教学的深入与浅出
有成语“深入浅出”，指讲话或文章的内容深刻，语言文字却浅显易懂．欲做好课堂教学这篇“文章”，又何尝离得开深入与浅出呢？特别是数学教学，由于内容及其思想的深刻性是学科的重要特征，因此深入与浅出都成了值得研究的问题．
“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题正是针对中学数学课堂教学中“深入”与“浅出”问题的一种有效研究．在第七次集体活动的两堂“曲线与方程”研究课(桂思铭老师和郭慧清老师执教)引起大家广泛思考．结合两位教师的设计、课堂教学、说课和课题成员的讨论以及课题会议后教师的议论，笔者愿和读者就数学教学中的“深入”与“浅出”问题作一些探讨．
一、深入概念核心
就内容来讲，一个概念的核心就是此概念的内涵本质．但教学过程中学生（甚至还有教师）对概念的内涵本质常常缺乏理解，认识不够深刻．其实，认识概念的本质有一个层次的深入问题，如同手剥一支春笋，笋壳层层剥来，春笋性质不变但本质逐步显现．
1．对曲线与方程概念本质的第一层认识
曲线与方程的概念分解为“曲线的方程”和“方程的曲线”两个概念，本质是（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）．这是教材直接呈现的内容，对教师来说没什么问题，对学生来说只是有点“颠来倒去”的复杂但也并不难于理解．
2．对曲线与方程概念本质的第二层认识
追问一个问题：“曲线的方程”和“方程的曲线”实际上是在讲一个什么问题？郭老师这样概括：实际上是两个点集的等价．一个是曲线上所有的点构成的集合，另一个是方程所有的解所对应的点构成的集合．如果这两个集合相等，那么方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线.笔者赞同这样的分析．这是在给定一个方程和一个曲线的前提下问题的本质和关键所在，因为学生在学习本内容之前，对这两个集合的区别是缺乏重视的，而这一点恰恰是本课的主要教学目标之一．
3．对曲线与方程概念本质的第三层认识
再追问一个问题：“曲线的方程”和“方程的曲线”是哪来的？两位老师作了回答：因为有了坐标系．什么是坐标系？“直角坐标平面是构成平面直角坐标系的物质基础……而平面直角坐标系则是点P与其坐标之间一套对应法则，也就是从点到数，从数到点的相互转化的映射．”①“在建立平面直角坐标系的条件下，平面轨迹上的动点P的坐标可表示为 ，其中 都是变量，它们受轨迹条件M的制约，通过轨迹条件M的解析化，即得含 的方程 ．”①事实上，有了坐标系，点（几何）与坐标（代数）建立了对应；有了轨迹条件的制约，坐标变量的自由度受到限制．特别地，当轨迹条件M最终可解析表示为方程 时，就自然形成了曲线与方程的概念．
对于同一个数学概念，人们可以从不同的角度，以不同的深度去剖析它的本质．学习一个概念取决于对它的理解，而理解的含义就应该是对概念本质的把握．
二、触及思想方法
所谓数学思想方法，是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．数学教学的深入，不仅表现在对内容本身的深入理解上，领悟内容所带来的数学思想方法是另一种方式的深入．在曲线与方程的概念中，思想方法极其丰富．
1．等价思想
等价思想直接附着在“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个孪生概念上．一方是曲线C，另一方是方程 ，一个是几何对象，另一个是代数对象，在一定的条件下它们是等价的．有了曲线与方程的概念，以后可以“指着曲线说方程”、“指着方程说曲线”，譬如，我们说抛物线 ．
正如本文前面提到的，在这次课题研究活动上还揭示了曲线与方程概念学习过程中的一个等价思想，即实际上是两个点集的等价．在这种思想指导下，以后无论是求曲线的方程还是画方程的曲线，都会自觉地去思考概念的纯粹性与完备性问题．
2．坐标法思想
为什么一个几何对象能与一个代数对象等价呢？这就是坐标系的功劳，是坐标法思想的直接产物．所谓坐标法思想，就是通过以坐标为对象的代数研究来获得几何结论的思想与方法．这也是一种数形转化思想，是解析几何的核心思想．
坐标法思想“三步曲”②：第一步，建立坐标系用坐标表示有关的量；第二步，进行有关的代数运算；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系．结合曲线与方程的概念，坐标法思想下形成了解析几何的两个基本问题，一个是已知曲线求方程，另一个是已知方程研究曲线．
3．轨迹思想
简单地说，将几何图形看成动点轨迹的思想就是轨迹思想．从点与坐标的对应到曲线与方程的对应，其中轨迹思想是使其必然的关键因素．我们说平面是二维的，在坐标平面内的自由动点的轨迹就是整个平面．我们说平面曲线是二维的，但也可以说是一维的，因为平面曲线本身是二维的，但平面曲线上的动点却只能“沿着曲线走”，其坐标变量只有一个自由维度．这一点在曲线的参数方程 中有比较充分的体现．
在坐标平面内，从轨迹思想出发，若动点P受条件M限制，则动点P的轨迹必然是满足条件M的一个平面图形C；若限制条件M是一个等量关系，则图形C为一条曲线，条件M可解析为一个方程 ．以后，我们还会遇到这样的问题：限制条件M是一个不等量关系，则图形C为平面区域，条件M可解析为一个不等式 ．
如果说教学的“深入”取决于教师的思考，包含在教学设计阶段，那么教学的“浅出”依赖于学生的思维，体现在课堂学习过程．没有理解的深度、思想的高度，课堂教学注定不会有高的质量．但反之，有了“深入”却不等于课堂的高质量，因为课堂面对的是学生，需要“深入”的另一面——“浅出”．
三、教学活动低起点
有效教学必须基于学生的学习基础，它包括知识、能力、认知等诸多因素水平．有效的教学活动需要“低起点”．
以设计曲线与方程概念的教学活动为例，教材直接用“平分第一、三象限的直线的方程”和“以 为圆心、r为半径的圆的方程”的分析来组织教学活动，内容是学生所熟悉的，问题是具有代表性的，手段是简单的，指向是直接的．在本次课题会上，两位开课教师在该问题上都采用了教材的内容，但是活动设计却值得商榷．其中一位老师的做法是引领学生回顾教材“直线与方程”和“圆与方程”两章的“章头语”，另一位老师的做法是用“位置的确定”生活实例．两位老师都想从“坐标法思想”入手，然而教学活动涉及的内容离课题太远、思想性太强，因而活动的起点太高，致使学生“不知教师想干什么”．
教学活动低起点，要求教师在组织教学活动时，选择的材料要简洁，呈现的问题要明了，要能使学生都“动起来”．低起点的核心是思维起点比较低，要使大多数学生能开始有效的思考．起点低不等于要求低，因为思维有一个发生与发展的过程，高要求是逐步实现的．这也是教学之“浅出”的艺术．
四、思想渗透多落点
数学教学需要重视数学思想方法，这是大家比较一致的观点．但是，在如何进行数学思想方法教学的问题上，人们似乎有不同的认识．有的教师在课堂内直接与学生大谈特谈数学思想方法，也有其他的教师在评价这样的课堂时说“该教师十分重视数学思想方法”的教学．笔者不赞同这样的做法和说法．笔者以为，思想方法的教学不同于一般知识的教学，思想方法更多地具有“默会知识”属性，不在于教师如何说教而在于学生怎样领悟．教师可以偶尔与学生谈一点思想方法范畴的感悟，但更多地需要教师去创设能让学生感悟到数学思想方法的问题情境．也就是说，数学思想方法的教学应更多地依赖于“渗透”，而不是“头脑风暴”．
曲线与方程的概念中蕴涵了丰富的而且是深刻的数学思想方法．这些思想方法的教学需要分散渗透到各个具体内容、具体教学过程中去．渗透是一个逐步达成的过程，绝对不是这一节课就要全部完成的目标．
五、本质突破精出点
桂老师在导出概念之前先让学生解决以下两个问题：
(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程:
(2)作下列方程所表示的图形:
(i) ; (ii) .
然后结合学生的回答（请学生板演，有部分学生出现错误），在教师的引领下，从正反两方面去概括概念的两个基本属性（纯粹性与完备性）．实践表明这样的出点很精彩．
课堂教学中的“深入”与“浅出”是一对矛盾，处理好这对矛盾是教学的艺术．
参考文献
①陈振宣．解析几何的两大基本矛盾．中小学数学（高中版）．2008年第11期
②人民教育出版社．普通高中课程标准实验教科书数学2．第三
