例谈高中数学解题中语言等价转化的问题和策略
例谈高中数学解题中语言等价转化的问题和策略
上海市嘉定区安亭高级中学 仇建烨 上海嘉定 201805
摘要：将数学问题等价转化为自己熟悉的语言表达有利于提高解题效率.然而有些学生在等价转化过程中存在着一些问题.笔者举例分析了具体存在的问题，并提出了应对问题的策略.
关键词：数学解题 语言 等价转化
数学问题的表达形式千变万化，数学问题不会完全按照解题者所掌握的数学语言来呈现.将自己不是很熟悉的表达形式转化成自己熟悉的表达形式，将更加有利于自己解题，增加自己做对的可能性[1].教学中发现，学生解题效率低的一大原因是学生从题目原有表达形式中难以挖掘解题信息，理解数学问题的本质，等价转化为自己熟悉的语言表达，形成解题思路.本文结合几个例题分析了解题中语言等价转化存在的问题，应对问题提出了几点策略.
一、解题中语言等价转化存在的问题分析
（一）思维定势，想不到对问题进行等价转化
对于数学中的某些问题，我们常常采用常规方法解决，学生在反复练习中就形成了比较稳定的思维路线，就是我们所说的思维定势.这有助于我们解题时快速形成解题思路，但如果在解题过程中某个细节处理有障碍时，我们也常常难以快速转化问题，转变思路.
例1（1）已知复数满足，求的取值范围.
（2）已知复数满足，求的取值范围.
说明：看到关于复数的问题，有些同学会自然想到用复数的一般形式解题.解题过程如下：第（1）题由可得.而.因为，所以，所以.同理第（2）题中，可是这里不好用其中一个变量代数式表示另一个变量，转化为求函数的最值，所以思路就断了.如果学生纠结于此，就不容易想到等价转化问题，如从几何角度解题，将看作单位圆上的动点与定点之间的距离；或从参数方程角度思考，令，问题便可迎刃而解.
（二）缺乏经验，不熟悉问题的等价表达形式
同一个问题可能有多种不同的表达方式，学生由于题目练得少，接触问题的不同表达形式较少.再加上学生只顾做题，很少总结常见知识和题目的不同表达形式，更加不熟悉问题的不同的等价表达形式.如果问题以一个学生不熟悉的表达形式呈现出来，学生往往就难以快速等价转化为自己所熟悉的形式.
例2 已知函数，若对于任意的，都有，求的最小值.
说明：此题说白了就是求函数的最小正周期的.“对于任意的，都有”可等价转为“、分别为函数的最小值、最大值”，那么结合图形，不难发现的最小值即为函数的最小正周期的.但学生不熟悉问题的表达，被题目看似复杂的表象迷惑了，反而不知如何等价转化.
（三）书写粗疏，不能够正确将问题等价转化
很多时候对于某些问题，学生是有能力解决的.但是在解题过程中有时候由于书写粗疏，如符号未变、漏写参数的范围、省略词语等不严谨的习惯，造成问题没有能够正确等价转化，从而影响解题.
例3 若关于的方程有解，求实数的取值范围.
说明：对于此题，学生不难想到利用换元法转化.令，将原题转化为：关于的方程有实数解，直接用求实数的取值范围.这样一来就会出错了，因为这不是等价转化，究其部分原因是因为学生的书写不严密，换元后没有注明参数的范围，导致没有正确将问题等价转化.
二、应对解题中语言等价转化问题的策略
（一）学会多角度看问题，顺其自然等价转化问题
同一个问题可以尝试多个角度分析，多种方法解题.“一题多解”有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点[2].由此，可以顺其自然将题目中的条件等价转化为自己熟悉的形式，便于解题.
例4求不等式的解集.
说明：此题是含绝对值不等式问题，可以从绝对值的定义这个点出发，分三种情况（、和）讨论，去绝对值转化为自己熟悉的不等式求解；也可引导学生从绝对值的几何意义这个角度出发分析问题，自然想到将问题等价转化为：求数轴上到和对应点距离之和大于的点对应实数的集合.借助图形直观解决问题.
（二）注重习题变式训练，熟悉问题等价表达形式
同一个问题可能会以不同的表达形式给出，帮助学生熟悉常见问题的不同表述是积累感性经验的有效而直接的形式.采用连续呈现多个变式的方法，有利于使所提供的变式同时储存于学生的学习记忆中，从而熟悉问题等价表达形式.
例5变式题组
（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
（2）已知不等式的解集为，求实数的取值范围.
（3）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（4）已知函数的图像全部在轴的上方，求实数的取值范围.
说明：此题组中给出了四个小题，虽然语言表述各异，看似涉及了函数的定义域、不等式解集、不等式恒成立问题和函数图像问题，但解题的方法确是完全相同的.这样的设计有助于学生对一些常见的数学问题表达形成经验，进而熟练将问题进行等价转化.
（三）规范书写解题过程，准确等价表达数学问题
数学解题中的每一个步骤往往是承上启下的，所以每一步的书写都会影响解题的正确性.在平时的教学中，我们一方面要向学生示范规范表述问题和正确书写解题过程，另一方面要关注学生解题过程的规范性和严谨性，从点滴做起，培养学生良好解题习惯，避免在等价表达数学问题时出现错误.
例6 经过调查研究发现某市一天中空气污染指数与时刻的函数关系为，其中为调节参数，且.要使空气污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
说明：此题大部分学生的表达如下：由得，所以，下面就不知道干什么了，部分学生甚至胡乱表述.此题规范表达应是上面每一步前加一个“对于任意”，那么最后一步应为“对于任意，恒成立.”学生的思路就很清晰了，记，将问题转化为.由此可见规范书写有助于正确转化问题.
三、结束语
《怎样解题》一书中提到：熟悉问题，我应该从哪里开始？从题目的叙述开始[3].为了解决一个具体数学问题，我们常常都会把它熟悉化，简单化以后再去解决，因此需要把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，而将题目的语言表达等价转化成自己熟悉的形式往往是第一步，所以学会将问题的语言表达等价转化就显得尤为重要.
参考文献
[1]王刚，陶煜瑾.浅谈数学语言的转化与理解[J].数学教学通讯，2014（6）：42-43.
[2]许定璜.高中数学一题多解大全[M].湖北：湖北教育出版社，2010.
[3]波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011：27.
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