss11=hh11*yy11;
for l=1:6
hh12=265+(l-3)*5;
yy12=(400^2-(hh12)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11;
ss12=hh12*yy12;
for m=1:6
hh13=245+(m-3)*5;
yy13=(400^2-(hh13)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12;
ss13=hh13*yy13;
for n=1:6
hh14=225+(n-3)*5;
yy14=(400^2-(hh14)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12-yy13;
ss14=hh14*yy14;
for o=1:6
hh15=205+(o-3)*5;
yy15=(400^2-(hh15)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12-yy13-yy14;
ss15=hh15*yy15;
for p=1:6
hh16=185+(p-3)*5;
yy16=(400^2-(hh16)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12-yy13-yy14-yy15;
ss16=hh16*yy16;
for q=1:6
hh17=165+(q-3)*5; yy17=(400^2-(hh17)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12-yy13-yy14-yy15-yy16;
ss17=hh17*yy17;
ss=ss1+ss2+ss3+ss4+ss5+ss6+ss7+ss8+ss9+ss10+ss11+ss12+ss13+ss14+ss15+ss16+ss17;
if max
max=ss;
hh=[hh1,hh2,hh3,hh4,hh5,hh6,hh7,hh8,hh9,hh10,hh11,hh12,hh13,hh14,hh15,hh16,hh17];
yy=[yy1,yy2,yy3,yy4,yy5,yy6,yy7,yy8,yy9,yy10,yy11,yy12,yy13,yy14,yy15,yy16,yy17];
sss=[ss1,ss2,ss3,ss4,ss5,ss6,ss7,ss8,ss9,ss10,ss11,ss12,ss13,ss14,ss15,ss16,ss17];
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
7.3附录3
t=s;
for i=length(s)-1:-1:1
t=[t s(i)]; %将23级面积全部合并为一数组
end
nn=squre/7; %平均分割时的面积
ss=0;
w=30000; %误差设置的初始值
sss=[];
while length(sss)~=7
w=w-1000;
for i=1:23
ss=ss+t(i);
if nn-w<=ss<=nn+w
sss=union(sss,ss);
ss=0;
end
end
end
sss %油道分割的各级面积
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