素数的分布与哥德巴赫猜想
素数的分布与哥德巴赫猜想
素数的分布规律：
3后面的素数会平均分布在数列3n+2和3n+4中，这两个数列任何一个数列中的素数又会平均分布到数列5n+2，5n+4，5n+6，5n+8中，所有5n+2，5n+4，5n+6，5n+8中任何一个数列中的素数又会平均分布到数列7n+2，7n+4，7n+6，7n+8，7n+10，7n+12中，以此类推。同样，可以表示为3n+2和3n+4素数的个数是相等的，可以表示为5n+2，5n+4，5n+6，5n+8中的素数是相等的，以此类推，注意当M给定时，每一个数列中小于M的素数的个数差异非常小的，当M越大差异越小可以忽略不计。
现在我们来给以证明。 所有大于3的奇数都可以表示为3n，3n+2，3n+4，（ n为奇数），这3个数列里数的个数都是相等的，且每两个数都是互不相同且不重复的，这里3n是所有3的倍数的复合数，很明显所有非3的倍数的复合数和素数都在数列3n+2，3n+4里，在两个数列里奇数个数都是一样的且都没有 3 的倍数的复合数，假定所有奇数的个数为P，那么所有3的倍数的复合数的个数（包括3）为1/3P，现在我们将数列3n+2，3n+4中的数都依次均匀的分成5组，即分为5n ，5n+2，5n+4，5n+6，5n+8，很明显每组中数的个数都是相等的，且每组中有且只有1/5的数为5的倍数的复合数，也就是说在奇数中所有的5的倍数的复合数为1/5，在筛出3的倍数的复合数后，余下的数中5的倍数的复合数仍然有且只有余下数的1/5，在两组5n+2，5n+4，5n+6，5n+8的数列中，都没有3和5的倍数的复合数且每组中的数都是互不相同的，同样我们将每组数中依次均匀分为7组，每组数中都有且只有1/7的数为7的倍数（包括7）的复合数，同样在奇数中所有的7的倍数的复合数为1/7，在筛出3、5的倍数的复合数后，余下的数中7的倍数的复合数仍然有且只有余下数的1/7，以此类推，我们筛出所有复合数后，每个数列里剩下的就全部是素数了。因为每组数列中5、7、11等素数倍数的复合数的个数都是相等且互不相同的，因此每组数列中素数的个数也是相等的。
不管经过3n+2或3n+4→5n+2，5n+4，5n+6，5n+8→……等各种方式后产生的很多个数列kn+2，kn+4，kn+6……kn+2(k-1)里，在下一次每组中都有且只有1/k1的数为k1的倍数的复合数，1/k2的数为k2的倍数的复合数，等等，这里k1，k2等分别为紧邻k后面的素数，因此在筛出这些相同个数的复合数后余下的素数个数也都是相等的。
现在我们看为什么筛出3、5、7……k等的倍数的复合数后，在以后出现的若干组中，每组都有且只有1/k1的数为k1的倍数的复合数。当筛出3的倍数的复合数后，会产生3n+2，3n+4两个以2*3为公差的等差数列，当继续筛出5的倍数的复合数后会产生（3-1）*（5-1）个以2*3*5的等差数列，同样在筛出7的倍数的复合数后会产生（3-1）*（5-1）*（7-1）个以2*3*5*7的等差数列，以此类推，在筛出k的倍数的复合数后会产生（3-1）*（5-1）*（7-1）*……（k-1）个以2*3*5*7*……k个等差数列，根据筛法每组中都没有了3、5、7……k等的倍数的复合数，每组中都是以2*3*5*7*……k为公差，这个公差不能被素数k1整除，把这个公差分别剩以1、3、5、7、9……k1在去除以2k1可以得出k1个不同的余数且都不相同 ，很明显这些余数只能是0、2、4、6 …… 2(k1-1)，因此在对应的很多组数列k1n+2，k1n+4，k1n+6……k1n+2(k1-1)里 ，每连续的k1个数里有且只能有一个为k1的倍数的复合数。也就是说在筛出k的倍数的复合数后，出现在最前面的（3-1）*（5-1）*（7-1）*……（k-1）* k1个k1的倍数的复合数（最小素因子为k1）会绝对平均分布在每组数列中，每组都有且只有1/k1的数为k1的倍数的复合数。根据素数定理小于M的素数个数p为M/lnM+R0(1)，当M非常大的时候R0(1)可以忽略不计，假定M= k2，当k≥e时，k2中素数个数就大于k个了，根据前面的筛法，如果不分组，在筛出3、5、7……k等倍数的复合数后， k后面连续的k个数中没有一个k的倍数的复合数，必需要通过前面的分组后，在每组中都有一个k的倍数的复合数时，k后面没有被筛出的数中有且只有1/k的数为k的倍数的复合数。
现在我们来看当M为给定的数时，上面的规律也是成立的，假定k =[√M]表示小于√M的最大素数，同样要筛出3n、5n……kn，这里kn表示该数列中复合数的最小素因子为k，很明显小于M最大的复合数只能是kn，因为k1*k1就会大于M了，从上面的方法我们可以看出，要保证在数列3n，3n+2，3n+4，中每个数列中至少有一个数，M最小为2*3+4，在筛出5的倍数的复合数后，要保证在两组5n+2，5n+4，5n+6，5n+8的数列中每个数列中至少有一个数，M最小为2*3*5+4，在这些没有被筛出的数中最小的复合数就是7*7了，同样要保证在筛出k的倍数的复合数后每个数列中至少有一个数，M最小为2*3*5*7*11*……k+4，很明显这个数会远远大于M了，假定2*3*5*7*11*……r +4≤M（r为素数），很明显r会远远小于k，也就是说当筛出3、5……r的倍数的复合数后，在余下的每个数列中会有一个数，但当筛出r后面素数倍数的复合数时有很多数列中都没有符合条件的数了，也就是说要满足条件的素数会远远大于M了，但在余下的数中仍有r1（为大于r的素数）……k的倍数的复合数，在继续后面的筛出时，这些复合数都会被筛出，余下的素数都会分布在相应的kn+r中，有非常多的数列中都没有符合条件的数了。现在我们把小于M的奇数全部均匀的分布在数列kn，kn+2，kn+4，kn+6……kn+2(k-1)中，这里小于k的数如3属于kn+k+3中，其他5、7等也是一样的，根据上面的方法依次筛出数列kn+2,kn+4,kn+6……kn+2(k-1)中3、5、7等数的倍数的复合数后，每个数列中余下的都是素数了，我们假定3N、5N、7N、11N等表示所有3、5、7、11等素数的倍数的复合数，其实也就是用3、5、7、11分别乘以所有的奇数，很明显这些复合数都会平均分布在数列kn，kn+2，kn+4，kn+6……kn+2(k-1)中，由于kn全部为复合数我们不考虑它，现在我们看5N的复合数会平均分布在这些数列中，在5N的复合数中，同时又是3N的复合数也会是均匀分布的，即余下的5n（这些复合数中最小的素因子为5）也是平均分布的，同样7n（最小的素因子为7）的复合数也是平均分布的，以此类推，根据前面的筛法在筛出3的倍数的复合数后至少要（3-1）个5的倍数的复合数才会平均分布在3n+2，3n+4中，在筛出5的倍数的复合数后至少要（3-1）*（5-1）个7的倍数的复合数才会均匀分布在5n+2，5n+4，5n+6，5n+8中，同样至少要有（3-1）*（5-1）*（7-1）*（11-1）……（k-1）个k的倍数的复合数才会均匀分布在kn+2，kn+4，kn+6……kn+2(k-1)中，也就是说每个数列中3n、5n……kn的复合数在M为给定的数时有一定差异但这个差异还是很小的，每个数列中素数的个数差异会非常非常小都是相等的，也就是说当M为给定的数时，虽然经过转化后产生的若干个kn+2，kn+4，kn+6……kn+2(k-1)中很多数列中满足条件的数的个数为0，但所有符合条件的素数仍会平均分布到数列kn+2，kn+4，kn+6，……k n+2(k-1)中，也就是说上面素数的分布规律仍然是正确的。
关于素数的个数：
假定M为给定的数，PM表示小于M（不包括1）的奇数个数，k =[√M]表示小于√M的最大素数，很明显在小于M的数中最大的素数倍数的复合数为kn，注意这里kn表示复合数中最小的素因子为k，P k表示小于和等于k的素数个数，根据上面的筛法，所有3的倍数的复合数的个数（包括3）为1/3PM，5n为余下数的个数的1/5，等等，因此小于M的素数个数为（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）……*（1-1/ k）*PM+P k，因为在筛出3、5、7、11等的素数倍数的同时也同时筛出了3、5、7、11等。由于kn必须在远远大于M的数时，才会有1/ k的数为k的倍数的复合数，当M为给定的数时会有一定差异，因此还需要加上余数，当M非常大的时候这个余数会很小的。
关于素数间等差问题：
根据上面的筛法，当筛出3的倍数的复合数后，会产生3n+2，3n+4两个以2*3为公差的等差数列，当继续筛出5的倍数的复合数后会产生（3-1）*（5-1）个以2*3*5的等差数列，同样在筛出7的倍数的复合数后会产生（3-1）*（5-1）*（7-1）个以2*3*5*7的等差数列，以此类推，在筛出k的倍数的复合数后会产生（3-1）*（5-1）*（7-1）*……（k-1）个以2*3*5*7*……k个等差数列，而这些数列中最小的复合数为k12，当继续筛出k1，k2等素数倍数的复合数后，数列中会余下全部的素数。而在k后面的素数个数会越来越少，有且只有的1/ k1数为k1倍数的复合数，有且只有的1/ k2数为k2倍数的复合数，因此在所有的素数中可以找到若干组不同公差的等差数列。
关于哥德巴赫猜想：
它的内容是：（A)任何一个大于6的偶数都可以表示为两个素数的和，即“1+1”；（B)任何一个大于9的奇数都可以表示为三个素数的和，很明显（B)是(A)的推论，只要证明（A)即可。
假定M是任意给定的偶数，用M依次减去3、5、7……一直到小于M的所有素数得到一个奇数数列，假定k =[√M]表示小于√M的最大质数，如果该奇数数列中一直不会出现素数，那么在转化中出现的复合数只能在3n、5n、7n、11n……k n中(kn中最小的素因子是k，如15只能出现在3n里，而不能出现在数列5n里，这里的n是表示符合相关条件的所有数)，我们将3n→5n→7n→11n→……→k n这种方式叫逐步递增,如果依次筛出所有的3n、5n、7n、11n……k n这些复合数后该数列中还余下的有奇数，那么这些数只能是大于k的倍数的复合数了，很明显对于给定的M来说是绝对不可能的，因为k 1* k1＞M，即这些数只能是素数了，因为在M的转化（用M依次减去3、5、7等这些素数）中，产生的奇数是越来越小的，根据逐步递增的方式这些数却是越来越大的素数的倍数的复合数，很明显在转化中最终只能产生素数了，即在转化中的递增次数小于r次就不一定会有素数产生，如果转化中递增的次数大于k次，在转化中的某次一定会产生素数。
每3个连续的偶数一定会有一个3的倍数，每5个连续的偶数也一定会有一个5的倍数，当M是非3的倍数时，在M减去3n+2，3n+4的素数时一定会出现3的倍数的复合数，因为M也一定可以表示为3n+2，3n+4的形式（这里的n是指符合相关条件的数，每一环节的n都不相同），当M为3n+2的偶数时，M减去所有形如3n+2的素数时就一定是3的倍数的复合数，即在转化到3n+2的这些质数时就一定会返回到3n这个数列，当然在转化到3n+4时就会出现新的素数的倍数的复合数，因为M减去3n+4= 3n+2-（3n+4）一定不是3 的倍数，若M为3的倍数时只有在M-3时是3的倍数，在减去其他所有的素数时都不会出现3的倍数，因为M- k (这里k为素数)一定不能被3整除，因此只有当M为非3的倍数时才会出现最多次的反复，因为3n+2，3n+4里素数的个数都一样，当假定小于M的素数个数为p即最多会出现1/2p次反复，这里p实质上应为p-1因为在所有的素数中2是唯一的偶质数，当p非常大的时候，为方便起见我们就忽略不计了，在余下的1/2p个素数里同样可以表示为5n+2，5n+4，5n+6，5n+8，这里每一个数列里素数的个数也都一样（用前面的方法已经证明），一个非5的倍数的M也只能在其中一个数列的素数的转化中出现5的倍数的复合数，因为M也只能表示为5n+2，5n+4，5n+6，5n+8其中的一个而不能同时表示为5n+2，5n+4，5n+6，5n+8，当M为5 的倍数时M-5是5的倍数的复合数，在转化到其他任何素数的时候都不会出现5的倍数了，为了方便我们考虑M在转化中都有最多次的反复，这里余下不会出现反复的素数个数为1/2*3/4p，同样在转化中最多次反复到7的倍数后余下的素数个数为1/2*3/4*5/6p。
以此类推，这里我们都考虑出现最多次反复的情况，在转化到k时，余下不能反复的素数个数为B=1/2*3/4*5/6*……*（k -2）/（k -1）*p（其实这里M一定有小于k的素因子，也就是说余下的素数个数会远远大于S，（注意这里若在3n+2里会返回到3n ，在余下3n+4素数里当转化到如7时在余下素数个数应减去1后才会平均分布在7n+2，7n+4，7n+6，7n+8，7n+10，7n+12里，这个差异当素数很大时是非常小的我们为方便起见全部都忽略不及了），若在经过3n→5n→7n→11n→……→k n的转化后余下的数的个数远远大于3就表明在M的依次转化中会出现至少大于p k（这里是指小于k的素数个数）次的递增，因为在余下的素数中有2这个偶质数，在转化时若出现 “1+1”时会有2 次素数的转化是一样的。
根据素数定理小于M的素数个数p为M/lnM+R0(1)，当M非常大的时候R0(1)可以忽略不计，
1/2*3/4*5/6*……*（k -2）/（k -1）*p=3/2*5/4*9/6……p/（k -1），
很明显3/2*5/4*9/6……是逐步递增的，3/2*5/4*9/6*11/10＞3，
p/（k -1）＞p/ k =M/lnM/ k＞M/lnM/√M=√M//lnM，
当√M// lnM＞1时， 即√M＞lnM时，
假设f(x)= √M-lnM
f′(x)=1/（2√M）-1/ M=(√M-2)/2√M
当f′(x)=0时，M=4
即该函数是递增的，当M≥4时，如M=6，所余素数个数会大于3，
当M越大时，1/2*3/4*5/6*……*（k -2）/（k -1）*p就会远远大于3了，
很明显当M很大的时候3/2*5/4*9/6……是逐步增大的，p/（k -1）在转化中也是逐步增加的，也就是说“1+1”不但正确，而且同一个数会表示为多组不同的“1+1”，即至少可以表示成B/2+ R0(1)组不同的“1+1”。
即只要M是大于或等于6的偶数的时候在转化中会有大于pk次递增的转化，也就是说当M为大于或等于6的偶数的时候就一定会在依次的转化中出现至少一次“1+1”，也就是说该猜想是绝对成立的。
其实我们根据上面的素数分布规律和逐步递增规律，可以非常简单的证明该猜想是绝对正确的，在3n+2或3n+4的素数里最多只能有1/2的数会返回到3n，在余下的素数中最多只能有1/4会返回到5n，有3/4的会递增，在余下的素数中最多只能有1/6会返回到7n，还有5/6会出现递增，以此类推，在转化到k时，余下的素数中最多只能有1/（k -1）会返回到k n，还有（k -2）/（k -1）会出现递增，也就是说，即便是有最多次的反复，在余下的素数中转化时只能递增的数会越来越多，该猜想是绝对正确的。
关于最多和最少不同的“1+1”：
假定M为给定的数，k =[√M]表示小于√M的最大素数，k1为大于k的最小素数，也就是说是紧邻k后的素数，很明显M大于k2小于k12，我们把k2与k12之间的数叫做M附近的数，因为这些数在通过上面的转化中产生最大的复合数只能是kn，这里我们把M中所含的素因子除开，在小于k的素数中还余下的素数为r1，r2，r3，……ri，Pr表示小于M且不包括M中素因子的素数个数，B表示在用M依次减去3、5、7等素数后只能转化为“1+1”的素数个数，则
B=[（r1-2）/(r1-1)*(r2-2)/(r2-1)*(r3-2)/（r3-1）*……(ri-2)/(ri-1)* Pr]
即M可以表示为P/2+ R0(1)组（这里取整）不同的“1+1”（由于在M为给定的数时虽然素数会平均分布但仍有一定差异）。由于这里当M中包含素数因子k时在用M减去k时只能是k的倍数的复合数，其余情况M仅能对应于kn+2，kn+4，kn+6……kn+2(k-1)中的某一数列。
M附近的数最少可以表示为几组不同的“1+1”就是上面证明中假定出现最多次的反复中得出的结果，同样我们也可以得出M附近的数最多可以表示为几组不同的“1+1”的情况，我们知道当2*3*5*7*11*……r≤M（r为素数），这里取等于，因为用M依次减去3、5、7、11、……r的素数时只能依次出现3、5、7、11、……r的倍数的复合数，在减去r后面的素数时才会出现反复或递增的情况。r1，r2，r3，……k为小于k大于r的所有素数，Pk为小于M大于r的素数个数，
B=[（r1-2）/(r1-1)*(r2-2)/(r2-1)*(r3-2)/（r3-1）*……(k-2)/( k-1)* Pk]
现在我们来验证一下，若M=96=25*3，为72左右的数，
B=（5-2）/（5-1）*（7-2）/（7-1）*22（为小于96除开2、3的素数个数）
=13.75
即有B/2=6+ R0(1)组不同的“1+1”，很明显在减去7、13、17、23、29、37、43会出现7组不同的“1+1”，
这里假定M=2*3*5*7=210为132附近的数，会出现最多的情况，
B=（11-2）/10*（13-2）/（13-1）*42=34.65
即有B/2=17+ R0(1)组不同的“1+1”，可以验证在减去11、13、17、19、29、31、37、43、47、53、59、61、71、73、79、83、97、101、103有19组不同的“1+1”。
人们都认为素数是非常神秘的，其实复合数也是一样的，在自然数列里一个新的素数的产生就是因为筛出前面出现所有素数的倍数的复活数后紧邻它后面的没被筛掉的数，当前面的所有素数都不能生成后面的复合数就会产生新的素数，也就是说素数为生成复合数才产生的，复合数也是因为弥补素数间的空隙才出现的，其实素数也是为“1+1”产生的，我们看素数3、5、7可以生成14以内对以上的所有偶数，16不能由它们生成的时候，就必须有一个新的素数出现，即16-3，16-5，16-7就必需出现素数一样。
