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长沙理工大学《数值分析》1-6章讲稿
第一章 绪 论
第二章 线性方程组的解法
第三章 代数特征值问题
第四章 非线性方程求根
第五章 插值与逼近
第六章 数值积分

第一章 绪 论
数值分析的研究对象
数值分析研究的对象：各种数学问题求解的数值计算方法。就是研究用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。包括方法的稳定性、收敛性及误差分析，还要根据计算机特点研究计算时间最省的计算方法。
实际问题的解决过程：
实际问题→数学问题→计算方法→上机实现→实际问题
掌握误差的来源、衡量误差大小的一些标准、控制误差的一些原则
一 误差的来源与分类
在工程和科学计算中，估计计算结果的精确度是很重要的。而影响精确度的是各种误差。误差按照它们的来源可分为以下四种：
1. 模型误差
数学模型一般只能近似的描述实际问题，如匀速运动认为速度(近似地)为常数，匀加速运动认为速度为时间t的一次函数。在动力学中，若认为阻力R是速度 v = x (t) 的一次函数：R = –??v，将v的高次项的影响略去，可得线性微分方程模型(见同济?高数?下册p.366)。
2. 观测误差
数学模型中包含的某些常数(时间，长度等)由于受仪器的限制观测结果不能绝对准确。如测量距离时为了减少测量误差，一般取两次往返测量的平均值。
3. 截断误差
有些函数需要用无穷级数计算，计算时只能取前几项。如
当x充分小时取 sin x x，其误差
4. 舍入误差
在计算机上要把一些数字四舍五入后再计算如：
因为我们主要是在已给数学模型的基

第二章 线性方程组的解法
回顾线性代数中求解线性方程组已有哪些方法？每种方法有哪些缺点和优点？哪种情况下求解比较简单？
线性方程组解法可分为两大类: 直接方法和迭代方法。
我们在线性代数中学习了行列式法和矩阵行变换(消去)法。n阶行列式展开有n!项, 每一项有n个数相乘, 计算n+1个n阶行列式, n个Di /D。要做 N = n! (n – 1)(n + 1) + n 次乘除法。n较大时计算量大, 不好编程。
方法有：克莱姆法则、矩阵行变换法等；
对于方程组当为对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、正交矩阵（四种简单方程组）时求解最为方便（为什么？），其它情况呢？
直接法的基本思想是把原方程组化为四种简单方程组之一来求解，怎么化？采用什么手段？
直接法
一、 Gauss消去法
（消去法通过消元将原方程组化为系数矩阵为上三角阵的方程组来求解）
1、顺序Gauss消去法